精心研究五題型輕松求解三角形

安徽省樅陽縣宏實中學 朱賢良 246700

安徽省樅陽縣教育教學研究室 徐維武 246700

“解三角形”這一板塊知識涵蓋了求三角形的邊、角、面積、三角函數值以及諸多知識的綜合運用等問題，既是初中解直角三角形內容的直接延伸，也是三角函數和平面向量知識考查的重要載體，同時也是解決三角形中的數量關系以及天文、地理及航海等生產生活實際問題的重要工具.

解三角形問題能很好地考查三角函數中的基本概念、公式、定理，并有效檢測考生的邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模等核心素養，因而在歷年高考中都占有重要地位.綜觀高考中的解三角形試題，其命題形式豐富多樣，既體現基礎性又突出綜合性，題目的類型、所用到的方法、所體現的規律是非常值得總結的.結合對近些年高考試題的分析，本文擬對解三角形中常見問題的類型與求解方法作一初步的歸納，力求達到以少勝多、提高效率的目的.

1 知三求三問題

三角形有三條邊與三個角等六個要素，根據邊角中的三個可求其余三個（已知三角除外），此即解三角形中的知三求三問題.具體來說，知三求三問題可根據已知條件的不同分為以下五類：（1）已知三邊求三角，先由余弦定理求某一角，再由余弦定理或正弦定理求其余兩角.（2）已知兩邊及夾角求其余要素，先由余弦定理求第三邊，再由余弦定理或正弦定理求其余兩角.（3）已知兩邊及其中一邊的對角求其余要素，先由余弦定理求第三邊，或先由正弦定理求第二個角，再由余弦定理或正弦定理求其余邊與角.需要注意的是，此類問題最多會有兩組解.（4）已知兩角及公共邊求其余要素，先由三角形內角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余兩邊.（5）已知兩角及其中一角的對邊求其余要素，同上一類問題，先由三角形內角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余兩邊.

例1（2018 年高考全國Ⅰ卷·理17）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求 cos ∠ADB；（2）若，求BC.

圖1

評注：在求解知三求三類型的問題時，需要搞清楚已知什么，需要求的是什么，以便選擇合適的求解思路.

例2（2013 年高考全國Ⅰ卷·理17）如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC=90°.（1）若，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan ∠PBA.

圖2

評注：當圖形中的三角形較多時，要注意分析條件，觀察哪些三角形可解，哪些三角形不可解，由此探尋求解思路.

2 邊角互化問題

三角形中的邊角轉化原則是通過統一邊與角實現化繁為簡，化未知為已知.一方面考慮化邊為角，從而將問題轉化為三角函數問題；另一方面考慮化角為邊，從而將問題轉化為代數變形問題.一般來說，當題目條件所給的是邊或者正弦為齊次式時，可以運用正弦定理進行轉化；當出現邊的二次或者兩邊之積時，符合余弦定理的特征，則可考慮用余弦定理進行邊角轉化.

例3（2017 年高考全國Ⅱ卷·文16）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B= _____.

解析：條件中的已知式“2bcosB=acosC+ccosA”既可以考慮化邊為角，也可以考慮化角為邊，因此有兩個思路.

思路1：化邊為角

由正弦定理化邊為角：2bcosB=acosC+ccosA?2 sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2 sinBcosB=sin(A+C)，即2 sinBcosB=sinB，即cosB=，故B=.

思路2：化角為邊

評注：遇到邊角關系式，到底是統一成邊（代數恒等變形），還是統一成角（三角恒等變換），可以根據題目的設問進行適當選擇，實現優化解題.

例4（2019 年高考全國Ⅰ卷·理17）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.（1）求A；（2）若a+b=2c，求sinC.

解析：注意到條件式“(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC”中的正弦為齊次式，應當考慮化角為邊.

評注：利用邊角轉化解題的關鍵是要仔細分析題目條件與結論的結構特征，先預判，再選擇合理的轉化策略.

3 三角形面積問題

三角形面積的計算途徑較多，如割補法、海倫-秦九韶公式等，但在高考數學試題中的考查主要有二個：一是小學時即熟知的“底與高乘積的一半”；二是用三角形的邊角表示面積.在具體問題中，要結合題目的已知條件來選擇合適的面積公式.

例5（2018 年高考全國Ⅰ卷·文16）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為_____.

解析：本題是求△ABC的面積，這就需要對已知條件進行等價變形，以確定三角形面積的計算公式.

