靜態分析和比較靜態分析中的拉格朗日乘子法

楊衛濤

（1.開封大學 a.財政經濟學院；b.區域經濟研究所，河南 開封 475004）

一、引言

拉格朗日乘子法在高等數學的微積分下半部分出現，描述的是帶有等式約束條件下目標函數的極值問題?，F實生活中，約束無處不在，而且人們總是在這些約束中追求某種最大化（利）或最小化（弊），即使是中華傳統文化中不追求極大或極小等極端情況的“中庸”思想，其實也可以用“鞍點”理論來描述。一個馬鞍，我們可以從不同的角度來看它。鞍點，既包含極大值，也包含極小值。中國人主張兼容并蓄?！鞍包c”理論與中國處世哲學相符。

為了便于幾何可視化和對概念的理解，將本文的所有函數均設定為二元函數，并且極值問題探討以取極大值為例，極小值同理可得。帶有等式約束條件，將目標函數最大值問題描述如下：

該問題的文字描述是：變量（x，y）在滿足 g（x，y）＝m 的條件下，取何值時能夠使目標函數 f（x，y）達到最大值？這種問題的一般解決方案是，利用拉格朗日乘子組建方程：

然后，對上式關于變量（x，y）和λ分別求一階偏導并且為零，解三個方程即得結果。為什么要采用這種奇怪的形式來求解？這一問題始終困擾著學生。講清楚這個問題，對后續的學習至關重要。

對以資源有限稀缺為生存前提的經濟學來說，稀缺就是約束?？梢哉f，約束貫穿整個經濟學，是這個經濟學的邏輯主線［1］。因此，不掌握這個帶有約束條件的問題，進行更深入的經濟學研究很困難，可謂寸步難行。不同語言或學科之間互相借用，有時候可以精練描述所傳達的信息，正如愛因斯坦用數學公式E＝MC2精練表述，為我們打開了核能世界的大門。我們所面對的現實經濟世界中，每天都有無法擺脫但又是必不可少的各種各樣的約束。本文借用英文單詞tyranny來傳達含義。

靜態分析和比較靜態分析是經濟學中兩種常見的事先設定的“生態環境”，里邊的物種就是變量［2］。內生變量和外生變量處在這兩個環境中，由我們根據研究目的和要求自行設定。內生變量是在設定的經濟生態環境中“自生自滅”的，外生變量是設定的經濟生態環境中的外來物種，一般初始設為不變的。簡單來理解，靜態分析是在外來物種（外生變量）不變的情況下，尋找經濟系統的均衡狀態（類似生態平衡）。比較靜態分析是找出在外來物種（外生變量）變動或擾動的情況下，經濟系統均衡狀態的變化情況［3］。因此，將各種經濟因素設定為數個變量。一般地，將短期內基本不變的設為外生變量，將容易受干擾且易變的設為內生變量。各種經濟因素之間的關系和約束條件用等式和方程組來表示。然后，作靜態分析和比較靜態分析。根據一般的意思來理解，有靜態就有動態。動態分析中有兩部分內容：變分法和動態最優化。變分法用到的是廣義的拉格朗日乘子，動態最優化中用到的是漢密爾頓乘子。雖然研究前提和環境發生了本質變化，但與本文的拉格朗日乘子法表達形式類似，由此可見，拉格朗日乘子法是重要的基礎和橋梁。

二、拉格朗日乘子法

要了解拉格朗日乘子法的來歷，就需要用到向量、定義在向量上的運算這些概念。

（一）自由向量

向量，自高中開始學起。進入大學以后，任何一本高等數學或線性代數教材（難度稍高的比如高等代數、復變函數等領域的教材）中都有向量的定義和詳細含義講解。向量的靈魂是自由向量，沒有它，向量只是二維或三維甚至高維圖中的一些點而已，完全失去了向量的魅力，也限制了向量釋放巨大能量，縮小了其施展拳腳的空間。向量可以用從坐標原點出發指向終點的有向線段表示，也可以用點值來表示。向量具有“點”“線”二象性，既可以看成有向線段中指向終點的“點”，也可以看成一個具有方向的線段。自由向量則擺脫了原始向量的定義，利用向量的特征（有向線段），將所有的方向相同和長度相等的向量視為同一個向量，并且很容易用幾何或代數形式證明。如圖1中的有向線段，方向相同且長度相等，因此在同一坐標系中視為同一個向量。這就意味著，一個向量，在同一坐標系中任意平移，向量的屬性保持不變。這就是它叫做自由向量的原因。

