不連續多目標博弈的逼近定理

牟玉霜,賈文生

(貴州大學數學與統計學院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

J.F. Nash[1-2]提出了在博弈論中重要的解概念——Nash均衡,并利用Kakutani不動點定理和Brouwer不動點定理證明了均衡點的存在性.之后一些學者也給出了Nash均衡的存在性定理,這些存在性定理大多數要求支付函數是連續的.然而,在一些重要的經濟模型中,支付函數往往是不連續的,于是許多學者將連續性條件減弱,引入偽連續、轉移連續、擬弱轉移連續等各種不連續的條件,并得到了Nash均衡的存在性結果[3-5].由于博弈問題的解一般來說不是唯一的,所以均衡點的穩定性研究便成為了博弈論的重要課題之一.文獻[6]證明了:當支付發生擾動時,若由支付函數定義的Ky Fan 函數是廣義正擬轉移連續的,則該博弈存在本質的Nash均衡.文獻[7]研究了當支付和策略都擾動時滿足廣義支付條件且支付函數之和上半連續的博弈的通有穩定性.2019年,V. Scalzo[8]引入了一種不連續條件——廣義單偏離性,并證明了具有廣義單偏離性的n人非合作博弈存在Nash均衡;進一步地,V. Scalzo將廣義單偏離性加強為正廣義單偏離性,給出了具有正廣義單偏離性的博弈Nash均衡的存在性和通有穩定性結果.

一方面,在實際問題中,局中人的支付函數一般是多目標的,因此,多目標博弈更加符合應用問題的背景.1959年,L.S. Shaply等[9]引入了多目標博弈均衡點的概念.Yang Hui等[10]證明了支付函數是連續的多目標博弈弱Pareto-Nash均衡及其本質連通區的存在性.Jia Wensheng等[11]給出了在具有連續支付函數的廣義多目標多主從博弈中弱Pareto-Nash均衡的存在性和通有穩定性結果.文獻[12]得到了具有模糊約束映射的廣義多目標博弈均衡點的通有穩定性及其本質連通區的存在性結果.文獻[13]對在偽連續條件下廣義多目標博弈弱Pareto-Nash均衡及其本質連通區的存在性進行了研究.

另一方面,在完全理性下,每個局中人在決策時都能選擇對自己最有利的策略,這種假設過于理想化,在實際應用中具有一定的局限性.1955年,H.A. Simon[14]提出了有限理性理論,他認為有3個因素會影響人們的決策結果:首先,決策者可以選擇近似的策略;其次,每個決策者可以選擇近似的函數作為目標函數;最后,在具體的計算中,求解方法也是近似的.因此,人們達到的是在有限理性下的“滿意解”,而不是在完全理性下的“最優解”.2001年,L. Anderlini等[15]建立了帶有抽象理性函數的有限理性模型,但是該模型的假設條件太強,在很多重要的博弈模型中都無法滿足.Yu Chao等[16]將L. Anderlini等[15]的假設條件減弱,并將改進后的有限理性模型應用到均衡點的穩定性研究中.

逼近定理是許多問題穩定性和求解算法研究的重要內容,也是大多數算法的理論基礎.俞建[17]給出了在偽連續條件下n人非合作博弈問題和多目標最優化問題的逼近定理.文獻[18]證明了在偽連續下均衡問題的逼近定理.文獻[19]和文獻[20]分別得到了在連續條件下變分不等式問題和群體博弈問題的逼近定理.文獻[21]對向量均衡問題的逼近定理進行了研究.目前,有關不連續博弈的研究大多數聚焦于均衡點的存在性和通有穩定性,對于不連續多目標博弈問題逼近定理的研究相對較少.受到以上工作的啟發,本文從逼近的角度在有限理性下研究近似弱Pareto-Nash均衡能否收斂于一類不連續多目標博弈精確解的問題.

1 預備知識

首先介紹多目標博弈模型.

定義2[23]設X和Y是2個拓撲空間,K:X→P0(Y)是一個集值映射,其中P0(Y)表示Y的所有非空子集的集合.

1)若對Y中任意的開集V,K(x)?V,存在x的開鄰域Ox,使得?x′∈Ox,有K(x′)?V,則稱K關于x是上半連續的;

2)若對Y中任意的開集V,V∩K(x)≠?,存在x的開鄰域Ox,使得?x′∈Ox,有V∩K(x′)≠?,則稱K關于x是下半連續的;

3)若K關于x既是上半連續的,又是下半連續的,則稱K關于x是連續的.

V. Scalzo[8]引入了正廣義單偏離性的概念,將其推廣到向量值函數的情形.

定義3多目標博弈Ω滿足向量值的正廣義單偏離性,若x∈X不是Ω的均衡點,?y∈X,j∈N和A={(a,a,…,a)∈Rk:a≥0},有

Fj(yj,x-j)-Fj(x)∈intA,

存在x的一個開鄰域Ux和具有非空凸緊值的上半連續映射ζx:Ux→P0(X),使得?x′∈Ux和y′∈ζx(x′),?i∈N,有

Fi(y′i,x′-i)-Fi(x′)∈intA.

注21)Fi(y′i,x′-i)-Fi(x′)∈intA表示?l=1,2,…,k,fli(y′i,x′-i)-fli(x′)>a(a>0).注意到當k=1時,定義3即為文獻[8]中的定義4.

2)向量值的正廣義單偏離性表示當x不是均衡點時,存在局中人i可以選擇由一個具有非空凸緊值的上半連續映射決定的策略y′,即使其他局中人選擇輕微偏離x的策略,y′在一個局部保障水平上也能對所有的目標函數產生嚴格更優的回報.

引理1[17]設{Tn}是在度量空間X中的一列非空有界子集,T是在X中的非空有界子集,O是在X中的開集.若O∩T≠?且h(Tn,T)→0(n→∞),其中h是在X上的Hausdorff距離,則存在正整數M,使得?n≥M,O∩Tn≠?.

引理2[17]設{Tn}是在度量空間X中的一列非空有界子集,T是在X中的緊子集.若h(Tn,T)→0(n→∞),xn∈Tn,則存在{xn}的子序列{xnr},使得xnr→x∈T.

2 不連續多目標博弈的逼近定理

定理1設(Xi,di)是一個度量空間,假設下列條件成立:

即?m≥M2,?l=1,2,…,k,有

這與條件3)矛盾.

注31)若k=1,則定理1為滿足正廣義單偏離性的n人非合作博弈問題的逼近定理;

若在定理1中xm∈Sm,m=1,2,…,則結論仍然成立.

推論1設(Xi,di)是一個度量空間,假設下列條件成立:

則

若在定理1中Sm=S,m=1,2,…,則結論仍然成立.

推論2設(Xi,di)是一個度量空間,假設下列條件成立:

則

3 結論

本文在有限理性下對滿足一類不連續條件的多目標博弈問題的逼近定理進行了研究.運用集值分析的方法,在一定條件下證明了對于一類不連續多目標博弈的弱Pareto-Nash均衡可以用在有限理性下的近似解來逼近在完全理性下的精確解.為有關不連續多目標博弈問題的穩定性和求解算法提供了理論支撐,并顯示了可以用有限理性逼近完全理性.