混合式教學模式在線性代數教學中的應用

朱青

摘要：線性代數是一門重要的專業基礎課程，在專業學習和實際生活中都有廣泛的應用，為培養高素質應用型人才提供必備的基礎知識。闡述混合式教學模式的內涵，明確線性代數課程體系，研究混合式教學模式在線性代數教學中的應用，并給出案例分析。通過開展混合式教學，培養學生的自主學習能力，提高學生的抽象思維能力以及解決實際問題的能力。

關鍵詞：線性代數;混合式教學;信息技術;數學軟件;在線教學平臺

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）06-0175-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

線性代數是理工農林類院校各專業的一門重要課程，在眾多專業領域中應用廣泛。傳統教學模式下，以教師講授為主，學生被動學習，學生的自主學習能力較差，沒有得到相應的培養。另外，由于課程較為抽象難懂，并且教學過程普遍重理論輕應用，學生缺乏學習興趣，學習積極性不高。隨著信息技術的快速發展，基于“線上 + 線下”的混合式教學成為高等教育發展的一個新方向?；旌鲜浇虒W模式下，線性代數教學發生了重大變革，傳統的教學方法、教學手段需要改變和調整，線性代數教學需要注入新的生機和活力。

1 混合式教學模式的內涵

混合式教學模式強調將傳統的課堂教學與網絡教學相結合，在教師的引領下，培養學生的自主學習能力，提高學生的學習興趣和積極性，全面提升教學效果。經過廣大教育工作者的努力探索，逐步摸索出一條適應我國高等教育發展的道路。目前，普遍認可“MOOC+翻轉課堂”或“SPOC+翻轉課堂”的形式，可將整個教學環節分成三部分。課前，將自主學習任務單、教學視頻、討論題、拓展閱讀等相關資料上傳至網絡教學平臺，學生通過觀看視頻進行自主學習;課中，在教師的引導和學生的積極參與下，開展翻轉課堂;課后，師生之間通過網絡開展交流互動、輔導等活動。

在這種新的教學模式下，由于課前學生已經進行自學，課中環節教師應充分發揮學生的主體地位，采用多種教學策略，有效開展翻轉課堂。一方面，利用啟發引導、重點答疑、小組討論、學生展示等各種方式，充分發揮學生的主體地位;另一方面，在“黑板+多媒體”的傳統教學手段上，結合學習通、雨課堂等智慧教學工具，提高學生的學習積極性和參與度。

2 線性代數課程體系

多年來，通過眾多教育者的努力，我國線性代數課程的內容體系改進了許多，部分教材加入了實用性案例以及MATLAB實驗指導。

1） 理論內容。線性代數研究向量、向量空間、線性變換和線性方程組，國內教材主要包括矩陣、行列式、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量、二次型[1]。線性代數有著嚴謹的邏輯推理，知識內部關聯性較強，重視論證與計算，具有高度的抽象性。

2） 應用案例。線性代數在自然科學眾多領域中有重要的應用，并且進一步滲透到經濟、管理等社會科學領域，很多專業領域均可利用線性代數知識來解決技術問題。例如：投入產出分析、動態經濟模型、人口預測模型、交通流模型、微分動力系統、遺傳模型、圖像處理、復合材料開發、大規模集成電路設計、信號處理、線性規劃、彈性鋼梁受力形變等很多方面都有應用。對此，我們強調通過數學模型來解決各領域中的實際問題，建立應用案例進行研究并加以推廣。

3） 課程實驗。在線性代數中，以高階線性方程組的求解為例，計算的復雜程度以及較大計算量都阻礙了線性代數在各領域中的應用和發展。對此，需要利用計算機和數學軟件開展相應的數學實驗，從而擺脫復雜的數值計算，促進數學應用方面的發展。最常用的MATLAB軟件，可以進行多種運算，并且具有操作方便、數據可視化等一些特點，對于解決相關計算問題、提高解題效率非常有幫助。

3 混合式教學模式下線性代數教學策略

3.1 利用線上教學平臺，開展課前預習任務

混合式教學模式下，課前教師通過線上教學平臺發布學習資源，主要包括自主學習任務單、教學視頻、思考題、討論題等，以供學生課前預習。通過發布課前自學任務，可以為學生提供學習指導與幫助，學生帶著任務自學，一定程度上可以克服學習惰性。通過學習任務的引領，學生可以初步了解所學內容的重難點、前后聯系以及線性代數在不同領域的應用情況，學生的自主學習能力得到進一步的提升。

案例1 以“線性方程組與矩陣的初等變換”為例，課前布置自學任務：①給出一個三元線性方程組，讓學生利用中學階段所學的高斯消元法解方程組;②引導學生觀察“方程的變換”與“增廣矩陣的變換”之間的關系;③總結變換類型;④觀察行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的特點;⑤引導學生將增廣矩陣化為行最簡形矩陣，即可求出方程組的解;⑥通過學習，總結解線性方程組的步驟。通過考查學生對任務的完成情況，課堂中教師可以有側重點組織教學活動。

3.2 開展合作學習模式，構建師生學習共同體

傳統教學模式下，基本以教師講授為主，學生學習過程相對孤立，師生之間、生生之間缺乏一定的交流與互動?；旌鲜浇虒W模式強調在教師的引領下，發揮學生的主動性和積極性，師生之間相互學習與交流。因此，可以將教學班級分成若干個小組，小組成員之間共同學習、研討，通過這種方式進一步激發他們思想碰撞的火花。一般每四人為一小組，課前可以相互督促自學，課中可以進行小組討論，課后可以開展學習互助。尤其對于一些較為復雜的問題或項目，通過開展小組內部以及小組之間的協同合作，不斷修正并完善討論結果，學生的學習主動性得到了很大的提升。

