山東省濱州市北鎮中學 宋志敏 256600
山東省濱州學院理學院 尹 櫪 256603
文獻[1]證明了等差數列與等比數列的前n項和的一個統一性質,其主要結果可以敘述如下:定理A 若正項等差數列或等比數列的前n項和為Sn,則當m+n=2p,m,n,p∈N 時,SnSm≤成立.之后文獻[2]中筆者類似的研究了等差數列與等比數列通項an的凸性問題.最近,宋志敏、尹櫪在文獻[3]中提出了一個更廣泛的問題,即研究等差數列與等比數列的廣義凹凸性問題.即考慮如下類型的不等式問題:bM(m,n)≥(≤)N(bn,bm)? 其中M(m,n),N(m,n)為任意的兩個平均.本文主要研究反調和平均、Helon 平均與平方根平均.其中反調和平均為:λ(a,b)=;Helon 平均為:h(a,b)=;平方根平均為:討論之前,我們先對等差數列與等比數列的定義延拓一下,假設{an} 為等差數列,且首項為a1,公差為d,在此基礎上規定n可以取到任意實數,其通項公式以及前n項和公式類似可以寫出對應形式,等比數列的延拓類似.
本文主要結果如下:
定理1:設{an} 為等差數列,且首項為a1,公差為d,則有(1)當a1≥d,d≥0 時aλ(m,n)≥λ(am,an);(2)當a1≤d,d≤0 時aλ(m,n)≤λ(am,an).