學分制改革下線性代數的教學改革探索

吳奇　夏梓祥　楊如艷

[摘 要] 線性代數因知識點抽象難懂、掛科率較高，一直是本科公共課教學中的一個難點。隨著學分制改革的推進，不同院校對該門課程的總學時進行了不同程度的壓縮。在這一新的形勢下，通過一學期兩輪的漸進式教學、設置問題引導學生自學慕課、在課堂上合理穿插趣味教學法、利用線上教學平臺加強學習痕跡管理、多方面考核學生學習情況等一系列教學模式和方法的組合應用，保證了在總學時縮減的情況下對大綱規定教學內容的講授，提升了教學效果。

[關鍵詞] 線性代數;學分制;兩輪漸進式教學;趣味教學

[基金項目] 2017年度云南農業大學教育教學改革研究項目“高等數學學困生的形成原因與轉化策略研究”（2017YAUJY075）;2017年度云南農業大學示范課程“高等數學”（2017YAUKC09D）;2021年度云南農業大學課程思政示范項目“線性代數”

[作者簡介] 吳 奇（1983—），男，云南紅河人，博士，云南農業大學理學院講師，主要從事應用數學研究;夏梓祥（1979—），女，云南大理人，博士，云南農業大學理學院副教授，主要從事微觀金融研究;楊如艷（1978—），女，云南保山人，碩士，云南農業大學理學院講師，主要從事高等代數研究。

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2022）04-0095-04 [收稿日期] 2021-05-26

按照專業培養方案，線性代數為理工科和農林經濟類部分專業的公共必修課。該門課程的教學質量，關系到學生后續專業課的學習[1]、學業的完成乃至考研成績。云南農業大學自2019級起，對本科生教育進行完全學分制和大類招生改革。在學分制改革之前，該課程為4學分64學時，改革之后調整為2學分，32課堂學時加10課外學時，總課時與國內大部分工科院校的學時相當[2]。其中，10個課外學時的教學開展形式由教學團隊和任課教師討論決定。為適應新形勢下的公共課教學要求，在保質保量完成教學任務的基礎上，盡可能地提升教學效果，防止學生出現對數學類課程的厭學現象，我們對學分制改革背景下線性代數的課程設計和教學方法進行了一些改革嘗試。

一、教學過程中存在的問題

數學類課程一直是本科教育中的一個痛點所在。高等數學中極限、導數等知識已在中學階段有所涉及，線性代數對于絕大部分學生則是一門全新的數學課程，且大部分概念和性質更加晦澀和抽象[3]。其教學過程中存在的一些問題和困難是數學教師無法回避的。

（一）部分學生對數學類課程的恐懼心理影響了學習效果

受數學類課程特點和知識結構體系的影響，數學基礎不同的學生對數學類課程表現出截然不同的學習態度和熱情。再加上對不同教師授課方式和風格的接受度，他們對該門課程的主觀偏見和恐懼心理一旦形成，會嚴重影響后續學習的興趣和動力，使得部分學生逐漸產生厭學情緒，最終導致線性代數出現較高的掛科率。若第一次學習期末掛科，則可能使得少數學生出現在大學畢業前每年、每個學期、每天都在重修線性代數的惡性循環，這對數學基礎較薄弱學生的后續學習甚至畢業、升學和求職，造成極為不利的影響。

（二）線性代數獨特的知識體系結構加大了學生的學習難度

該門課程通過引入行列式、矩陣等概念及針對它們所特有的計算規則，形成一門獨具特色的學科。與高等數學中極限、導數、積分求解方法和技巧的千變萬化不同，線性代數中行列式的計算、矩陣的運算、向量組的線性關系、線性方程組以及矩陣的特征值特征向量等問題的求解和討論，均有相對固定的解題方法和步驟，其難點不在于計算而在于對概念和性質的理解與掌握。

（三）學分制改革對線性代數教學帶來了新挑戰

從以上可以看出，線性代數的教學開展本身就面臨著不小的挑戰。然而，學分制改革在減少課程總學時數的同時，卻未對教學內容做大的刪減，這對任課教師如何安排教學計劃、組織教學活動，在保質保量完成教學任務的基礎上，盡可能調動學生的學習興趣，提升教學效果，提出了更高的要求。

二、線性代數教學改革

針對線性代數教學中存在的問題，為更好地適應學分制改革對課程教學提出的新挑戰，我們主要從以下幾個方面對線性代數的教學設計和開展進行改革嘗試。

（一）教學模式

針對學分制改革后線性代數32課堂學時加10課外學時的配比，綜合采用傳遞—接受、自學—輔導、探索—發現和示范—模仿等教學模式，在一學期內完成所學內容的兩輪教學，幫助學生更好地理解和掌握教學大綱所要求的知識點與解題技巧。

