非自治分數階隨機Hindmarsh-Rose方程的隨機吸引子*

盛煥義, 劉 輝, 辛 杰②

(①曲阜師范大學數學科學學院,273165，曲阜市; ②山東農業大學信息科學與工程學院,271018,山東省泰安市)

0 引 言

關于標準拉普拉斯算子的證明已經在很多文獻中證明了,例如在文獻[3-5,18]中給出了自治隨機方程的證明,在文獻[1,6,11]中給出了非自治隨機方程的證明. 然而對于分數階拉普拉斯算子的隨機方程的吸引子的證明卻很少.本文引用文獻[16,17]中的 Hindmarsh-Rose 方程并借鑒分數階隨機方程的吸引子的證明文獻[15,21],討論了非自治分數階隨機 Hindmarsh-Rose 方程的隨機吸引子的存在性.本文的主要困難在于分數階拉普拉斯算子的非自治隨機方程的解的拉回隨機吸收集和漸近緊性的證明,創新點是非線性項f(t,x)是作為一個具體的確定性方程在隨機方程中進行研究. 我們改進了文獻[21]中的方法,將f(t,x)的確定方程代入整體方程中,并把單一的方程擴展成Hindmarsh-Rose的3個方程組,之后再將它們寫成向量形式的方程進行證明計算.

本文將考慮下列非自治非局部分數階隨機 Hindmarsh-Rose 方程在O上的漸近行為[15,16]

(1)

(2)

(3)

具有邊界條件

u(t,x)=0,v(t,x)=0,z(t,x)=0,x∈?O,t>τ

(4)

和初始條件

u(τ,x)=uτ(x),v(τ,x)=vτ(x),z(τ,x)=zτ(x),x∈O,

(5)

其中,t>τ∈,x∈O?n(n≤3),算子(-Δ)s稱為具有s∈(0,1)的分數階拉普拉斯算子,O是n上的一個光滑有界域,W是一個在概率空間上的雙面實值維納過程,激勵注入電流J為常數,在(1)式和(2)式中的非線性項為

φ(u)=au2-bu3,ψ(u)=α-βu2.

(6)

(7)

除了c(=uR)∈是神經元細胞膜電位的參考值之外,其它所有涉及到的參數d1,d2,d3,a,b,α,β,q,r,J和ε都是常數.

在動力系統(1)～(3)中,變量u(t,x)表示神經元細胞的膜電位,變量v(t,x)表示鈉、鐵離子通過快速離子通道的轉速率并稱為尖峰變量,變量z(t,x)表示通過與破裂現象相關的鈣等離子的慢通道穿過神經元細胞膜的轉速率并稱為破裂變量[16,17].

接下來我們給出具有初始-邊界條件(4)和(5)的非自治系統(1)～(3)的向量形式

(8)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈?O,t>τ，

(9)

初始條件為

g(τ,x)=gτ(x),x∈O,

(10)

其中

g(t)=col(u(t,·),v(t,·),z(t,·)),gτ=col(uτ,vτ,zτ),

并且p(t,x)=col(p1(t,x),p2(t,x),p3(t,x)),正矩陣

(11)

通過帶有乘性噪聲的隨機Hindmarsh-Rose方程的初邊值問題(1)～(6),給出了Hilbert 空間

F=[L2(O)]3=L2(O,3)和E=[H1(O)]3=H1(O,3).

(12)

是一個局部 Lipschitz 連續映射,λ是一個正的常數. 算子(-Δ)s被稱為一個分數階拉普拉斯算子,其中s∈(0,1),當s=1時,成為了標準拉普拉斯算子.

本文剩余部分安排如下. 第1節回顧了非自治隨機動力系統的隨機吸引子的存在性的一些基礎結論. 第2節利用伽略金方法證明了非自治分數階隨機方程(8)的解的存在性和唯一性,并基于解算子定義了一個連續 cocycle. 第3節得到了大量的解的一致估計,這是證明拉回隨機吸收集和漸近緊性所必需的. 最后，第4節證明了調和拉回隨機吸引子的存在性.

1 預備知識

本節簡要地回顧非自治隨機動力系統的一些符號和結論. 假設(Ω,F,) 是一個概率空間,并且(X,d)是一個可分離度量空間. 我們用d(A,B)來表示X中非空子集A和B的Hausdorff半距離.

