GNSS高程擬合在高原基礎測繪中的應用研究

梁雙鳳

(甘肅省測繪工程院，甘肅蘭州 730000 )

1 引 言

我國西部高原地區資源豐富，盛產天然氣、煤炭、石油以及地方特色土特產品。為了將這些資源和特產運送出來，實現國家西部大開發戰略，國家做出了很多戰略部署?；A測繪是戰略部署中非常重要的環節，但高原地區地形復雜，自然環境惡劣，人跡罕至，有廣袤的沙漠百里風沙區，也有荒無人煙的戈壁灘“無人區”，給高原基礎測繪工作帶來了巨大的挑戰，特別是實施水準測量非常困難。據有關報道，測繪生產單位開展的高原基礎測繪相關航空攝影測量內外業工作，包括構建測量 C級GNSS網、布測像控點及像片外業調繪等，但水準測量幾乎無法實施。GNSS測量得到的是大地高，而工程項目采用正常高程系統，因此，GNSS測量的大地高需要通過大地水準模型轉換為正常高，才能用于工程項目?；A測繪航空攝影高程基準的高程精度要求較高，為了解決高原基礎測繪高程基準測量困難的問題，需要一種更高效的獲取高精度像控點高程值的方法。

國內外學者對GNSS高程轉換理論和實踐進行了大量的探索和研究[1]。高偉[2]通過大量GNSS高程擬合理論與實踐研究，精化了似大地水準面，其高程精度可達±2 cm。根據參考文獻[3]，深圳市似大地水準面精化模型的高程異常的絕對精度達±1.4 cm。隨著數學與計算機技術的快速發展，地球重力場模型提出后，國內外學者又提出了很多新方法、新模型來解決高程擬合問題[4-5]。本文主要針對高原地區高程基準難以解決的實際工程問題，探索一種適用于高原地區的GNSS高程擬合方法，解決高原基礎測繪像控點高程基準問題。利用GNSS測量像控點平面坐標得到精確大地高數據，結合測區少量已知公共點數據，通過高程擬合方法，解算出大量像控點的高精度高程異常值，進而計算得到這些像控點的高程值。經文獻研究發現，曲面擬合方法和“移去—恢復”法具有較高精度。因此，本文基于這兩種方法，利用MATLAB平臺自編程序，構建多種擬合模型，并結合高原基礎測繪項目實例，得到適合高原基礎測繪的最佳高程擬合模型。本研究成果可以為高原基礎測繪以及其他相關測繪在高效解決高程基準的問題上提供參考。

2 GNSS高程擬合算法

2.1 多項式曲面擬合模型

當測區范圍較大時，可采用多項式曲面擬合模型，通過已知點高程異常解算模型中的系數，然后計算待定點的高程異常，根據高程異常與正常高的關系計算待定點的高程值。該算法步驟如下[6]：

1)建立多項式曲面方程，如公式(1)所示。根據已知點的坐標(x,y)和高程異常值ξ，求解多項式曲面函數的系數。

(1)

式中：ai為多項式曲面函數的系數，εi為高程異常殘差值。

2)根據步驟1)中求得的系數，將待求點坐標代入多項式函數，解算出未知點的ξ，用該點的GNSS觀測的大地高，可求出該點的正常高的高程值。

多項式曲面擬合模型具有多種形式，根據公式(1)選用項的不同，可得不同的曲面擬合模型[7]：

1)當選用式(1)中的前三項時，建立的擬合模型為平面擬合模型，該模型僅需3個已知點高程異常值，就可以解算方程系數。該模型適用于平緩地區，但在地形復雜地區精度不高。

2)當選用式(1)中前三項和第五項進行擬合時，可構建相關平面擬合模型，解算模型系數需要至少4個已知點高程異常值。該模型仍是用平面代替附近高程異常值，適用于地勢平坦地區。

3)利用式(1)中前六項進行擬合，所得到的數學模型是二次曲面擬合模型，模型系數求解需要6個已知點高程異常值，能夠較好地擬合具有起伏變化的地形信息。

4)利用式(1)中所有項進行擬合得到的數學模型為三次曲面擬合模型，模型較為復雜，需要至少10個已知點高程異常值，方可進行求解系數。該模型對于較復雜的地形有很好的模擬效果。

