余弦定理
- 甄選正余弦定理 優化解題方法
)正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具,也是高考的必考知識點.針對正弦定理和余弦定理的應用進行分析和總結,可以將題型分為已知三角形的部分邊和角解三角形、給出三角形的邊角關系解三角形兩種類型.在解題過程中,有些題目只能使用正弦定理,有些只能使用余弦定理,還有一些可以同時使用正弦定理和余弦定理,也有些題目要先使用正弦定理后使用余弦定理,或者先使用余弦定理再使用正弦定理.解題關鍵在于恰當選擇解題方法,不同的選擇會導致解題難度的不同,甚至可能無法得到準確的結果.
高中數理化 2023年17期2023-10-19
- 關于解三角形的一點困惑
定理求解和用余弦定理求解之間的等效性,文[2]提到了用方程的思想來求解三角形,文[3]討論了正余弦定理的獨立性,但論述不夠完整,應當由正余弦定理的6 個公式中的任意2個,都能推導出其余的4 個公式. 在數學教育越來越關注學生核心素質的時代,對理論的深入探索也應當受到大家的關注.從解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三條邊三個角,共有6 個變元,需要有6 個獨立的方程才能解出. 我們知道至少要知道3 個變元值(三邊、兩邊一
中學數學研究(廣東) 2023年11期2023-08-05
- 例析正弦定理、余弦定理在解題中的應用
開正弦定理、余弦定理，這兩個定理恰似兩兄弟，解題緊相隨。點評 題目已知兩個條件，不能具體求出三角形的三邊長，可將a，b分別用c表示，再利用余弦定理求值。點評 解答本題的關鍵是構造三角形ECB。由于點A不與E重合，也不與F重合，因此等號不成立。點評 判斷三角形的形狀，主要有兩種途徑：利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊與邊的關系，通過因式分解或配方得到邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀;利用正、余弦定理把已知條件轉化為三角函數關系，通過三角恒等變換，得出內角的
中學生數理化·高一版 2022年6期2022-07-08
- 怎樣運用正、余弦定理解答有關三角形的問題
=2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c）.正、余弦定理在解答有關三角形問題中應用廣泛.下面結合實例來談一談如何運用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積.一、利用正、余弦定理解三角形在解三角形問題時，經常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解兩類解三角形問題：（1）已知三角形的任意兩
語數外學習·高中版下旬 2022年1期2022-03-23
- 《余弦定理》高中數學教學案例
九章第一節《余弦定理》，由趙艷老師錄制，以培養學生的方程思想和數形結合思想為目標，使學生掌握余弦定理的表示形式和余弦定理的向量證明方法。鼓勵學生多角度思考問題，探索更多的余弦定理的證明方法，使學生經歷知識遷移的過程，讓學生體會轉化與歸結思想方法的應用，即將解一般三角形的問題轉化為解直角三角形問題，從而使學生掌握余弦定理的本質內容，即一種解一般三角形的方法。本微課以趙老師設置問題，學生開展小組活動開始，培養了學生合作交流、團結的精神，激發了學生的興趣，并使學
新課程教學(電子版) 2022年8期2022-03-01
- 全國名校必修5綜合拔高卷（B卷）答案與提示
c＝48。由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccosA，則52＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc。故（b＋c）2＝3×48＋52＝196，b＋c＝14。64.（1）由題意知，要使不等式mx2－mx－2＜0恒成立，則：①當m＝0 時，顯然－2＜0 成立，所以m＝0時，不等式mx2－mx－2＜0恒成立；②當m≠0時，只需，解得－8＜m＜0。綜上，實數m的取值范圍為（－8，0]。（2）要使對于x∈[1，3]，f（x）＞－m＋2（x－1）恒成立，只需mx2
中學生數理化(高中版.高二數學) 2021年11期2021-12-03
- 從高考真題看正弦、余弦定理的應用
知道，正弦、余弦定理的主要功能就是解三角形。利用正弦、余弦定理可以求出三角形的邊，也可以求角，這類問題既可能出現在選擇題或填空題中，也可能出現在解答題中。下面我們來通過幾道2021 年的高考真題，來賞析它在解題中的應用。一、正弦定理的應用例1（2021 年 高考全國甲卷）2020 年12月8 日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一。圖1是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且
中學生數理化(高中版.高二數學) 2021年11期2021-12-03
- 高中數學正余弦定理在日常生活中的應用
述正弦定理和余弦定理搭建了三角形邊和角的橋梁，實現了邊角之間的轉化，直接運用它，可以直接求解三角形，靈活地變形并與其他知識結合，可以解決現實生活中的問題。2 利用正余弦定理解決平面幾何問題圖1 三角形在解決平面幾何問題時，尤其是涉及到三角形，經常會同時利用正余弦定理與其他數學知識，利用正余弦定理解決平面幾何問題的題目常常在高考中進行考查。2.1 判斷三角形的形狀結語：判斷三角形的形狀，本題使用的是余弦定理，我們在解決這類問題的時候，需要觀察表達式，正確選擇