1.第一輪教學。此輪教學中的32課堂學時以傳遞—接受模式為主，講授基本定義、定理和性質，配以典型例題。同時，針對一些較為抽象而難以理解掌握的知識點，穿插運用自學—輔導、探索—發現教學模式，激發學生的學習興趣，化解教學難點。

2.第二輪教學。10課外學時則以示范—模仿模式為主，時間上安排在第一輪課堂教學完成之后臨近期末考試之前。首先，利用線上直播平臺按章節或專題對重點題型和解題方法技巧進行復習強化，之后通過智慧樹在線教育平臺進行單元測試，并依據測試成績分析教學效果再次進行針對性講解，掃清學習障礙，達到強化訓練和針對性復習的效果。

（二）教學方法與手段

1.利用慕課預習、組間討論等教學手段化解學習難點。根據以往教學經驗和與學生的交流反饋，可以發現，n階行列式的定義、矩陣的秩、向量組的線性相關性和矩陣的初等變換是線性代數教學過程中較難的知識點，以向量組的線性相關性為最。

針對n階行列式的定義，可以在課堂教學中組織學生開展分組討論，從三階行列式的展開式的特征和細節入手，總結其中的規律，并將其推廣到n階行列式的展開計算。這樣的學習方式與教師直接給出結論相比，有利于鼓勵學生探索發現數學規律，更好地掌握和記憶知識點。

對于矩陣的秩、向量組的線性相關性和矩陣的初等變換，則通過設置問題，如矩陣的秩要求滿足哪些條件，線性組合、線性表示、線性相關和線性無關四個定義間的區別，初等矩陣和初等變換間的關系等，要求學生在課前提問的引導下完成相關慕課或熱門網絡教學視頻的學習，并記錄下自學過程中對課前提問的解答、新產生的疑點和難點，之后在課堂教學中進行求證和解決。這在解決教學難點的同時，也引導學生形成課前預習、課后針對難點進行復習鞏固的學習習慣。

從線性相關性的有關定理和性質來看，它們的理解和證明都是圍繞線性組合、線性表示、線性相關和線性無關四個定義來展開的。這四個定義既容易混淆又抽象晦澀，學生普遍反映此處是線性代數中最難理解和掌握的知識點之一。因此，在相應的課堂教學中，可對上述四個定義進行課堂默寫和同桌相互檢查，在理順這四個抽象且容易混淆的定義的同時，也為后續相關性質定理的講解做了鋪墊。

2.穿插趣味教學法化解厭學情緒，活躍課堂氣氛。線性代數中的很多知識點是較為抽象的，如上面提到的矩陣和向量組的秩、向量組的線性相關性等。如果在教學過程中一味地灌輸式講授，容易使得課堂氛圍較為沉悶，從而使學生產生疲勞感，降低學習興趣。因此，在課堂教學中，針對一些較難的知識點和題型，通過編寫口訣、諧音字和數學小故事等趣味教學手段，以達到活躍課堂氣氛、吸引學生的目的，避免因長時間的理論教學降低學生對數學類課程的學習興趣[4-6]。這里列舉幾個案例。

例1：n階行列式的定義。

通過組織學生課堂分組討論總結三階行列式的規律，并推廣至n階行列式后。

將n階行列式的展開計算總結為三個步驟、一句口訣：“行標準列排列，逆序數定正負?！奔词紫?，行腳標為標準次序;其次，列腳標p1p2…pn遍歷1～n的所有全排列;最后，計算列腳標的逆序數t（p1p2…pn）確定正負號。這樣既可以幫助學生理解和計算相關習題，也有利于學生進一步理解和記憶對角和三角行列式的計算公式。

例2：矩陣乘法。

矩陣乘法是矩陣運算中的一個重要知識點，也區別于高等數學中的極限、導數和積分，是代表“線性代數”特色的一個計算法則。其定義看似眼花繚亂的腳標，在掌握了計算規則后則會讓學生產生“原來如此”的學習體驗。為了幫助學生更好地掌握矩陣乘法，我們總結了一句簡單的口訣：“前列=后行，前行×后列?！鼻罢弑硎玖司仃嚦朔軌蜻M行的前提條件為前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數，后者則表示矩陣乘法的計算方法為前一個矩陣的行與后一個矩陣的列的對應元素相乘再求和。同時，通過板書卡通笑臉圖像和一個趣味小故事活躍課堂氣氛：

