關于橢圓定值問題的探究思路與方式
——以一道競賽預賽題為例

南京市棲霞中學(210046)劉建國

圓錐曲線的定值問題在歷年數學競賽中是一個難點與熱點,這類問題的背景往往是圓錐曲線的一個一般性的結論,命題者往往將相應的點或線特殊化后呈現在考生面前,教師在平時教學時應該注重引導學生對問題進行深入探究, 挖掘定點、定值問題背后所蘊含的一般性結論,從而促進學生對數學學習的深度和廣度,培養學生的數學核心素養(如文[1]).本文以一道競賽預賽題為例,通過猜想與論證的過程還原問題的背景,探索命題者的命題思路,將條件進行一般化得出相應的結果,揭示條件對結果的影響.

一、原題呈現與解答

二、定性分析,提出猜想

三、基于猜想,論證推廣

四、探究體會,幾點感悟

1.應注重文字語言、幾何語言以及代數語言之間的轉化.解析幾何的核心思想是用代數的方法解決幾何的問題,通過代數式、方程以及不等式等代數語言表達幾何語言中有關點、線段、角以及曲線,同時將題設中的相關文字語言轉化到圖像上,在圖像上進行分析,最后轉化為代數運算,從而得出結果.因此教師在平時教學過程中應注重對圖形的理解,引導學生分析圖像以及用何種代數方程能恰當的表示幾何圖形中的關系(不同的表達方式會導致不同的運算量),將抽象思維與形象思維有效結合,培養數形結合的意識.

2.應注重培養學生由特殊到一般的數學思想方法.圓錐曲線定值、定點問題的背景往往是一些一般的結論,命題者往往是將條件進行賦值一些特殊的實數進行運算得出相應的結果,在探究這類問題過程中,首先應關注條件之間的內在關聯以及條件與結論之間的聯系,再將條件不斷的一般化,進而探究問題的背景,把握題目命制的內在規律,在平時教學中應注重培養學生的特殊到一般的思想探究問題,從而使得學生知其然,知其所以然.

3.應注重培養學生大膽猜想,小心論證.對圓錐曲線定點、定值的猜想是探索其內在規律和問題本源的一種策略,需要建立在對問題已有一定認知的基礎上提出一種假設,再利用數學方法進行論證.在數學學習過程中滲入問題探究式的學習方式不僅可以培養學生學習數學的興趣,鍛煉學生的數學思維,也可以讓學生自主的參與到探究中,在猜想后進行論證,突出學科的嚴謹性,更好的培養學生的數學核心素養.