報刊精萃 2020年12期2020-09-25
- 余弦定理教學設計
目標：能推證余弦定理以及應用余弦定理解三角形。能力目標：通過用幾何法和向量法推導余弦定理，提高學生對分類討論和數形結合等數學思想的認識，以及培養學生在已有的知識水平上發現問題，解決問題，用數學知識解決實際問題的能力。情感目標：培養學生從特殊到一般，再由一般到特殊的思維過程中，不斷探索和創新，并能從中體會數學美。二、教學重、難點根據新課標要求和學生的實際水平確定本節的重難點如下：重點：探究和證明余弦定理的過程;初步對余弦定理進行應用。難點：利用向量法證明余弦
學校教育研究 2019年22期2019-12-09
- 賞析2019 年高考解三角形經典問題
隱含條件、正余弦定理、三角形的面積公式、三角變換、三角形中的最值與范圍”等熱點問題展開的，凸顯目標意識下的“等價轉化”思想的具體應用。一、利用三角形中的隱含條件和正弦定理求解三角形例1(2019年高考全國Ⅱ卷文15)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinA+acosB=0，則解析：邊角滿足齊次式，根據正弦定理把邊化為角，利用輔助角公式化為一個角的三角函數，結合角的隱含條件定角。由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0。因為
中學生數理化(高中版.高考數學) 2019年10期2019-11-27
- 用余弦定理解題產生的疑惑
要】 ?應用余弦定理解三角形，其本質是將“三角形”問題轉換為討論一元二次方程解的問題。對于出現一正一負解和兩正解，本文詳細地講解了檢驗的原則， 而且對方程解的正負性與三角形的關系給出了解釋。最后對于用正弦定理判斷解三角形個數問題上，本文也嘗試用余弦定理來解釋?！娟P鍵詞】 ?余弦定理一元二次方程韋達定理【中圖分類號】 ?G633.6 ?? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A?【文章編號】 ?1992-7711（2019）14-055-02
中學課程輔導·教育科研 2019年14期2019-10-21
- 全國名校解三角形測試題（A卷）答案與提示
積為,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA。則36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12。所以(b+c)2=48,即b+c=4 3。所以△ABC的周長a+b+c=6+4 3。62.(1)cos2A+cos2C-cos2B=1-sin2A+1-sin2C-1+sin2B=1-sinAsinC。故sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC。由正弦定理可得b2=a2+c2-ac。由余弦定理可得：(2)由余弦定理可得b2=
中學生數理化(高中版.高二數學) 2019年9期2019-09-28
- 正、余弦定理妙解三角形
劉鄧輝正、余弦定理將三角形的邊和角有機地聯系起來,從而使三角與幾何產生聯系,為求與三角形有關的量(如面積,其外接圓、內切圓的半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據。在利用正、余弦定理解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時,則兩個定理要珠聯璧合,有可能都會用到。一、求三角形的基本量例1(2015·安徽卷)在△ABC
中學生數理化(高中版.高二數學) 2019年9期2019-09-28
- 例談用正余弦定理解題的幾種常用技巧
單談一談用正余弦定理解題的幾種常用技巧。一、正弦定理正弦定理通常能解決的問題是：（1）已知兩角及任意一邊，求其它邊角；（2）已知兩邊及一邊的對角，求其它邊角；（3）已知對邊對角，求三角形外接圓的半徑、周長、面積等。在這里主要談以上幾種以外的常用技巧。1.邊化角案例1 △ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，求角B。左右兩邊用正弦定理把邊換成相對角的正弦后，兩邊的2R可以約掉，相當于把邊換成了角。以后為了簡便書寫，還可以直接寫“由正弦定理得”
新教育時代電子雜志(學生版) 2018年19期2018-12-17
- 高中數學正、余弦定理教學方法探究
教師在進行正余弦定理教學時，可以按照學生對知識的接受順序對其進行有效的教學。首先，在內容傳授之前有效地幫助學生對新知識進行認識，增強與內容的熟悉感；其次，在進行知識的教學過程中可以以試題為載體，通過題目的考查實現對知識的掌握；最后，在學生對知識進行了解和掌握之后，教師需及時組織學生進行有效的復習。通過三方面的結合幫助學生有效掌握正余弦定理的知識。一、教師對學生預習的內容進行復習在任何學科的教學活動中，學生可以通過對新知識的預習實現在課堂上對教師授課內容的有
數學大世界 2018年12期2018-11-30
- 全國名校解三角形拔高卷（A卷）答案與提示
2+bc。由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-。又A為△ABC的內角,所以A=120°。故sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=sin B=sin(60°+B),故當B=30°時,sinB+sinC取得最大值1。18.C 19.A21.D 22.B 23.C 24.D 25.A 26.D 27.C29.C二、填空題三、解答題50.(1)因為acosB=(3c-b)cosA ,所以由正弦定理得sinAcosB=(3sin
