數學建模思想融入空間解析幾何教學初探

韓海山

（內蒙古民族大學 數理學院，內蒙古 通遼 028043）

0 引言

數學建模思想融入數學教學的研究已有多年，文獻［1］研究了將數學建模思想融入高中空間解析幾何的必要性和可行性。文獻［2］用數學建模思想分別對平面幾何和立體幾何進行教學改革研究。同時也有專家研究了如何把數學建模思想融入大學空間解析幾何課程教學中，有研究融入的必要性和一些融入的嘗試［3］，解析幾何教學中融入數學建模思想的可行性和必要性［4］，并做了一些嘗試。從教材選取和增加實踐學時角度研究［5］，以實際案例探討了數學建模思想在解析幾何中的應用［6-7］等。上述研究都是出于數學建模解決實際問題的觀點，所以采取的措施不是增加實踐課時或者增加實際例子。筆者從數學模型本質是尋找事物內在規律的特點出發，在講授高?？臻g解析幾何內容時，重點講授內在規律的認識和尋找，從而達到了數學建模思想融入空間解析幾何教學的目的，有利于培養學生的探究式學習習慣。

1 數學建模思想及其在大學解析幾何課程教學中的融入

隨著信息技術和大數據時代的來臨，學科之間交叉融合得更加深入和密切，作為基礎學科的數學在各個領域的應用價值更加突顯。用數學的方法解決實際問題，首先要對需要解決的問題進行簡化建立其模型，即數學模型，然后進行數學的推理、計算和驗證，并用所得結果對原來的實際問題作出判斷、控制或預測未來。對于廣大科技人員、工程技術人員來說，建立數學模型是溝通實際問題與他們掌握的數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁［8］。

數學模型是對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構［8］。建立數學模型的全過程叫作數學建模［8］。筆者對數學模型的理解是，數學模型是所研究或解決的實際問題的內在規律的數學表述。數學建模就是要尋找實際問題的內在規律的過程。

數學建模是一種思維方式。筆者試圖在空間解析幾何教學中使用這種思維方式，培養學生尋求事物內在規律的思維，使學生更好理解大學空間解析幾何課程的內在規律，進而掌握其基本原理和基本方法，培養空間想象力，從而提高學生解決實際問題的能力。

空間解析幾何課程作為高等學校數學與應用數學專業的重要基礎課程，既是中學幾何課程的延伸，也是大學后續課程（高等幾何、微分幾何、拓撲學等）學習的基礎，屬于數學的前三基（空間解析幾何、數學分析、高等代數）之一，是幾何學的一個分支，體現了數與形的結合，演繹法與解析法的結合。它為幾何學的學習和研究提供最一般的思想、方法和工具，即利用解析化思想，以向量和標架為工具對幾何問題進行代數化，進行量化研究?？臻g解析幾何使得幾何學、代數學和分析學構成一個有機的整體，為數學的各個分支之間的互相滲透、互相促進奠定了基礎。它的直觀性的特點啟示了許多新思想、新原理的誕生?？臻g解析幾何通過培養學生的空間思維能力、空間想象力和邏輯推理能力，提高學生學習數學的基本方法。下面用實例說明如何培養學生發現事物內在規律的能力。

在文獻［9］中把曲線（曲面）方程看成是平面（空間）點的軌跡。所以把求曲線（曲面）方程看成是尋找平面（空間）上點的坐標之間的內在規律的過程，這樣可以把數學建模思想融入到求曲線（曲面）方程中。如文獻［9］在建立柱面方程的做法是：

從式（2）和式（3）消去參數x1,y1,z1得到一個三元方程F(x,y,z)=0，這就是以式（1）為準線，母線的方向數為X,Y,Z的柱面方程。

很難看出這個方程是一個空間點的軌跡，沒有展現尋求事物內在規律的做法。所以，要從培養學生尋求事物內在規律的角度和數學建模思想的角度，把柱面也看成是空間點的軌跡，具體做法如下：

假設點M(x,y,z)是以式（1）為準線，母線的方向數為X,Y,Z的柱面上的任意一點，根據柱面定義，過點M(x,y,z)一定存在一條母線，設該母線與準線的交點為M1(x1,y1,z1)，則該母線方程為式（2），因為M1(x1,y1,z1)在準線上，所以滿足式（3），后續跟文獻［9］一樣。這樣得到的方程F(x,y,z)=0是柱面上任意點的坐標x,y,z所滿足的方程，也就是點M(x,y,z)的軌跡。

錐面和旋轉曲面方程的做法也同樣處理。

2 舉例

試求與∑ε交于一個圓周的平面的法方向。

解假設點M(x,y,z)是外切柱面上的任意點，過M(x,y,z)的母線l與已知橢圓的切點為M1(x1,y1,z1)，則l的方程為