基于深度反思的數學教學改進

劉曉婷 陳娜

[摘? 要] 教師由學生的疑問產生了設計拓展課的想法，但在實施中卻出現了諸多問題，初始課難以引起學生興致、改進課部分環節學生好奇心遺失。為此，通過對目標、任務、提問的反芻思考，明晰目標，用有層次的任務改善提問，撬動學生深度思考，用有深度的問題激活學生探索愿望，進而改進教學。

[關鍵詞] 教學改進;數學拓展課;數學史

某數學課，教師帶著學生學習“20以內數的認識”，有個學生突然問：“老師，外國的數也這樣寫嗎？”此外，課堂瞬間安靜下來，所有同學看向了他。而這時教師把回應的權利交給了學生，讓大家一起討論。最后不僅沒有討論出統一的答案，反而衍生出越來越多的問題：“別的國家的數怎么寫？”“第一個發明數的人是誰？”“數是怎么來的？”等。

基于學生的疑問，教師產生了設計一節拓展課的想法。但在拓展課實施中出現了一系列的問題。為了讓學生在學習活動中有更好的體驗，更多的收獲，教研團隊針對初始課、改進課做了兩輪教學改進，對拓展課的目標、教學任務、課堂提問等進行了深入系統的思考和設計。

一、初始課的困惑：精心的設計為何難以引起學生的興致？

學生的疑問引發教師開發拓展課的愿望，但拓展課需要有具體明確的教學目標和豐富的教學活動。為此，初始課教師設計了如下教學目標：1.了解數字的來歷;2.了解早期數字符號的含義和組成方式;3. 感悟“印度-阿拉伯十進位值制記數法”中的十進思想和位值思想。依據該教學目標，教學環節如下。

環節1：播放視頻了解古人實物計數方法，了解早期計數知識。

環節2：探究古埃及象形數字的含義和構成方式，了解早期記數的方法。核心任務如圖1。

環節3：0～20的再認識。核心任務：出示0～20，讓學生找到基本數字符號，并用這些基本符號組成別的數。感悟位值思想，體會現行記數系統的簡潔性。

本節拓展課的實際效果并不理想，除個別學生參與性較高，能跟著教師回答問題外，大多數學生并沒有表現出太高的興致，沒有驚訝，沒有驚嘆，沒有覺得有意思，整節課沒有激情。教師很困惑：明明學生想了解“別的國家的數怎么寫的”，為何這時卻沒有了興致？

二、初始課的反思：明晰目標，用有層次的任務撬動學生深度思考

課堂學習難以引起學生的興致，這就需要教師思考：教學目標合適嗎？任務設計合理嗎？怎樣的任務才能讓學生既覺得好玩又能沉浸思考呢？

（一）數學拓展課應以素養目標為導向

著名特級教師唐彩斌指出：數學拓展課應“引發學生好奇，激發學生興趣，……不應是增加什么新的知識，而是發展能力，培養綜合素養”[1]。周孝麗認為數學拓展課應“引領學生不斷增強數學學習興趣，積累數學活動經驗，感悟數學思想方法，提升學科核心素養”[2]，潘紅娟老師提出數學拓展課應“以綜合素養發展和活動經驗積累為重點”[3]。綜合以上觀點，數學拓展課應以素養目標為導向，引發學生的好奇心、求知欲，提高學生分析、評價、創造等高階思維能力，培育學生的數學學習情感，使其覺得數學有趣有意義，愿意學習數學。

上述的數學課緣于學生提出的問題，但這些問題只是學生的好奇，他們只是為了找到一個答案，掌握更多的事實。教師還需要讓學生的好奇心升華為理智的行為，能進行一連串的探究和觀察[4]?；诖?，教研團隊對拓展課的教學目標修訂如下：1. 借助微課“古人計數”，經歷從“計數”到“記數”的發展歷程，在擺一擺中體會計數中的一一對應思想。2. 通過尋找古埃及象形記數法的造數規則、“去創造”古埃及數字“十”“十二”，在討論交流中體會古埃及記數法求簡的智慧。3. 對比古埃及與印度-阿拉伯的數字符號，激發學生對0～20的記數的好奇，從而感悟位值制的意義和作用，體會自然數發展歷程中的創新精神和理性光輝。

（二）活動任務應有挑戰、有層次

不論是高階思維能力，還是數學學習情感，均需用具體的教學活動任務來落實。初始課的三個教學環節，第一環節的微課動畫直觀形象，能夠引起學生的注意和興趣。第二、第三環節學生就沒了興致，仔細審視兩個環節的核心活動任務，發現了如下問題。其一，“識別、補全數字符號”的任務沒有挑戰性，更不能引起學生的認知沖突，沒有沖突就難以激發學生思考的愿望。正如有學生直言“太簡單了”，填完后就把注意力轉向別處。其二，第二、第三環節的兩個核心任務“古埃及象形記數法”和“重新認識0～20”缺乏聯系，難以讓學生形成對“記數法”背后思想的整體感知。