中學生數理化(高中版.高二數學) 2018年9期2018-09-28
- 余弦定理破解三類題
黃一淼一、余弦定理二、對余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立。(2)結構特征:“平方”、“夾角”、“余弦”。(3)揭示的規律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。(4)主要用途:余弦定理的主要用途是實現三角形中邊角關系的互化。三、余弦定理的應用1.已知三角形的兩邊及其夾角,解三角形解析：由余弦定理得:故C=180°-A-B=75°。方法總結：已知三角形的兩邊及其夾角,
中學生數理化(高中版.高二數學) 2018年9期2018-09-28
- 應用正余弦定理破解三角形問題
,b,c,由余弦定理得:在△ABD 中,因為AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。點評:正、余弦定理的應用原則:(1)解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到。(2)三角形解的個數的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據三角函數值的有界性和大邊
中學生數理化(高中版.高二數學) 2018年9期2018-09-28
- 余弦定理在n維空間和球面上的推廣
10000)余弦定理是平面幾何基本定理之一，早在公元前三世紀，歐幾里得在《幾何原本》中首先提出了余弦定理的原始形式.經過了長時間的演變，余弦定理如今發展出多種證明方法，為我們提供了多種角度去看待余弦定理，從中誕生出了更多的可能性.本文主要討論的是余弦定理在高維空間和曲面上的推廣.一、低維余弦定理基于普遍意義上的二維余弦定理(定理1)：a2+b2-2abcosθ=c2，推廣到三維空間(即三維余弦定理)，證明如下：對于任意三角錐O-ABC，其四個面面積分別為S
數理化解題研究 2018年16期2018-07-12
- 巧用余弦定理證明一類三元無理不等式
明：一、巧用余弦定理證明三元無理不等式證明:構造一個三棱錐S-ABC，使∠ASB=∠BSC=∠CSA=60°，SA=x,SB=y,SC=z,AB=證明：在平面上任取一點A,作∠OAB=∠OAC=60°，取AB=x,OA=y,AC=z，連接BO,OC,BC,在ΔOAB,ΔOAC,ΔABC中由余弦定理可知BO=二、方法的推廣2.推廣：設x,y,z為正數，α,β,γ∈(0,π)且α證明：(1)當α+β+γ=2π時,在平面上任取一點O，作∠AOB=α,∠BOC=β
中學數學研究(江西) 2018年6期2018-07-02
- 高中數學中三余弦定理的解析
高中數學中三余弦定理的解析◆李正陽在高中所學的學科中，數學科目的學習能夠幫助學生對實際生活的的問題進行解決。學習數學能夠培養學生的思維邏輯能力，讓高中生能在多方面對問題進行思考。三余弦定理是高中數學中重要的組成部分。本文就高中數學中三余弦定理進行了深入分析。高中數學；三余弦定理；解題方式一、三余弦定理的相關概念如果平面之外的一條斜線和平面形成的角是θ1，平面中任意一條直線和這條斜線形成的銳角或者直角為θ，這條直線和這個斜線在平面中的射影形成的銳角或者視角為
環渤海經濟瞭望 2017年7期2017-09-03
- 廣義余弦定理
摘要：本文將余弦定理，由線段概念，擴展到圖形概念。余弦定理及勾股定理僅是廣義余弦定理的特例。關鍵詞：廣義余弦定理；廣義勾股定理本文目的是：擴充余弦定理的含義和使用，眾所周：知△ABC中有余弦定理：它的幾何解釋是：以 為邊的正方形，等于以 為邊的正方形與以 為邊的正方形之面積之和，減去以 為邊的矩形面積的2cosC倍.若在a，b，c三邊，任意作三個相似的圖形，如下圖設它們的面積分別為 則有定理：…⑴若以三角形的三邊長，分別作正n邊形則，∠C所對邊的正n邊形的
東方教育 2017年10期2017-08-04
- 高中數學中余弦定理的解析
學高中數學中余弦定理的解析肖茜文 湖南省長沙市南雅中學余弦定理和正弦定理在運用的過程中，通常是和三角函數聯系在一起，通過余弦和正弦的定義以及使用特點，求出關于三角形邊角以及面積的函數關系式。本文主要對余弦定理的特點進行了分析，并通過相關例題的解答，加深學生對余弦定理的理解，以此使高中學生全面掌握余弦定理相關知識點的目的。數學 余弦定理 運用余弦定理主要是對三角形當中三條邊的長度與一個邊角的余弦值的關系進行分析的一種數學思維和解題方法。運用余弦定理就可以求出
數碼世界 2017年7期2017-07-25
- 淺析“正弦定理、余弦定理”ぴ誚餿角形中的應用
濤正弦定理與余弦定理的內容在新課標必修5中，在高考數學中，對這一部分內容的考查多以解三角形題目的形式出現. 近些年高考對這部分內容考查分值為5分或12分，2012年、2013年全國新課標卷Ⅰ均以解答題17題出現，試題難度比較容易；2014年、2015年均以填空題16題出現，試題難度較大，考查對知識的應用及綜合能力.從新課標歷年高考理科數學試題中可以看出，高考對這一部分內容的考查主要集中在統一求角及角范圍類問題，通過余弦定理構造基本不等式求邊長、面積、最值等
中學生理科應試 2016年6期2016-05-14
- 利用余弦定理解題的3個常用技巧