已知高程點的個數，通常會多于模型所需要的數據個數，此時應按最小二乘法平差方法，求解模型系數的最佳估值。

2.2 “移去—恢復”法高程擬合模型

李建成院士等諸多學者對我國似大地水準面精化的理論和方法研究做出了巨大貢獻，研究發現重力場模型能夠提高GNSS的高程擬合精度，因此提出了“移去—恢復”法的高程異常擬合模型，在GNSS高程擬合中得到了廣泛的應用[8]。

根據地球重力場的可疊加性，將高程異常分解為3個分量：

ξ=ξGM+ξΔG+ξT

(2)

式中：ξGM表示地球重力場中高程異常的長波分量，ξΔG表示用斯托克斯積分得到的高程異常的中波分量，ξT表示地形起伏變化引起的高程異常的短波分量。3個分量的關系如圖1所示。

圖1 高程異常3個分量關系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the relationship among three components of elevation anomaly

在一定范圍內高程異常的中、長波分量相對穩定且變化??；而短波分量則受局部地形影響，小范圍內也存在較大差異。因此，首先需要將高程異常中的中、長波分量移去，然后對剩余的短波分量進行擬合和插值計算，從待求點的短波分量中擬合高程異常值，最后再恢復待定點中、長波分量。該方法可以有效地避免擬合和插值計算過程導致中、長波分量的計算損失，進而提高高程擬合的精度。模型計算基本步驟如下[9-10]：

1)移去：首先求出n個已知點的高程異常值，用重力場模型計算各點的中、長波高程異常分量，然后計算高程異常的短波分量，即得到高程異常值與中、長波分量的差值。

2)擬合：根據n個已知點的坐標和短波分量值，利用MATLAB建立多種數學擬合模型，求解待求點的高程異常值短波分量的擬合和插值。

3)恢復：利用步驟2)中求解的高程異常短波分量，與步驟1)中求解的中、長波分量進行代數運算，即可得到待求點的高程異常值的擬合值。

2.3 GNSS高程擬合精度分析

GNSS高程擬合精度通常需要根據內符合精度、外符合精度和相關水準等級精度要求進行評定。

1)內符合精度。為了檢驗GNSS高程擬合的精度，利用已知高程異常值點與擬合高程異常值求殘差Vi，然后求其內符合精度σ。

(3)

(4)

2)外符合精度。GNSS高程異常擬合精度還可用水準實測方法來檢核，根據水準測量結果求得高程異常值，再與擬合高程異常值計算殘差Vout，然后利用公式(4)計算得到外符合精度。

3)GNSS高程擬合精度評定。精度評定通常按照常規幾何水準測量的精度評定方法，根據公共點、檢核點、待求點之間構建的水準網，設已知檢核點至公共點的距離L(km)，再根據國家水準測量規范進行公式計算和等級評定。

表1 水準限差技術要求Tab.1 Levelingtolerancetechnicalrequirements等級允許殘差/mm三等水準測量±12L四等水準測量±20L五等水準測量±30L

3 工程算例

3.1 工程概況

試驗區為某高原基礎測繪項目，項目主要包括GNSS控制測量C級網及航空攝影測量外業工作。測區東西長約165 km，南北寬約60 km，基礎測繪航空攝影測量設計為1∶10 000地形圖264幅(其中衛星影像成圖157幅，航攝像片成圖107幅)。區域內布設C級GNSS觀測點61個，其中檢核點25個(采用二、三等水準測量)，像控點158個(待測高程點)。C級GNSS控制測量，二、三等水準測量，像控點平面坐標測量均按國家相應規范進行測量。

3.2 多項式曲面擬合模型

根據多項式曲面擬合模型函數，自編MATLAB程序分別建立平面擬合、相關平面擬合、二次曲面擬合、三次曲面擬合4種擬合模型。利用已知點的數據得出各模型的擬合系數，再將像控點的大地坐標代入該模型，解算出各像控點的高程異常。根據檢測點的高程異常值和擬合計算得到的高程異常值，計算殘差，再根據外符合精度進行精度估算，并統計出各檢測點的殘差，結果如圖2所示。