如何設計有挑戰性的任務？如何讓古埃及象形數字的探究活動更好地為“重新認識0～20”做鋪墊？基于對古埃及數字符號、印度-阿拉伯十進位值制記數符號及其記數特征的分析，教研團隊抓住核心符號分層設計任務，以引導學生在沖突點思考、分析記數規則，進行了如下改進：

（1）出示古埃及象形數字

引導學生總結象形數字的造數規則：①基本符號為|;②累加;③符號多了要分行。

（2）創造數“10”的表示方法。有兩種答案：和?。引導學生在對比討論中體會古埃及人為了記數方便，滿十就會發明一個新符號。

（3）學生自主嘗試寫象形數字“12”。有兩種答案：?和。由“?”表示12還是20，引發沖突，在討論中體會古埃及象形記數法在構成方式上與數字排列的位置無關，為后續環節做鋪墊。

環節三帶領學生通過觀察“0～20”這二十一個數，并對比古埃及和印度-阿拉伯記數法中的“12”，歸納印度-阿拉伯記數法的造數規則：①基本符號為 0～9這十個符號; ②用位置表示不同的數值; ③有限的符號表示無限多的數。初步感悟位值制記數法的優勢。

三、改進課新困惑：“重新認識0～20”為何好奇心遺失？

改進后第二次試講課堂氣氛比之前有所改善，對于古人實物計數方法、古埃及象形記數法這兩個環節，學生的學習積極性明顯提高，并發出了“怎么會這樣”“原來是這樣”的感嘆。但“重新認識0～20”環節，想引發的驚嘆、驚訝，深度思考沒有出現。教師的感覺是否是學生的真實體會？教研團隊做了課后調研，期望從學生的視角反觀本節課的效果。畢竟基于數據進行教學改進，能防止產生經驗主義和主觀主義的預估錯誤[5]。調研結果如下：

第一項“請為本節課涂色打分”，90%學生涂了五顆星，10%學生涂了四顆星，學生對本節課整體比較滿意。第二項打鉤“你最喜歡的教學環節”，其中“重新認識0～20”僅占14%，見圖2。第三項打鉤“你認為最需要改進的教學環節”，其中“重新認識0～20”占64%，見圖3。

從調研數據看，學生的確認為“重新認識0～20”需要改進，教師的感受與學生的體驗反饋相一致。那么，問題究竟出在哪兒？改進課的新困惑引發教研團隊新一輪的思考。

四、改進課反思：改善提問，用有深度的問題激活學生探索愿望

顧志能老師指出“開發一節有意義的數學拓展課，最應該關注的是三個要素：趣（趣味性），動（活動性），思（思維性）。只有內容有趣，學生才會喜歡，才會愿學，樂學，這是學習的前提”[6]。為何面對古埃及的象形數字可以“帶著學生走向問題本質”，而面對阿拉伯數字卻“帶不動”呢？如何破解當前的困境？

（一）抽象、封閉的提問禁錮了學生思考

古埃及象形數字對學生來說比較新鮮，能夠喚起他們的好奇心。層層遞進地思考問題符合兒童樂于挑戰的心理特點，從猜數到去創造“10”“12”，爭論到底哪一個是“12”，在此基礎上總結造數規則，思維層次一步步提高。其中既有語言表達，也有動手操作，活動形式多樣。而印度-阿拉伯數字是司空見慣的，學生對它已沒有新鮮感。面對剛剛在課本中學過的0～20，學生的情緒狀態還沒被喚起，教師就直接提出了抽象的問題，結果出現了“帶不動”的現象。由于學生掌握知識的過程是感性認識和理性認識相結合的過程，在沒建立起感性需要的基礎上，單方面進行理性認知，所以就像在沒有地基的半空搭梯子，自然困難重重。此時的活動已變成了“被”活動。學生“不理教師”更多是緣于任務和教師提問帶來的隱形認知障礙。

假如該環節教師先播放小視頻介紹阿拉伯數字的由來，并告知它的全稱叫作“印度-阿拉伯十進位值制記數法”。之后的教學提出了如下問題：象形數字里“十”是個新符號，而這里的10是新符號嗎？請你任意寫一個更大的數，看看是否也是0～9組成的呢？在學生完成后，教師再提出問題：0～9這十個數字到底能組成多少個數？學生回答無數個，教師接著問：怎么用這十個數字就能表示那么多數呢？由于學生沒有回應，教師追問：看看“12”，在古埃及象形記數法里?和都能表示“12”，在印度-阿拉伯記數法里，“12”中“1”和“2”的位置能變嗎？

