圓錐曲線“定垂軸弦”的一個有趣性質

山東省鄒平雙語學校 (256200) 姜坤崇 王 雪

我們把垂直于圓錐曲線對稱軸的一條定弦稱為圓錐曲線的“定垂軸弦”.關于圓錐曲線的“定垂軸弦”，筆者發現其有如下的一個有趣性質.

圖1

證明可仿照定理1的證明進行，這里從略.

類似地，可以證明在雙曲線中有如下兩個結論(證明均從略):

在拋物線中，亦有和橢圓、雙曲線類似的如下結論:

定理5 給定拋物線E:y2=2px(p>0),PQ是過定點(m,0)(m>0)且垂直于x軸的“定垂軸弦”，設過弦PQ上的一點M(M不在x軸上)且被M平分的E的弦為AB,則過點M且垂直于AB的直線l恒過x軸上的一定點C(p+m,0).

圖2