張中正
求動點的軌跡方程問題經常出現在圓錐曲線問題中.此類問題的命題形式多樣,求解方法眾多,如直接法、定義法、代人法、參數法、交軌法、待定系數法等.筆者對其中五種方法進行了歸納,希望對大家有所幫助.
一、直接法
直接法是求動點的軌跡方程的基本方法.運用直接法解題的思路為:建系——設點——列式——代換——化簡——證明或檢驗結果.在求動點的軌跡方程時,要仔細分析題意,找出動點所滿足的幾何條件或者等量關系,然后列出有關動點坐標的關系式.
解答本題可采用直接法,先設出動點坐標,根據已知關系式得出關于P點坐標的關系式,化簡該式,就得到了動點的軌跡方程.
二、定義法
有時根據題意的條件可判斷出動點軌跡為圓、雙曲線、橢圓、拋物線,此時可利用定義法,根據圓、雙曲線、橢圓、拋物線的定義設出動點的軌跡方程,將相關的參數代人圓錐曲線的標準方程中,即可求得動點的軌跡方程.
三、代入法
代人法,也叫坐標轉移法或相關點法.若動點隨著另一個動點的變化而變化,則需采用代人法求解.首先設出動點和相關點的坐標,利用所給條件建立這兩點坐標之間的聯系,用動點的坐標表示相關點,再將相關點的坐標代人所滿足的方程中并進行化簡,就得到了動點的軌跡方程
仔細分析題意可以發現,動點P隨著動點M的變化而變化,因此本題需采用相關點法求解.設出兩個動點的坐標,根據二者之間的關系建立關系式,將點M的坐標代人方程中,就可求得動點的軌跡方程.
四、參數法
參數法是解答圓錐曲線問題的常用方法.在解題時,根據題意設出相關的參數,如直線的斜率、方程、圓錐曲線的方程、點的坐標等,然后將參數代人題設中進行求解,通過代換、消元、化簡,求得動點的軌跡方程, 若所給的條件中有許多參變量,可先將待求動點的坐標用其他相關的參數表示出來,再消去參數,從而建立關于x、y關系式.特別需注意參數對x、y的影響,這是消去參數后確定軌跡范圍的重要依據.
五、交軌法
如果動點是兩條曲線的交點,就可以采用交軌法來求解.因為動點為兩條曲線的公共點,那么動點的坐標滿足兩條曲線的方程,因此在求動點的軌跡方程時,可將兩條曲線的方程中的參數消去,得到關于x、y的方程,即可得到動點的軌跡方程.
運用交軌法求動點的軌跡方程,關鍵是求出確定動點軌跡的兩個含參數的曲線方程,消去參數即可解題.
求動點的軌跡方程,關鍵是找到與動點相關的幾何關系或數量關系,建立符合條件的動點的坐標的關系式,可直接設點建立關系式,利用直接法求解;也可根據圓錐曲線的定義建立幾何關系,采用定義法求解;也可根據相關點建立關系式,采用代人法求解;也可設出參數,采用參數法求解;還可以根據曲線的方程建立關系式,利用交軌法求解.同學們可根據解題需求,選擇與之相應的方法進行求解.
(作者單位:山東省聊城第三中學)