上式中的n就好似一個媒婆，把一對適婚男女（矩陣）A、B介紹到了一起，一旦瞅對眼（前列=后行），媒婆就功成身退了。

例3：方陣的特征值和特征向量。

在講解特征值λ及其特征向量x的定義時，圍繞等式Ax=λx的特征，教師可以戲說一個小故事：發明特征值和特征向量的這位數學家其本意可能是想“偷懶”，他覺得直接計算矩陣乘法Ax太麻煩，如果能找到某些特殊的向量x使得Ax等于λx，則可以只計算向量的數乘從而簡化計算。在利用演繹手法講解使得該知識點接地氣的同時，教師又指明尋找特征向量并非為了“偷懶”，而是為了找出特殊的向量x，滿足Ax與x平行，進一步升華該定義的幾何意義。通過前后具有戲劇性的沖突對比，既活躍了課堂氣氛，又加深了學生對該定義的印象。

3.利用多種手段進行學習痕跡管理。為督促學生積極參與日常教學，我們采用多種網絡教學手段進行平時學習痕跡的管理。例如，由于教學班選課人數多，教師教學任務重，無法保證每次作業都全部批改，因此由學生自行提交QQ群作業，并以學號末位數1～9隨機輪流批閱作業。這樣既有了平時記錄，又便于教師及時掌握學生的學習情況。在第二輪以章節或專題開展的教學中，則通過線上直播和隨機網絡答題等教學手段，在調動學生積極參與教學活動積極性的同時，生成的回放視頻也可供需要的學生多次觀看強化復習，網絡教學平臺的統計數據則十分便于對學生平時學習情況進行基本評判。

4.成績評價。由于數學類課程的特殊性，期末考試仍然是目前能夠較全面地反映學生對線性代數這門課程掌握程度的考核方式，但也要充分肯定學生在日常學習過程中的積極參與和付出。因此，我們通過多種網絡學習平臺，盡量全面地記錄學生的平時學習痕跡，將過程性評價和終結性評價相結合，以期末筆試（60%）、單元測試（30%）、平時成績和課外學時參與情況（10%）對學生進行綜合評判。

三、改革成效

通過對筆者授課班級學生的總評成績統計可以看出，自2019學年開始引入并完善慕課預習、趣味教學等教學手段后，掛科率從2018學年的18.4%降至5.5%（圖1）。從2020學年第一屆學分制改革后學生的學習情況來看，雖然掛科率有小幅提升（8.8%），但整體情況仍優于2018學年。這表明在2019學年對教學方法改進的基礎上，通過在課堂和課外學時中分別完成兩輪學習的模式，雖然總學時減少三分之一，教學要求不縮水，但學生的考試成績沒有出現大幅度的下滑，其分布規律更加符合正態分布規律。

四、結論

以云南農業大學為例，本文分析了線性代數教學過程中存在的問題和面臨的新挑戰。在學分制改革縮減課時的情況下，通過主動調整和改進線性代數課程教學模式和方法，保證了該門公共課的教學活動能夠按照教學大綱的要求順利開展，并在教學過程中總結了一些有益的經驗和方法。在以往的學習中，學生對該課程的反饋普遍是概念定理抽象難懂，課程難度較大。通過穿插運用自學—輔導、探索—發現教學模式，在解決教學難點的同時，還培養了學生的自主學習能力;趣味教學法的使用，增加了學生的學習樂趣，盡量保持學生對課程學習的黏性;一學期內完成兩輪學習，則讓學生能夠在一個學期內循環式地加深對重要知識點和解題技巧的理解、掌握。這一系列的方法和嘗試，可以通過成立課程教學團隊，針對學生特點開展集體備課，在形成一套完整教學體系的同時，發揮不同教師的特色和優勢，以求能夠激發學生的學習興趣，提升線性代數的整體教學效果，從而獲得更廣大學生的認可，并更好地服務于學校的教育教學改革。

參考文獻

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[6]黃曉娟. 高等數學趣味教學法探討[J]. 赤峰學院學報（自然科學版），2017， 33（10）：6-7.

Exploration on the Teaching Reform of Linear Algebra under the Reform of Credit System

WU Qi， XIA Zi-xiang， YANG Ru-yan

（College of Science， Yunnan Agricultural University， Kunming， Yunnan 650201， China）

Abstract： Linear Algebra has always been difficult in the teaching of undergraduate public courses because of its abstract knowledge. With the advancement of credit system reform， different colleges and universities have compressed the total class hours of this course to varying degrees. Under the new situation， in the combination and application of a series of teaching modes and methods， such as two rounds of progressive teaching in a semester， setting questions to guide students to learn by themselves， reasonably inserting interesting teaching methods in the classroom， strengthening the management of learning traces by using the online teaching platform， and assessing students learning in many aspects. The methods can ensure the teaching contents under the condition of reducing the total class hours and improve the teaching effect.

Key words： Linear Algebra; credit system; two-round progressive teaching; interesting teaching