定義1.1令(Ω,F,,(θt)t∈)是一個度量動力系統,映射Φ:+××Ω×X→X稱為在X上覆蓋(Ω,F,,(θt)t∈b)的一個連續 cocycle,如果對于所有的τ∈,ω∈Ω和t,s∈+滿足以下條件:

(1) Φ(·,τ,·,·):+×Ω×X→X是一個(B(+)×F×B(X),B(X))-可測映射;

(2) Φ(0,τ,·)在X上是恒等的;

(3) Φ(t+s,τ,ω,·)=Φ(t,τ+s,θsω,·)°Φ(s,τ,ω,·);

(4) Φ(t,τ,ω,·):X→X是連續的.

定義1.2設D為X中的非空子集的一些族的集合,Φ是X上的一個連續 cocycle. 如果對于所有τ∈,ω∈Ω和任何序列tn→∞,xn∈D(τ-tn,θ-tnω)時,序列在X中有一個收斂的子序列,則Φ被稱為在X內的D-拉回漸近緊.

定義1.3設D為X中的非空子集的一些族的集合.如果對于任意有界集B∈存在一個有限時間T>0,對于所有的t>T,ω∈Ω使得Φ(t,τ-t,ω,B)?K,則稱集合K∈D是關于Φ的一個拉回吸收集.

定義1.4設D為X中的非空子集的一些族的集合,并且A={A(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D. 則A稱為Φ的一個D-拉回吸引子,如果滿足下列條件:

(1)A是可測的,并且對于所有τ∈和ω∈Ω,A(τ,ω)是緊的;

(2)A是不變的,即,對于所有τ∈和ω∈Ω 都有

Φ(t,τ,ω,A(τ,ω))=A(τ+t,θtω),t≥0

成立;

(3)A吸引D中的每一個元素,即對于給定的B∈D和τ∈和ω∈Ω都滿足

命題1.5設D是X中的非空子集的一些族的閉包集,Φ是X上覆蓋(Ω,F,,(θt)t∈)的一個連續 cocycle. 如果Φ是X上的D- 拉回漸近緊并有一個閉的D-拉回吸收集K在D中,則Φ在D中有一個D-拉回吸引子A,這個拉回吸引子A是唯一的并且由下列給出,即對于所有的τ∈和ω∈Ω,

本文用‖·‖和 (·,·)表示L2(n)的范數和內積,Hs(n)的Gagliardo 半范數用來表示. 在這里解釋齊次狄利克雷邊界條件(9)是當u=0時,u∈nO而不只是u∈?O. 這種解釋與積分分數階拉普拉斯算子的非局部性是一致的.在這種解釋的基礎上,我們引入了空間V={u∈Hs(n):u=0a.e. onnO},并且考慮特征值問題

(-Δ)su=λu,u∈O, 并且當u∈?O時,u=0.

(13)

(-Δ)s的特征方程將構造本文中問題(8)～(10)的解.

2 余圈(Cocycle)

本節通過方程(8)～(10),并將邊界條件(9)替換成在nO上g=0,建立了以下具有s∈(0,1)的由乘性白噪聲驅動的非自治分數階隨機 Hindmarsh-Rose 方程并證明了連續 cocycle 的存在性

(14)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈nO,t>τ

(15)

和初始條件

g(τ,x)=gτ(x),x∈O,

(16)

為了方便,我們給出一個確定的正數λ,并且對于所有的t∈,x∈O和g∈,令

f(t,x,g)=λg+F(t,x,g).

(17)

注意,給定的t,g∈,f(t,x,g):O→只是定義在空間O上. 但是對于所有的x∈nO,可以通過設f(t,x,g)=0來將f(t,·,g)推廣到整個空間n上. 這樣的一個推廣經常在本文中使用. 換言之,任何定義在空間O上的函數都可以等價于對空間n上的平凡擴張.

根據(17)式,方程(14)～(16)可以寫成

(18)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈nO,t>τ

(19)

和初始條件

g(τ,x)=gτ(x),x∈O.

(20)

θtω(·)=ω(·+t)-ω(t),t∈,ω∈Ω.

考慮一維隨機方程

dy+ydt=dW.

