整體關聯視角下的單元教學設計

吳濤

摘? 要：整體關聯性是單元教學設計的主要特征. 以“多邊形外角和”單元教學設計為例，從整體關聯視角出發整合教材內容，以知識關聯為內容，以方法關聯為紐帶，以邏輯關聯為支柱，引導學生形成由特殊到一般的探究幾何圖形的方法.

關鍵詞：整體關聯;單元教學設計;外角和

一、前言

數學單元教學設計是在整體思維指導下，以提升學生數學學科核心素養為目的，通過對教材內容進行一定的重組和優化，以突出數學內容的主線及知識之間的關聯性. 整體關聯性是單元教學設計的主要特征，意圖通過尋找數學內容之間的整體關聯，設計教學內容，打破傳統課堂中課時與課時之間的隔閡，不再拘泥于教材中每節課的教學內容，而是以一個更加廣闊的視角，循著教學思路，以知識關聯為基礎，以方法關聯為紐帶，以邏輯關聯為支柱，進而形成一個“整體”. 引導學生在學習探索過程中暴露數學思維的生長過程，遷移數學活動經驗的成果，從而厚植數學理性精神的文化.

二、單元教學設計的課堂教學實踐

1. 知識關聯是單元教學設計的基礎

知識是數學教學的主要內容，知識關聯是單元教學設計的基礎，知識關聯意在設計教學時通過對照《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）分析教材，尋找知識點之間的聯系，從上位、下位、并列關系出發，將碎片化的數學知識進行模塊式整合，有助于從整體上把握教學內容，確保知識結構的完整性，明確單元內容在《標準》以及整個學段中的定位與要求，以期形成一個整體. 相較于其他學科而言，數學知識內部之間的關聯更加緊密，學習新知識的過程就是學習者積極主動地從自己已有的認知結構中提取與新知識最有聯系的舊知識，并且加以“固定”或者“歸屬”的一種動態過程，過程的結果導致原有的認知結構不斷地分化和整合，從而使得學習者能夠獲得新知識或者清晰穩定的意識經驗.

以本節課為例，從大框架而言是學生對圖象性質的探索，再逐步具體到三角形與多邊形的角的性質，如圖1所示.

學生在學習本節課之前已經對三角形的內角和、多邊形的內角和進行探索，感受到三角形與多邊形之間的聯系，所以本節課在設計教學內容時，打破原有的課時安排，整合三角形的外角和與多邊形的外角和的內容. 整體思路設計為先對三角形的外角和進行研究，再一般化對多邊形的外角和進行研究，形成從特殊到一般、從簡單圖形到復雜圖形的基本研究“套路”.

環節1：

問題1：多邊形有內角，是否也有外角呢？你認為什么是多邊形的外角？

追問1：能否到黑板前畫出圖2的一個外角？

追問2：對于多邊形的外角可以進行哪些方面的研究？

多邊形外角和的概念：在每個頂點處分別取多邊形的一個外角，這些外角的和叫做這個多邊形的外角和.

追問3：類比多邊形的內角和的研究，你打算如何研究多邊形的外角和？

【設計意圖】從學生已有的知識經驗出發，由多邊形的內角的概念引出多邊形的外角、外角和的概念，激發學生的學習興趣，體現研究的必要性. 同時，在本環節的設計，筆者意在從教學的初始階段建立數學知識內部間的聯系，一改傳統的直接拋出三角形，改為研究一個更加一般的n邊形，增強問題的統攝性，引導學生建立由特殊到一般、由簡單圖形到復雜圖形的研究路徑，形成學生研究圖形的基本“套路”.

2. 方法關聯是單元教學設計的紐帶

數學思想方法是數學的本質所在. 方法關聯是單元教學設計的紐帶，意在設計教學時凝練思想方法，尋找關聯教學內容之間的方法，進而在關聯教學內容中不斷滲透思想方法. 一方面，由于關聯教學內容在知識的關聯性方面決定了其思想方法也存在著一致性;另一方面，由于數學思想方法的抽象性特征相較于知識更加復雜，學生難以通過一節課形成思想方法，所以筆者試圖在關聯教學內容上不斷滲透思想方法，進行“強化”，以期提升學生的思維品質，培養學生的核心素養.

以本節課為例，學生在探索三角形、多邊形的內角和時，從操作層面上看，從條件出發，需要將不共頂點的角“轉移”到“共頂點”的角，即構造平行線，從而實現角的“相加”，從結論出發，學生需要對180°進行聯想，由180°你能想到什么，即平角、同旁內角等. 從思想層面上看，在研究多邊形的內角和時，可以從直接和間接兩個思路出發：直接路徑，即類比研究，“轉移”角，是對三角形內角和的探索過程的鞏固;間接路徑，即轉化研究，將多邊形轉化為三角形，是對三角形內角和的結論的鞏固. 可以看出，這一思想方法與即將研究的三角形、多邊形的外角和是一致的，所以有必要利用好這一教育資源進行整合，滲透思想方法.