評注: 本題選擇公式S=bcsinA來計算三角形的面積，是基于對條件中的兩個等式的變形分析.

例6（2015 年高考全國Ⅱ卷·理17）如圖3，在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長.

圖3

解析: 本題的條件中未給出邊長與角度及其關系，僅給出了角平分線分割出的兩個三角形面積之間的關系S△ABD=2S△ADC.如何理解這一面積間的關系并作適當轉化，是求解問題的關鍵.

思路2：用邊與角來表示面積

評注: 在本題的求解過程中，合理地選擇了三角形面積的計算方法，就是找到了正確的切入點與突破口.

4 最值范圍問題

在解三角形的背景下，設置與邊長、角度、周長、面積等相關的最值與取值范圍問題，成為十分常見的命題角度.這類問題注重與函數、不等式和幾何等知識的交匯融合，求解時需要充分利用正余弦定理、面積公式、三角形的內角和定理，并結合平面幾何、基本不等式以及函數值域與最值等知識來實現破解.

例7（2011年高考全國課標卷·理16）在△ABC中，B=60°，，則AB+2BC的最大值為________ .

評注: 運用函數思想解決此類問題有兩個關鍵步驟，一是合理選擇自變量以建立函數關系；二是準確求解函數值域或最值.

例8（2019 年高考全國Ⅲ卷·理18 文18）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin=bsinA.（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

評注: 先根據正弦定理化角為邊，再利用余弦定理和均值不等式，求得cosC的最小值，體現了轉化與化歸的數學思想.

例10（2015 年高考新課標全國Ⅰ卷·理16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_____.

解析: 作為一道解三角形問題，首要的問題是弄清“三角形”在哪里，即解哪一個三角形，故考慮連接四邊形的任一對角線.如圖4，在△ABC中，BC=2，∠B=75°，用解三角形知識與函數思想可求AB的取值范圍.換個角度，我們也可以嘗試從畫圖的角度來確定AB的變化規律.如圖5，先畫定線段BC=2，繼而以BC為公共邊作∠B=∠C=75°，再在∠B的另一邊上選一點A，作∠BAD=75°交∠C另一邊于點D，即得與題意相符的四邊形ABCD.顯然點A在線段A1A2上運動（不含兩端點）.

圖4

圖5

評注: 取值范圍與最值問題最普遍的求解方法是利用函數思想，如思路1，關鍵在于合理選擇自變量，進而構建函數關系式，解法厚重而大氣；思路2從運動的角度入手，著重理清點A的運動軌跡，直觀而輕盈.

5 實際應用問題

在生產和社會生活中，很多時候都需要測量距離、高度和角度等數學量，尤其是在物理、航海和工程技術方面，均有解三角形的運用.求解三角形實際應用問題時，我們可抽象出數學模型，然后正確使用正余弦定理去解決.

例11（2009 年高考海南寧夏卷·理17）為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量，A,B,M,N在同一個鉛垂平面內（如示意圖6)，飛機能夠測量的數據有俯角和A,B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示,并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M,N間的距離的步驟.

圖6

解析: 計算M,N間的距離，首要的是以MN為邊構建三角形.結合飛機能夠測量的數據包括俯角和A,B間的距離，故考慮連接AM,AN,BM,BN,MN，如圖7 所示.這樣，通過解圖7中的三角形即可求得M,N間的距離.①需要測量的數據：點A到點M,N的俯角α1,β1，點B到點M,N的俯角α2,β2，A,B兩點間的距離d.②計算M,N間距離的步驟：

圖7

評注: 本題讓考生擬定測量方案，與傳統計算型問題相比，更能有效考查考生分析、解決問題的能力，讓人耳目一新.

例12（2013 年高考江蘇卷·18）如圖8，游客從某旅游景區的景點A 處下山至C 處有兩種路徑.一種是從A 沿直線步行到C，另一種是先從A 沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A 處下山，甲沿AC 勻速步行，速度為50mmin，在甲出發2 min 后，乙從A 乘纜車到B，在B處停留1 min 后，再從B 勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130mmin，山路AC 長為1260 m，經測量，cosA=，.（1）求索道AB 的長；（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C 處互相等待的時間不超過3 分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

圖8

評注: 本題來源于生活，來源于教材，但又髙于教材，考査學生對知識的綜合應用能力.在解三角形和分式不等式、絕對值不等式交匯處命題，同時要求學生具有較強的數學建模能力.