由文獻[2]知,該方程由唯一的穩定解y(t)=z(θtω),其中z:Ω→是由z(ω)=-eτω(τ)dτ(ω∈Ω)給出的隨機變量. 此外,存在一個全測度Ω0的θt-不變集,使得z(θtω)對每一個ω∈Ω0都是路徑連續的,并有

(21)

為方便起見,后續將不再區分 Ω0和 Ω,而是對 Ω0和Ω使用相同的符號Ω.

為達到目的,需要將隨機方程(14)轉換成由ω∈Ω 參數化的確定性方程. 為此引入了新的變量Q(t,ω)=e-εz(θtω),令

G=G(t,τ,ω,Gτ)=e-εz(θtω)g(t,τ,ω,gτ)，

(22)

并且Gτ=e-εz(θtω)gτ,其中τ∈是一個確定的初始時間,t≥τ,ω∈Ω,Gτ∈L2(O),并且g=g(t,τ,ω,gτ)是(18)～(20)的解. 于是得到,對于t>τ,

(23)

具有邊界條件

G(t,x)=0,x∈nO,t>τ,

(24)

初始條件

G(τ,x)=Gτ(x),x∈O.

(25)

將首先證明方程(23)～(25)的解的存在性和唯一性,然后通過變換(22)得到方程(14)～(16)的解. 回憶V是由V={g∈Hs(n):g=0 a.e. onnO}所定義的.V的對偶空間被定義為V*.為了證明解的存在性,也需要空間H={g∈L2(n):g=0 a.e. onnO}.注意空間H的定義符合條件(24)和(25),因為對于x∈nO,通過設g(x)=0可以將一個函數g∈L2(O)看作為空間H的一個元素.

令a:V×V→是雙線性形式,對于G1,G2∈V,

(26)

通過使用a的雙線性形式,定義了A:V→V*由

(A(G1),G2)(V*,V)=a(G1,G2),對于所有的G1,G2∈V,

(27)

其中(·,·)(V*,V)是V*和V的對偶對.

很明顯算子A是單射. 另一方面,由 Riesz 表示定理可知,A也是滿射并且逆映射A-1:V*→V是被明確定義的.

定義2.1對于給定的τ∈,ω∈Ω和Gτ∈H,連續函數G(·,τ,ω,Gτ):[τ,∞)→H被稱為問題(23)～(25)的解,如果G(τ,τ,ω,Gτ)=Gτ并有

并且對于所有的ξ∈V∩L2(n),解G在(τ,∞)區間內滿足

(28)

下面我們準備證明方程(23)～(25)的解的存在性和唯一性.

定理2.2對于所有的τ∈,ω∈Ω和Gτ∈H,問題(23)～(25)在定義 2.1 的意義下有唯一的解G(t,τ,ω,Gτ),在空間H中,解在ω下是(F,B(H))-可測的并且在初始條件Gτ下是連續的. 然而,解G對于幾乎所有的t≥τ滿足下列能量方程

(29)

證明首先構造有限維系統的一系列近似解,然后得到一致估計,最后得到這些近似解的極限,具體證明過程省略.

接下來將證明方程(23)～(25)在空間H中隨機吸引子的存在性. 為此,需要建立下文所介紹的在空間H中的解算子的緊性.

引理2.3給定τ∈,t>τ和ω∈Ω,方程(23)～(25)的解算子G(t,τ,ω,·):H→H是緊的,即對于空間H中所有的有界序列序列在空間H中有一個收斂的子序列.

這說明了存在一個零測度的集合I(I?[τ,τ+T])和一個子序列,使得對于所有的r∈[τ,τ+T]I,

(30)

由于t>τ,(τ,t)?[τ,τ+T]和I有零測度,存在r0∈(τ,t)I,于是由(30)式得到

(31)

由(31)式和在初始數據下解的連續性,得到

這就推出了該證明.