這樣的五個問題大多是封閉的，為尋求一個標準答案，缺乏趣味性、開放性和思維的挑戰性。第四個問題過于抽象，學生不知如何回應，問題無效。蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者，而兒童的精神世界里，這種需要特別強烈?！盵7]那么，如何使用問題激活學生的這種需求，進而引發深度思考呢？

（二）提問要具體、開放、富于變化

“重新認識0～20”的目標是：對比古埃及與印度-阿拉伯的數字符號，激發學生對0～20的好奇，感悟位值制的意義和作用，體會自然數發展歷程中的創新精神和理性光輝。這一目標的實現需要引發學生情感和思維的投入，教師提出的問題需要有趣味性、挑戰性。有研究者指出，深度問題一般有三種類型——比較式問題、頭腦風暴式問題和總結性問題[8]。比較式問題，通過比較事物的異同發現本質;頭腦風暴式問題調動學生已有知識經驗，打開學生思考問題的空間，引發學生從多角度、多層次思考;總結式問題通過歸納和概括，促進學生反思?；谝陨戏治?，教研團隊對“重新認識0～20”環節中的核心問題做出如下改進。

（1）用比較式問題調動學生進一步探究的愿望。教師：“同學們，你們通過自己的努力揭開了古埃及記數法的面紗，下面我們來比較‘古埃及和‘印度-阿拉伯中的0～20。用你們善于觀察的眼睛、善于思考的小腦瓜，來找找它們有哪些不同？”教師在適當時機還應提出更細致的比較式問題：“都是‘12，古埃及和印度-阿拉伯的表示方法有什么不同？”

（2）用頭腦風暴式問題引發學生自由創造大數，激發學生對位值制記數法的深層次思考。教師：“同學們，你們剛剛發現印度-阿拉伯記數法就是用0～9這十個數字符號組合數字，你們能用它們組合出我們沒有學過的數嗎？寫一寫，和你的同桌討論一下，這樣寫下去，能寫完嗎？你發現了什么？”

（3）用總結式問題引導學生反思內省，深度思考。教師：“同學們，你們找到了古埃及記數法和印度-阿拉伯記數法的不同，還發現了印度-阿拉伯記數法用十個數字符號就能變化出無窮多的數。那么，從結繩記數到古埃及象形記數法，再到印度-阿拉伯記數法，你們洞察到古人在發明創造記數方法時有哪些智慧呢？”

改進后的第三輪拓展課，課堂教學達到了理想的效果，師生“穿越時空認識數”，體會簡約數字符號的不簡單，感受古人的智慧！

數學拓展課作為學校數學教學規定內容外的衍生內容，它是教師對教材、學生、教學深度思考的體現。在上述拓展課開發實施與改進中，學生的思考喚醒了教師的思考，教師的思考又進一步撬動了學生的思考。教師對教學的執著、熱忱感染著學生，學生深度思考時迸發的智慧火花鼓勵著教師，如是，數學學科育人在課堂中就悄然發生。

參考文獻：

[1]? 唐彩斌. 數學拓展課應該基于教材、高于教材：“方格紙上的加減法”教學案例[J]. 小學教學（數學版），2019（Z1）：131-134.

[2]? 周孝麗. 把握拓展技巧 促進思維發展：例談小學數學拓展課的設計與實施[J].小學教學研究，2020（24）：6-9.

[3]? 潘紅娟. 小學數學拓展課：設計、樣態、模式與取向[J]. 教學月刊小學版（數學），2020（9）：10-15.

[4]? （美）杜威（Dewey，J.）著;姜文閔譯. 我們怎樣思維 經驗與教育[M]. 北京：人民教育出版社.1991.

[5]? 周楊. 基于數據分析的教學改進：以人教版“多邊形內角和與外角和”為例[J]. 數學教學通訊，2021（8）：6-8+14.

[6]? 顧志能，張斌. 趣·動·思：讓數學課堂更顯魅力[J]. 小學教學（數學版），2018（Z1）：136-139.

[7]? （蘇）瓦·阿·蘇霍姆林斯基著;杜殿坤編譯.給教師的建議 修訂本全1冊[M]. 北京：教育科學出版社.1984.

[8]? 陳薇，沈書生. 小學數學教學中深度問題的研究：基于專家教師課堂提問的案例分析[J]. 課程·教材·教法，2019，39（10）：118-123.

基金項目：北京市教育科學“十三五”規劃2019年度一般課題“HPM視野下小學教師數學素養提升的實踐研究”（CFDB19378）階段性成果。

作者簡介：劉曉婷（1983—），教育學博士，北京教育學院初等教育學院小學數學教研室主任，副教授，從事小學數學教師培訓工作。研究方向：小學生數學學習評價與發展研究，數學課堂教學改進研究。