圖1 方向相同且長度相等的自由向量

（二）定義在向量上的運算

為便于學生理解，我們用二維平面上的點和線段組成的運動軌跡，來描述定義在自由向量上的運算符號所表示的含義。定義在向量上的運算很多，講清楚本文所介紹的拉格朗日乘子，只需要加法、數乘和內積運算。

1.加減法運動軌跡規律

在向量上定義的加法，基礎知識不再贅述。以a，b，c，d，e，f，g這7個自由向量為例，僅說明向量加法的運動軌跡規律。如圖2所示。

圖2 向量加法的運動軌跡規律

我們看向量加法體現的“點”“線”二象性。類似接龍游戲：a由原點出發，沿著后續b，c，d，e，f，g的有向線段的路徑前進，最后到達終點。減法是加法的逆運算，b到g的路徑，180°旋轉調頭，沿著這樣的路徑前進。如圖3所示。

圖3 向量減法的運動軌跡規律

2.數乘運動軌跡規律

數乘運算很簡單，反映在幾何圖形上，就是向量（有向線段）的拉長和縮短。本文僅描述兩個向量的凸組合運動規律。a，b是兩個向量，我們取其“點”性來描述凸組合［4］P28-32。

圖4 向量的凸組合運動軌跡規律

當0≤λ≤1時，λa+（1-λ）b就表示在點a和b之間的線段上滑動。λ＝0時與b點重合，λ＝1時與a點重合。

3.內積

仍以二維幾何平面為例。兩個向量 a＝（x1，y1）和 b＝（x2，y2），兩向量內積表示為

圖5 b沿a方向的“高度”

4.切向量與法向量

切線，在中學階段就開始接觸，在大學階段，又重拾且加持，微積分、空間解析幾何、微分方程都有涉及，不過，大學階段研究的切線是過函數曲線上某點且在該點與函數曲線相切的直線及其動態變化規律。本文僅說明切線和法線的位置關系，引導出切向量和法向量，借助二維平面幾何來描述。

函數 g（x，y）＝m（m 為常數），其圖形上任意一點（x0，y0），那么，過該點與函數曲線相切的切線可由微分形式推導：g（x，y）＝m?dg（x，y）＝0，而 g（x，y）的微分是由 x 和 y 的共同變動作用引起的，再根據其偏導數為“變換因子”［6］P219，得到：

圖6 切線方程

在 dg（x，y）＝gxdx＋gydy＝0 中，將 gxdx＋gydy 看作 a=（dx，dy）和 b=（gx，gy）兩個向量的內積：〈a，b〉＝dxgx＋dygy＝0，這表明 a=（dx，dy）和 b=（gx，gy）二者的位置關系是垂直的，二者方向的夾角是 90°。向量 a 指示的方向（dx，dy）是切線方向，稱為切向量；向量b指示的方向（gx，gy）與切線垂直，稱為法向量。由此我們可以知道，函數圖像上的任何一點都有一個沿向量（gx，gy）所指的方向與此點處的切線成垂直位置關系的法線。由此我們得到一個重要結論：任何一個函數圖形上的點的切線都有一個與之垂直的法線，且法線的方向可用由該函數的偏導數組成的向量來表示，它在微積分中還有一個名字，叫做梯度。

（三）帶有等式約束條件的函數極值問題

帶有等式約束條件的函數極值問題，可以用二維平面幾何來直觀解釋。目標函數f（x，y）其實是一個三維圖形，即用X、Y、Z軸組成的空間立體圖形。f（x，y）的等高線是在Z軸方向，沿著平行于由X軸和Y軸組成的平面“切”出來的曲線。又因為Z軸是連續的，所以“切”出來的等高線也是連續變化的。

圖 7 中，f（x，y）＝f0、f1、f2表示三條等高線，在同一條曲線上的 f（x，y）取得相同的值，約束曲線是 g（x，y）＝m。當約束曲線 g（x，y）＝m 與目標函數 f（x，y）的等高線相切時②可以簡單論證：如果不相切，則總可以使等高線朝更大值或更小值的方向連續變化。，目標函數 f（x，y）才能取得極值，并且二者有一條公共的切線（圖7中的虛線）。

由上邊對切向量和法向量的分析可知，任意函數圖形上某點的法方向就是由該函數的偏導數組成的向量所指的方向。目標函數 f（x，y）的等高線方程 f（x，y）＝f1和約束曲線 g（x，y）＝m 在相切點處擁有相同的切線，二者的法方向都與這條切線呈垂直關系，這也就意味著二者的法方向平行。