由方程(23)～(25)的解G和變換(22),得到隨機方程(14)～(16)的一個解

g(t,τ,ω,gτ)=eεz(θtω)G(t,τ,ω,Gτ),

并有gτ=eεz(θtω)Gτ. 由引理 2.1 得到當t∈[τ,∞)和Gτ∈H時g(t,τ,ω,gτ)都是連續的. 然而,g(t,τ,·,gτ):Ω→H是可測的. 于是在空間H中定義一個關于方程(14)～(16)的解的一個連續 cocycle. 令Φ:+××Ω×H→H是一個映射,使得對于所有的t∈+,τ∈,ω∈Ω和gτ∈H,

Φ(t,τ,ω,gτ)=g(t+τ,τ,θ-τω,gτ)=eεz(θtω)G(t+τ,τ,θ-τω,Gτ),

(32)

其中Gτ=e-εz(ω)gτ. 回憶一類L2(n)中的有界非空子集,D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是調和的,如果對于所有的c>0,τ∈和ω∈Ω,

其中關于L2(n)中的子集D的符號‖D‖可以理解為在空間L2(n)中的有界非空子集的所有調和族的集合為D,即

D={D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}:D在L2(n)中是調和的}.

(33)

在這樣的情況下,D-拉回吸引子也可以稱作調和吸引子,因為由(33)式給出的D包含L2(n)上的有界非空子集的所有調和族.

現在,假設對于所有的τ∈,

(34)

當推導調和拉回吸收集的存在性時,我們將進一步假設p是調和的,對于所有的c>0,

(35)

很明顯,(34)和(35)式并不意味著當t→∞時p在L2(n)內是有界的.

3 方程解的一致估計

本節推導了分數階隨機方程的解的一致估計,這是為了構造關于 cocycle Φ的隨機拉回吸收集.

引理3.1在條件(34)下,對于所有的ε0>0,σ∈,τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,存在T=T(τ,ω,D,σ,ε0)>0使得對于所有的t≥T和0<ε≤ε0,方程(23)～(25)的解G滿足

其中eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω)并且β1是不依賴于τ,ω,D和ε的一個正常數.

證明使用能量方程(29)來推導所需的估計. 首先,由 Young 不等式得到,對于(29)式的最后一項

(36)

另一方面,

(37)

由(36)～(37)和(29)式，得

(38)

在上式中用θ-τω代替ω,得

接下來改變變量,得

(39)

現在估計(39)式右邊部分的第一項. 注意

由于eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω)和0<ε≤ε0,所以從上式中得

(40)

由(21)式得，存在T1=T1(ω,ε0)>0,使得對于所有的t≥T1,有

(41)

由(40)～(41)式得，對于所有的t≥T1,有

(42)

由于D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是調和的，當t→∞時,有

因此,由(42)式得，存在T2=T2(τ,ω,D,σ,ε0)≥T1使得對于所有的t≥T2,有

(43)

對于(39)式右邊部分的第二項,有

(44)

通過(41)式有,對于所有的t≥T1

(45)

注意到,由于(34)式可知上式最后一個積分是收斂的. 通過(44)～(45)式得

(46)

由于(45)式可知上式積分是收斂的. 通過與(46)式相同的論證,也可以得到

(47)

由(39),(43)和(46)～(47)式得,對于所有的t≥T2,

‖G(σ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)‖2+

(48)

由(48)式,所需的估計直接得出.

在引理4.1的基礎上,我們將在下面闡述方程(23)～(25)的解算子有一個隨機拉回吸收集.

引理3.2在條件(35)下,對于每一個ε>0,令Bε={Bε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是由下列給出的一個隨機集

Bε(τ,ω)={G∈H:‖G‖2≤rε(τ,ω)},

其中R=Rε(τ,ω)是一個正整數,形式如下

(49)

其中β1是和引理 3.1 中相同的常數. 于是對于所有的τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,存在T=T(τ,ω,D,ε)>0,對于所有的t≥T和eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),使得對于(23)～(25)的解G滿足

G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)∈Bε(τ,ω).

(50)

另外,隨機變量Rε在(49)是調和的,即對于任何c>0,

(51)

證明作為引理3.1中當σ=τ時的特殊情況,直接就得到了(50)式. 現在證明(51)式. 由于(49)式有

(52)

(53)

注意,如果t≥T0和s≤0,于是有t-s≥t≥T0. 因此,對于所有的t≥T0和s≤0從(53)式中得

(54)

(55)

|-2εz(θs-tω)|≤2εc3(t-s).

(56)

由(52)和(54)～(56)式得,對于所有的t≥T0,

因此由(35)式得

這就說明了Rε是調和的,正是(51)式所需要的.