環節2：

問題2：從研究三角形開始，如圖3，通過實驗操作，度量三角形的外角和，你有什么發現？證明你所發現的結論.

學生獨立探索，教師巡視，讓有一定探索成果的學生陸續上黑板演示，將不同方法的簡要過程寫到黑板上，并要求學生再思考是否還有其他的方法.

追問1：類比三角形內角和的證明，你打算如何證明三角形的外角和？

追問2：從條件出發，如何將不共頂點的角轉化成共頂點的角？

追問3：從結論出發，根據360°，你能想到什么？你還能想到什么？

學生生成如下.

（1） 如圖3，因為∠1 + ∠BAC = 180°，

∠2 + ∠ACB = 180°，

∠3 + ∠ABC = 180°，

又因為∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

（2） 如圖4，過點A作AD∥BC，

則 ∠3 =? ∠DAE，∠2 =? ∠DAC.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠DAE + ∠DAC = 360°.

（3）如圖5，取點P，過點P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，分別交BC，AC，AB于點D，E，F.

∠2 = ∠HDB = ∠DPF，

∠3 = ∠JFA = ∠FPE.

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠EPD + ∠DPF + ∠FPE = 360°.

（4）如圖6，連接DE，EF，DF.

因為∠1 + ∠ADE + ∠DEA = 180°，

∠2 + ∠CEF + ∠EFC = 180°，

∠3 + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

而∠ADE + ∠DEA + ∠CEF + ∠EFC + ∠BFD + ∠FDB = 180°，

所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° × 3 - 180° = 360°.

【設計意圖】筆者在環節2中通過類比三角形的內角和的探索過程，引導學生探索三角形的外角和. 通過問題2的設計，引導學生經歷操作、猜想，證明完整的探索過程. 同時，在教學策略上，筆者采用“讓學生陸續上黑板演示”，即學生獨立探索證明方法，教師巡視，并讓一部分學生上黑板寫出簡要過程. 這樣的好處在于：一方面，沒有思路的學生觀察其他學生的操作啟發思考;另一方面，倒逼已經完成的學生再繼續思考還有沒有其他方法. 這里的追問1、追問2、追問3是在學生獨立探索的過程中觀察學生的情況做的一些提示，留給學生充足的探索時間，以激發所有學生的思考. 待學生的想法都得以呈現后，教師進行總結、歸納，即“根據360°，你能想到什么？”可以聯想到周角或180° × 2，由180°可以聯想到平角、同旁內角、三角形內角和等，在總結、歸納中，再次勾連三角形內角和的證明方法. 本環節設計的問題是“一般觀念”下的一般問題，以期形成學生在解決問題時的元認知能力.

3. 邏輯關聯是單元教學設計的支柱

邏輯是數學教學的基礎. 邏輯關聯是單元教學設計的支柱，為單元教學設計提供了可行性的條件. 筆者認為，缺少了邏輯關聯的單元教學設計就會演變成數學教學內容的堆砌，立足于邏輯關聯的單元教學設計可以實現“1 + 1 > 2”的效果. 誠然，教材在編寫過程中本身遵循了一定的邏輯，但因為受到教材編寫等多方面的要求，教師在教學過程中不能被教材所左右，而應該在遵循邏輯關聯的基礎上，創造性地使用教材. 以本節課為例，蘇科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）七年級下冊第七章第五節在第1課時中探究了三角形的外角和，在第2課時中探究了多邊形的外角和. 在實際授課時，筆者將三角形的外角和與多邊形的外角和內容進行整合，凸顯由特殊到一般的基本邏輯，引導學生經歷完整的探索過程，意在打破原有的知識點逐個地了解、識記、理解，轉變為關注學生運用知識做事、持續地做事、正確地做事，強調知識點從理解到應用，重視知識點之間的聯結及其運用.

環節3：

問題3：類比三角形外角和的探索，能否探索n邊形的外角和？

追問1：能否猜想n邊形的外角和的度數？操作驗證你的猜想.

追問2：能否證明你所發現的結論？

問題4：如圖7，五邊形紙片ABCDE剪去一個角，得到幾邊形？此時，多邊形的外角和有什么變化？

追問：能否用所學知識說明多邊形的外角和與多邊形的邊數無關？

【設計意圖】在環節3中，問題3是遵循由特殊到一般的邏輯，筆者引導學生類比三角形的外角和的探索過程，探索多邊形的外角和，環環相扣，遷移活動經驗的成果，以期形成學生探索問題的一般思路. 設計問題4，需要學生分情況進行討論，同時設置追問，引導學生在問題4的啟發下從數和形兩個角度出發，發現“多邊形的外角和與多邊形的邊數無關”. 從數的角度來看，可以利用公式計算，即180° × n - （n - 2） × 180° = 360°，n在計算過程中被消去，所以與邊數無關;從形的角度來看，以五邊形為例，五邊形剪去一個角可能形成六邊形、五邊形、四邊形，出現如圖8所示的三種情況.