兩個平行的法方向，從向量角度來看。在圖 7 的相切處，法向量（fx，fy）和（gx，gy）的關系為：（fx，fy）＝λ（gx，gy），λ①可以用任意字母表示此處的常數，只是歷史文獻和權威著作一直使用λ。是一個待定常數，在確定之前是變量。

圖7 帶有等式約束條件的函數極值

目標函數 f（x，y），在等式 g（x，y）＝m 約束條件下，在極值點處滿足且必定滿足條件：（fx，fy）＝λ（gx，gy），而這個結果可以通過人為構造的方程：Z＝f（x，y）＋λ（g（x，y）-m），對三個變量 x，y，λ 分別求一階偏導為零得到。

方程（1）和（2）經過簡單變形，可得到（fx，fy）=λ（gx，gy），方程（3）就是原始約束條件。解這個方程組就得到了約束條件下目標函數的極值解（x*，y*，λ*）。

通過人為構造的含有待定參數的方程來求解，再對其中的所有變量求一階偏導并且為零，就是拉格朗日乘子法。帶有等式約束條件的函數極值問題，又稱作古典拉格朗日乘子法，它誕生時間較早，已經有300多年的歷史［6］P157-178。300多年來，人類從未停止探索具有約束條件的目標函數極值問題，對約束條件和目標函數逐漸放松要求，并減少假設前提，由此取得了豐碩的成果，這些成果正在幫助我們解決眾多經濟學中的問題?，F在，研究持續深入，對于經濟學中看似錯綜復雜的現象，我們終究會找出內部規律及其生發條件，認識和理解“機械宇宙”。

三、對拉格朗日乘子法的再認識

現求解帶有等式約束條件的函數極值問題。引入拉格朗日乘子后構造的方程，實際上是含有三個變量的新函數：Z（x，y，λ）＝f（x，y）＋λ（g（x，y）-m）。

三個變量（x，y，λ），其地位和作用不同。x和y是我們真正關注的，經濟學中，它們經常被用作內生變量。λ是為了構建拉格朗日方程而人為“湊”出來的，起到輔助作用，它的作用類似于變分法中的擾動曲線以及動態優化中的控制變量。盡管起到輔助作用，但它并不簡單，創造出來它的這種思想更是深刻并且影響深遠的。當我們面臨問題，找不到直接解決方案時，可以巧妙地借助一個看起來毫不相關的因素，通過它來找到解決問題的途徑和方法。

事實上，兩個函數 f（x，y）和 g（x，y）＝m 是不同維度的，f（x，y）是三維的，而 g（x，y）＝m 是二維的。更一般的情況，目標函數和約束條件函數是不同維度的，目標函數總是比約束條件函數高一個維度。在約束函數中加入輔助變量λ，其實就等于把約束函數的維度提高了一級，和目標函數的維度相同。并且，構造出來的新函數Z（x，y，λ）其實是一個具有鞍點的函數，這個鞍點就是極值解（x*，y*，λ*）。

鞍點，顧名思義，猶如一個馬鞍，圖像呈馬鞍形狀，如圖8所示。只有三維圖形才能可視化，二維平面不存在鞍點，因為只有一個方向的極值點。

圖8 三維圖形中的鞍點

三維以上圖形也存在鞍點，但是無法可視化，只能借助代數形式來表達。構造出來的新函數是一個由3個自變量和1個因變量組成的系統，需要用四維才能表現出來。實際上，帶有等式約束條件的目標函數極值問題，至少需要4個變量。因為目標函數至少要2個自變量，1個自變量的目標函數的約束條件只能算中學里學的函數的定義域。目標函數至少需要2個自變量和1個因變量，加上1個輔助變量λ。這就造成拉格朗日乘子法中構造的新函數 Z（x，y，λ）的極值解（x*，y*，λ*）是一個鞍點（固定不動的），但無法用幾何圖形直觀展示出來，只能用代數形式表達：

即：對于所有的 x、y 和固定的 λ*，Z（x，y，λ*）的取值都小于等于 Z（x*，y*，λ*）；對于固定的 x*、y*和所有的λ，Z（x*，y*，λ）的取值都大于等于 Z（x*，y*，λ*）。

四、拉格朗日乘子法在靜態分析和比較靜態分析中的應用

拉格朗日乘子法在理論方面準備充分以后，其在經濟學中的應用就非常簡單了。在某種程度上可以說，就是用經濟學的語言把數學形式重新翻譯和表述一遍。拉格朗日乘子法在靜態分析和比較靜態分析中應用非常廣泛，是基礎分析工具。