案例2 以討論“矩陣、行列式、方程組、向量組之間的內在聯系”為例，通過課堂教學實踐發現，不同小組從不同角度進行了匯報。雖然有些小組總結不太全面，但是在討論的過程中，同學之間相互幫助，學習能力較強的學生帶動其他學生，相互之間分析講解，進一步加深了知識的理解。

下面給出其中一個小組的匯報結果進行展示，對于[n]階方陣[A]，得出以下命題等價：①線性方程組[Ax=0]只有零解;②矩陣[A]的秩等于[n];③矩陣[A]的行（列）向量組的秩等于[n];④矩陣[A]的行（列）向量組線性無關;⑤矩陣[A]的行列式不等于0;⑥矩陣[A]可逆。通過小組討論，最終建立了知識單元的關系鏈，學生對線性代數的知識結構有了更深的認識和理解。

3.3 利用智慧教學工具，活躍課堂氣氛

線性代數具有抽象、嚴謹、計算量大等特點，很多過程需要進行論證、計算，多數教師采用“黑板+粉筆+PPT”的教學手段。但是傳統的教學模式下，學生被動聽講，課堂氣氛比較沉悶，部分學生感到枯燥、無趣，學生學習的積極性并不高。對此，可以利用智慧教學工具活躍課堂氣氛，提高學生學習的積極性和參與度。常用的學習通、雨課堂等教學工具，均具有提問、搶答、討論、彈幕、投票、統計等功能，在恰當的時機使用這些功能，可以緩解課堂的緊張氣氛，使學習過程變得多樣化。

案例3 以矩陣和行列式的運算為例，進行投票活動：以下正確的是？

A. [kA=kA]，其中[A]為方陣;

B. 矩陣運算滿足[A+B=B+A];

C. 矩陣運算滿足[AB=BA];

D. [A+B=A+B]，其中[A，B]為方陣;

E. [AB=AB]，其中[A，B]為方陣;

F. [AB=BA]，其中[A，B]為方陣。

正確答案為B、E、F，通過投票結果發現，出現問題較多的選項為A、F，其次為選項D、E，說明學生對于矩陣、行列式運算法則理解不夠深入，需要老師詳細分析或給出反例。通過投票環節的數據統計功能，使得教師能夠全面了解全班同學對于某個知識點的掌握程度。

3.4 利用多媒體，加強交互性與可視化

線性代數和幾何聯系緊密，很多概念和知識都有一定的幾何背景，目前國內線性代數教材，普遍缺乏相關的幾何背景，使得學生學起來更加的抽象，對于線性代數的本質不甚了解。對此，教師在上課過程中可以利用多媒體，采用交互性、可視化的方式，展示相關的幾何背景，加深學生對線性代數幾何意義的理解，使得課程變得形象生動。

案例4 以“正交變換化二次型為標準形”為例，說明正交變換保持幾何圖形形狀不變[2]。將二次曲線[3x2+4xy+3y2=16]（圖1），化為標準方程[x2+5y2=16]（圖2），通過觀察可知，二次曲線為橢圓，變換前后形狀不變。

通過作圖，還可以解釋二次型的正定（負定、不定）性。例如[fx，y=x2+5y2]為正定二次型（圖3），[fx，y=-x2-5y2]為負定二次型（圖4），[fx，y=x2-5y2]為不定二次型（圖5）。

3.5 結合MATLAB軟件，開展實用性案例研究

線性代數是一門重要的專業基礎課程，在工程技術、計算機科學、社會科學、經濟管理等領域中有重要應用，為培養高素質應用型人才提供必備的基礎知識。傳統的教學模式下，教師幾乎把全部課堂時間用于講授理論知識，學生明顯感到枯燥、無趣且缺乏應用價值，這在一定程度上降低了學生的學習興趣，學生的學習動力不足。對此，在混合式教學模式下開展翻轉課堂，要把理論知識、對應不同專業需求的實用性案例、MATLAB實驗指導這三部分內容有機結合在一起，以此豐富線下課堂教學，提升教學效果。

案例5 常見的線性變換類型有恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉變換、投影變換、切變變換，給出線性變換在圖像處理方面的應用[3]。以沿[x]軸的切變變換[Y=AX]為例，其中[A=1k01]，給出矩陣：

[X=001014.574.5708081071075.515.5110010]

為字符H圖形的各個節點。利用MATLAB作圖功能，當[k=0.25]時，圖像發生了如下變化（圖6）。

把理論與實際結合，讓學生一開始就知道學習線性代數是有用的，將來可以解決生活中的一些實際問題，并為接下來的后繼專業課學習打好基礎。

4 結束語

混合式教學模式強調學生的主體地位，教師應結合不同專業學生的需求，制定相應的授課計劃，注重知識的擴展和能力的提高。一方面，教師應充分發揮啟發、引領作用，創設良好的課堂環境，提高學生的抽象思維能力以及解決實際問題的能力;另一方面，教師應充分利用信息技術，為學生提供更豐富的學習內容、更多樣化的學習形式，提高學生的學習興趣和積極性，提升教學效果。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.線性代數[M].北京：人民郵電出版社，2017：1-2.

[2] 王杰.MATLAB可視化效果在線性代數教學中的應用[J].淮南師范學院學報，2010，12（3）：101-102.

[3] 陳懷琛.實用大眾線性代數（MATLAB版）[M].西安：西安電子科技大學出版社，2014：93-94.

[4] 鄭穎春.基于SPOC的“線性代數”課程教學模式的探索[J].牡丹江教育學院學報，2020（2）：75-77.

[5] 郭宏博.基于多媒體的線性代數教學案例分析[J].電子技術，2020，49（9）：46-48.

【通聯編輯：王力】