（1）如圖8（1），當五邊形剪去一個角形成六邊形時，從外角出發，減少∠1，增加∠2，∠3，因為∠3 = ∠FGB，∠1 = ∠2 + ∠FGB，所以∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

（2）如圖8（2），當五邊形剪去一個角形成五邊形時，此時仍為五邊形，從外角出發，減少∠1，∠BCG變成∠FCG，增加了∠2，∠3，同理可證∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

（3）如圖8（3），當五邊形剪去一個角形成四邊形時，從外角出發，減少∠1，∠BCF變成∠ACF，增加了∠2，∠EAH變成了∠EAG，增加了∠3，同理可證∠1 = ∠2 + ∠3. 所以多邊形外角和不變.

問題4的設計，意圖從數、形兩個角度出發利用已有的知識經驗說明多邊形的外角和不隨邊數的變化而變化.

三、單元教學設計的反思與啟示

1. 活用教材建整體

初中數學教學不能只以知識傳授為目的，更應該著力于提升學生數學學科能力，課程改革要求教師樹立“用教材教”而不是“教教材”的教育理念. 教材受編寫要求的限制，往往以知識點為序列進行編寫，但教師應正確厘清教師與教材之間的關系，深入挖掘教材內容的本質，理解、貫徹教材的內在精神. 例如，教材七年級下冊第七章第五節編寫的“多邊形的外角和與內角和”分為4課時內容，第1課時探究三角形的內角和，第2課時探究多邊形的內角和，第3課時探究三角形的外角和，第4課時探究多邊形的外角和. 這樣的安排符合教材編寫的基本邏輯，以逐個知識點為序列進行編寫. 但在實際教學過程中，如果只以“了解”“識記”“理解”為目標，難以建構知識之間的聯系形成整體. 在實際授課時，筆者整合教材內容，突出從特殊到一般的研究思路，將探究內容整合在兩課時中，分別為探究多邊形的內角和、探究多邊形的外角和，每節課遵循由三角形到多邊形的探究思路，這樣的探究方法將一以貫之地出現在初中數學學習的各個環節中，形成具有統攝性的“一般觀念”.

2. 學思結合尋關聯

以知識關聯為內容，以方法關聯為紐帶，以邏輯關聯為支柱，以期突出教學內容的主線. 筆者認為單元教學設計不是將關聯的知識點整合在一起，這樣的整合只有其“表”，不但加重學生的學習負擔，也對學生能力的培養難有實質性的幫助. 理想的單元教學設計應從“知識”“方法”“邏輯”三個維度出發，在整體思維指導下，從提升學生數學學科核心素養的角度出發，對相關教材內容進行統籌重組和優化. 以“多邊形的外角和”為例，從知識上來看，多邊形是三角形的上位概念，多邊形的外角和是三角形的外角和的一般化結論;從方法上來看，探究三角形的外角和可以從三角形的內角和出發，也可以通過構造平行線將不共頂點的角轉移到一起，轉化為周角，多邊形的外角和可以沿用相同的思路進行探究，同時從“數”“形”角度說明多邊形的外角和不隨邊數的變化而變化，又沿用了上一課時探究的結論，體現了課時與課時之間的聯系;從邏輯上來看，遵循研究某個幾何圖形往往從最簡單的圖形研究的一般邏輯，符合學生的認知規律.

3. 以人為本促成長

從“以知識為本”到“以人為本”，“以人為本”是應樹立的教學觀念. 米山國藏在其名著《數學的精神、思想和方法》中指出：學生在初中、高中等階段接受的數學知識，畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，所以通常是出校門后不到兩年，很快就忘掉了. 然后，不管他們從事什么行業的工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數學精神、數學思想方法、研究方法、推理方法和著眼點等卻隨時隨地地發生作用，使他們受益終身. 單元整體設計正是秉持著這一觀念. 以本節課為例，從整體上來看，環節1從一個大問題出發，引導學生主動設計探究路徑，樹立了研究平面幾何圖形的“一般觀念”;從局部來看，環節2類比三角形的內角和的探索過程探索三角形的外角和，突出類比的數學思想，創設學生充分討論交流的時間和空間，引導學生多方法、多角度、多層次的理性思考的發生. 環節3回歸到本節課的主旨問題上來，從“數”“形”兩個角度出發說明結論的正確性. 可以看出，每個環節之間環環相扣，都試圖促進學生數學學科核心素養的培養.

綜上，單元教學設計符合學生的認知規律，順應時代的發展需求. 但不可否認，還有很多問題亟待解決，這將是筆者繼續努力的方向.

參考文獻：

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