接下來證明方程(23)～(25)的解的漸近緊性.

引理3.3在條件(35)下,當t→∞,eεz(θ-tnω)G0,n∈D(τ-tn,θ-tnω),D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}時,方程(23)～(25)的解的序列G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n)在空間H上有一個收斂的子序列.

證明當引理 3.1 中σ=τ-1時,得到了這里存在T=T(τ,ω,D,ε)>0和c=c(τ,ω,ε)>0使得對于所有的t≥T,有

‖G(τ-1,τ-t,θ-τω,G0)‖≤c,

(57)

當eεz(θ-tω)G0∈D(τ-t,θ-tω)時,對于任何的G0∈H都成立. 由于tn→∞,有N=N(τ,ω,D,ε)≥1使得對于所有的n≥N,有tn≥T. 由(57)式,存在對于所有的n≥N,

‖G(τ-1,τ-tn,θ-τω,G0,n)‖≤c.

(58)

由(58)式得,序列G(τ,τ-1,θ-τω,G(τ-1,τ-tn,θ-τω,G0,n))在空間H中是預緊的. 這個序列正是G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n).

4 隨機吸引子的存在性

本節證明非自治分數階隨機方程(14)～(16)的調和拉回吸引子的存在性. 基于方程(23)～(25)的解的一致估計,首先證明調和拉回吸收集的存在性和方程(14)～(16)的漸近緊性.

引理4.1在條件(35)下,給定ε>0,τ∈和ω∈Ω,令

Kε(τ,ω)={g∈H:‖g‖2≤e2εz(ω)rε(τ,ω)},

其中Rε(τ,ω)是和(49)式中相同的數，則Kε={Kε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D是cocycle Φ的一個閉的可測拉回吸收集.

證明首先證明Kε吸收集合D中的每一個數D. 由(22)式有

g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t)=eεz(ω)G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t),

(59)

其中gτ-t=eεz(θ-tω)Gτ-t.如果gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),于是由(59)式得eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),這和引理 3.2 一起表明，存在T=T(τ,ω,D,ε)>0使得對于所有的t≥T,有

G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)∈Bε(τ,ω),

(60)

其中Bε(τ,ω)和(50)式中的相同. 由(59)～(60)和(49)～(50)式得,對于所有的t≥T,有

‖g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t)‖2≤e2εz(ω)rε(τ,ω).

(61)

另一方面,由(32)式有

Φ(t,τ-t,θ-tω,gτ-t)=g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t),

(62)

這和(61)式一起說明了對于所有的t≥T,有

Φ(t,τ-t,θ-tω,gτ-t)∈Kε(τ,ω),

并且因此Kε吸收集合D的所有元素.

現在證明Kε是調和的,即Kε∈D. 由(21)和(51)式，對于所有的c>0,有

這表明了Kε∈D. 注意Rε(τ,ω),當ω∈Ω時是可測的,所以Kε(τ,ω)同樣也是.

下面將證明Φ的D-拉回漸近緊性.

引理4.2在條件(35)下,對于每一個τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,當tn→∞和g0,n∈D(τ-tn,θ-tnω)時,序列Φ(tn,τ-tn,θ-tnω,g0,n)在空間H中有一個收斂子序列.

證明由(59)和(62)式得

Φ(tn,τ-tn,θ-tnω,g0,n)=g(τ,τ-tn,θ-τω,g0,n)=

eεz(ω)G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n),

(63)

其中對于所有的n∈,G0,n=e-εz(θ-tnω)g0,n. 由于g0,n∈D(τ-tn,θ-tnω),得

eεz(θ-tnω)G0,n∈D(τ-tn,θ-tnω).

于是由引理 3.3 得到序列G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n)在空間H中有一個收斂子序列,這和(63)式一起得到了該證明.

本節主要的結論是在下面闡述的Φ在空間H中的調和拉回吸引子的存在性.

定理4.3假設條件(35)成立. 于是方程(14)～(16)的 cocycle Φ在空間H中有一個唯一的D-拉回吸引子Aε={Aε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}.

證明D-拉回吸引子Aε的存在性和唯一性可由引理4.1和引理4.2直接得出文獻[2,20,21]的結論.