?利用余弦定理解題的3個常用技巧◇江蘇孟春云處理有關解三角形問題時,往往需要根據圖形中有關“角”的特點,靈活利用余弦定理加以求解.請看以下歸類解析.1利用等角的余弦值相等圖12利用鄰補角的余弦值互為相反數(1) 求sinB與sinC的比值;圖23利用互補對角的余弦值互為相反數圖3(2) 若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求(2) 連接AC,由余弦定理得AC2=25+16-40cosD=36+9-36cosB.①(作者單位：江蘇省揚
高中數理化 2016年4期2016-04-28
- 正、余弦定理及其應用
夏志輝正、余弦定理及其應用是高考必考知識點之一，兩個定理是解三角形的重要工具，常常會結合三角函數或平面向量的知識來考查.預計在2015年高考中仍然會以正、余弦定理為框架，以三角形為主要依據，來綜合考查三角知識，也要關注利用定理解決實際問題. 題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、低難度的解答題.重點難點重點：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內在聯系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運用正、余弦定理解決一些實際
數學教學通訊·初中版 2015年10期2015-09-10
- 運用余弦定理解三角形的一類錯誤認識
蘭正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數量關系的重要定理，要求能夠運用正余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.學了正、余弦定理后，不少同學為判斷三角形的解的個數而煩惱，當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，可能出現一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應的方法，可是一些同學茫然依舊.近日在網上拜讀了不少關于如何判斷三角形的解的個數的文章，不少文章都認為在△ABC中，已知a，b和角A，常?？蓪茿應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2bc
中學數學雜志(高中版) 2014年6期2014-11-29
- 正弦定理和余弦定理的應用
用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.本考點主要是利用正弦定理、余弦定理解決實際問題，多集中在測量距離、高度、角度等問題中.endprint（1）能運用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.本考點主要是利用正弦定理、余弦定理解決實際問題，多集中在測量距離、高度、角度等問題中
數學教學通訊·初中版 2014年5期2014-08-11
- 正、余弦定理的運用例析
張銀華正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式，在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托，并結合實際應用問題來進行考查。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中等難度的解答題。學習這部分知識，要會運用正弦定理、余弦定理，解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關的實際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及?？键c略析。正、余弦定理是解三角形最常用的定理。正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2
理科考試研究·高中 2014年5期2014-05-28
- 作高法解三角形
勝利用正弦、余弦定理解三角形是高考重點考查內容，通常難度不大.看到解三角形的試題，考生的第一反應就是正弦或余弦定理，但也有些試題不好判斷是利用正弦定理還是用余弦定理，有些試題又可能兩個定理都用到，顯得有點復雜.其實有些試題我們可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用數形結合、作出三角形的高，主要運用直角三角形中銳角的三角函數定義和勾股定理也可以解答試題.下面以近兩年高考題為例，看看這別開生面的解法.endprint利用正弦、余弦定理解三角形是高考重點考查內
中學數學雜志(初中版) 2014年1期2014-02-28
- 從高考三角問題看正弦、余弦定理的辯證統一
問題看正弦、余弦定理的辯證統一●孫郁娥 ●呂峰波(嘉興市秀州中學 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314000)解三角形是高考中的常見試題，縱觀2012年全國各地的高考數學卷，其中不乏各類解三角形的題，歸納起來有以下4種類型：(1)已知兩角和任一邊，解三角形；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形；(3)已知兩邊及其夾角，解三角形；(4)已知三邊，解三角形.事實上，這4類解三角形問題在教科書上已給出了明確的解法，而且很多教學參考書上
中學教研(數學) 2013年3期2013-10-27