圖2 多項式曲面法擬合殘差分布曲線Fig.2 Residual distribution curve of polynomial surface fitting

根據殘差分布曲線可得，平面擬合、相關平面擬合模型的殘差較大，而二次曲面擬合、三次曲面擬合模型殘差較小，三次曲面擬合方法總體趨勢優于其他擬合模型，誤差分布在(-0.4 mm，0.8 mm)范圍。為了進一步分析模型質量，對檢核點高程異常的殘差進行統計分析，結果如表2所示。

表2 高程異常的多項式曲面擬合殘差統計Tab.2 Statisticsofpolynomialsurfacefittingresidualsofelevationanomalies類別平面擬合模型/mm相關平面擬合模型/mm二次曲面擬合模型/mm三次曲面擬合模型/mm最大值0.7130.7720.3730.289最小值0.0160.0080.0330.006中誤差0.4810.5110.2280.181

根據表2分析，上述4種擬合方法中，平面擬合法與相關平面擬合法的中誤差較大，分別為0.481 m和0.511 m。而二次曲面擬合與三次曲面擬合方法較前兩種方法的精度有較大提升，分別為0.228 m和0.181 m。因此，三次曲面函數模型擬合效果最好。

3.3 “移去—恢復”擬合模型

根據EGM2008地球重力場模型，將所有公共點作為已知點，得到中、長波高程異常分量。利用“移去—恢復”算法，解算像控點高程異常，并進行精度分析。將公共點坐標轉換為經緯度，再利用AllTrans EGM2008 Calculator計算EGM2008地球重力場模型的高程異常。將已知點高程異常的中、長波移除后，采用自編MATLAB程序構建曲面擬合、多面函數擬合以及移動曲面擬合3種模型，并分析模擬結果，最后利用同樣的原理計算外符合精度。4種模型的殘差分布結果如圖3所示。

圖3 “移去—恢復”法擬合殘差分布曲線Fig.3 Residual distribution curve fitted by “remove-restore”method

從圖3可以看出，曲面擬合方法與移動曲面擬合方法稍差，多面函數法的總體外符合精度最好。但是總體來看，“移去—恢復”模型的精度要高于多項式曲面模型，誤差分布在(-0.3 mm，0.3 mm)范圍?！耙迫ァ謴汀蹦Ｐ偷臍埐罱y計結果如表3所示。

表3 “移去—恢復”模型中誤差統計Tab.3 Theresidualstatisticsof“remove restore”model類 別曲面擬合/mm移動曲面/mm多面函數/mm最大值0.2850.2920.141最小值0.0110.0060.000中誤差0.1660.1560.061

基于“移去—恢復”的三種擬合方法中，曲線擬合與移動曲面方法的中誤差分別為0.166 mm和0.156 mm，而多面函數方法的精度最好，中誤差為0.061 mm。

通過本試驗區的數據分析發現，高原基礎測繪高程基準可采用高程擬合方法求解。通過對相對精度較高的集中模型進行分析，發現“移去—恢復”擬合模型中多面函數方法精度最優，且該方法的高程擬合精度能夠滿足高原基礎測繪像控點的高程精度要求。

4 結束語

利用MATLAB自編程序，結合高原基礎測繪項目，研究了GNSS高程擬合的多種擬合方法。本文利用少量公共點的GNSS高程值和高程異常值，通過高程擬合方法解算出像控點的高程值。結果表明，在高原地形復雜的地區，使用多面函數法的“移去—恢復”模型，可得到較高精度的GNSS擬合效果，精度最高可達到6 cm。高程擬合方法可為高原基礎測繪4D產品提供較高精度的高程基準，并為高原測繪相關工作提供一種高程基準測量的新方法。隨著數學和計算機技術的發展，高程擬合的算法會進一步優化，使其工作量更小，精度更高，更好地為高原測繪工作服務。