黨的十九大報告明確指出：“中國特色社會主義進入新時代，我國社會主要矛盾已經轉化為人民日益增長的美好生活需要和不平衡不充分的發展之間的矛盾?！比嗣袢找嬖鲩L的美好生活需要就是各種有形和無形的“消費”。消費是我國經濟發展的目的和根本動力。文章選取微觀經濟學中消費者效用最大化和消費需求領域來進行分析。

（一）靜態分析

經濟學中的靜態分析是對市場和國民收入來說的，是指利用內生變量和外生變量構建系統模型后，求解模型中內生變量的最優解或極值解。為了更好地描述經濟學中多種因素或勢力互相作用、共同博弈產生的一個多方都“滿意”的經濟動態，把模型中各方勢力均衡時的內生變量的取值稱為均衡值。靜態分析有兩個主要特征：第一，它只關注模型的內生變量的均衡值，只關注均衡結果，不分析達到均衡的過程和狀態的調整。第二，設定的模型中，所有外生變量起初都是固定不變的［7］。

以兩個商品的選擇為例：消費者消費數量為X和Y，為內生變量；其價格分別是PX和PY，消費者預算為M，三者都是外生變量。面臨的問題是，在預算約束M條件下，使效用達到最大化。

構造拉格朗日方程：Z＝U（X，Y）＋λ（XPX＋YPY-M），求一階條件：

解此方程組，就可以得到均衡解（X*，Y*，λ*）。由此可見，靜態分析就是求拉格朗日方程的一階條件，然后再求解方程組。

（二）比較靜態分析

比較靜態分析就是讓靜態分析中的 3 個外生變量（PX，PY，M）變化起來，考察其對均衡解（X*，Y*，λ*）的影響。均衡解（X*，Y*，λ*）是從包含 3 個外生變量（PX，PY，M）的拉格朗日一階條件方程組中解出來的，因此從函數角度看，它們組成如下關系：

并且，均衡解還滿足拉格朗日方程的一階條件。將均衡解代入一階條件為：

對上邊三個等式取全微分：允許所有變量都變化，這個變化用微分去測度，但變化的結果必須保持等式成立。而且均衡解的變化，是由三個外生變量（PX，PY，M）傳導所致，因此還需要復合函數以及鏈式法則。

由上述三個方程組成的方程組，是構建的消費者效用最大化問題的一個系統方程：三個外生變量（PX，PY，M），兩個內生變量（X*，Y*）和一個輔助變量 λ*。

要分析三個外生變量（PX，PY，M）變動對均衡值（X*，Y*，λ*）的影響，只能選擇分析其中一個，而要求其他兩個固定不變。例如，為了研究預算收入變化對消費者的影響，需要令PX，PY保持不變，即：dPX＝0，dPY＝0，將它們代入消費者比較靜態系統方程組，并且3個方程兩邊同時除以dM（dM為收入變動且不為零），得到：

為了將上述內容表述簡潔，利用矩陣表達方式重寫上述方程組，可得：

最終得到了比較靜態分析最簡潔的表達方式。利用克萊姆法則就可以計算出dX*/dM、dY*/dM和dλ*/dM，它們可以用來測量收入的變動對消費者最優商品消費量的影響方向和程度。如果需要測量商品價格PX變動對消費者均衡值的影響，可以令M和PY保持不變，即：dM＝0，dPY＝0，依相同方法分析即可。

五、總結

拉格朗日乘子法歷史悠久，從最初的古典拉格朗日乘子法，到廣義拉格朗日乘子法，再到其各種變種——歐拉-拉格朗日乘子法，乃至漢密爾頓乘子法，它至今仍是強大的分析方法。拉格朗日乘子法更是一種分析思想，與“旁敲側擊”“圍點打援”“直中拒則曲中求”①借用“寧在直中取,不在曲中求”，文中意思與此句含義無關。等中國先賢智慧相通，這里面有“殊途同歸”的意味。

靜態分析和比較靜態分析是經濟學的兩種研究環境：靜態分析是在內生變量已知變化范圍且外生變量給定不變的條件下，尋找研究領域具有重要內生變量的最優狀態（均衡狀態）；比較靜態分析是在靜態分析的基礎上向前延伸，在外生變量發生變化的條件下，觀察均衡狀態的變化情況［8］。比較靜態分析較之靜態分析，雖然能夠測量出外生變量的變動對均衡值的影響，但是從上邊的分析過程中可以看出，它也有缺點：只能分析單個而不是多個外生變量同時變化對均衡值的影響，它也不能分析動態調整過程和路徑，這需要向前延伸至動態分析理論［9］。