不同可靠度方法在邊坡穩定性分析中的對比研究

戚國慶 耿亞欣

(紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000)

0 引言

邊坡穩定性問題是邊坡工程中一直在研究而且必須直面的問題，隨著學科的不斷深入發展，工程實踐由粗放型向精細型轉變，對邊坡穩定性評估提出了更高的要求.傳統的邊坡穩定性分析方法如Fellenius法、Bishop法、Morgenstern-Price法[1-3]都是以邊坡安全穩定性系數Fs=1為標準的確定性分析方法，沒有考慮影響邊坡穩定性的不確定性因素，而在巖土工程中確實存在很多的不確定性因素，因此安全系數法建立了許多簡化的假定，故而得到的結果可能會存在偏差，以此來看，傳統的確定性分析方法已經越來越難滿足實際工程問題的需要.

不確定性包括物理不確定性、統計不確定性和模型不確定性，隨機性是不確定性類型中的常見形式，其大小一般可以用概率來體現.可靠性分析[4]方法就是用概率表示邊坡失穩的方法.其優點在于可靠性分析方法承認基本狀態變量的隨機性，將影響邊坡穩定的因素作為隨機變量考慮，將每一組的隨機變量代入確定性邊坡穩定分析方法[5]，得到大量的確定性結果，運用統計學知識得出規律，用一個確定的概率值來描述邊坡工程中的不確定性[6].從這方面來看，可靠性分析是邊坡穩定性分析的更進一步發展，不確定性分析方法是確定性分析方法的延伸.

目前，較為常用的可靠性分析方法主要有5種，分別是蒙特卡洛法[7-8](Monte Carlo Method，MC)，響應面法[9](Response Surface Method，RSM),可靠指標法[10]，羅森布魯斯統計矩法[11](Rosenblueth Method)，隨機有限元法(Stochastic Finite Element Method，SFEM)，其中蒙特卡洛法[12-14]因其具有原理簡單、精度高而且不需要分析參數概率分布、受問題條件限制的影響較小、結果是否收斂與極限狀態方程的非線性無關等優點，經常作為檢驗其他分析方法的標準.本文以蒙特卡洛模擬方法為基準，用響應面法和羅森布魯斯法與現行的邊坡極限平衡法相結合，對邊坡可靠性進行計算并對計算結果進行比較分析，探究更為合理的邊坡穩定性預測方法.

1 可靠度方法

1.1 蒙特卡洛法

邊坡穩定性受到多種因素的影響，因此可以根據巖體結構、破壞機理和受力情況等建立邊坡狀態函數Z：

Z=g(X1,X2,…,Xm)

(1)

(2)

(3)

式中φ(1-Pf)指標準正態分布函數，可以根據得到的N個g(x)值求得均值μz和標準差σz：

(4)

(5)

也可根據均值μz和標準差σz可求得邊坡可靠度指標β：

(6)

1.2 響應面法

邊坡狀態函數一般都是根據剛體極限平衡法Fs=R/S來建立.對于簡單均質邊坡，如果使用Fellinous法分析邊坡穩定性，邊坡狀態函數尚可以用顯式表達，但對略微復雜的邊坡進行邊坡穩定性分析，邊坡狀態函數通常無法用顯式表達，此時可以通過用近似的邊坡狀態函數來替代真實的狀態函數，此即響應面法.當得到近似邊坡狀態函數后，還需要結合其他的可靠度分析方法，常常與一次可靠度法相結合.

(7)

式中：A，Bi，Ci為待定系數，xi(i=1,2,3,…,n)為邊坡隨機變量.響應面極限狀態方程求解步驟為：

1)假定初始點X0=(x1,x2,…,xn)通常會選擇隨機變量的均值點作為初始點.

3)解出由步驟(2)列出的線性方程組的解，得到待定系數A，Bi，Ci的值，于是得到以二次多項式表達的響應面極限狀態方程.得到狀態方程之后可以結合一次可靠度方法計算邊坡可靠度和破壞概率，也可與蒙特卡洛法相結合.

1.3 羅森布魯斯法

在狀態變量Xi(i=1,2,3,…,n)分布函數未知的情況下，不必考察Xi的變化情況，只在區間(Xmin,Xmax)上分別對稱地選擇兩個點，通常選取均值μXi的一個正負標準差σx，即：

(8)

若假設n個狀態變量，則有2n個取值點，在2n個狀態變量的組合下，由狀態方程Z=G(x1,x2,…,xn)可求得2n個狀態函數值Zj.若n個狀態變量相互獨立，則Z的均值為：

(9)

若n個狀態變量相關，且2n個組合中每個組合出現的概率不相等，則變量間的相關系數ρ決定了每個組合概率值Pj：

+en-1enρn-1,n)

(10)

ρi-1,i為狀態變量Xn-1與Xn之間的相關系數.式中ei(i=1,2,3,…,n)取值為：當xi取xi1時，ei=1；當xi取xi2時，ei=-1.則Z的均值為：

(11)

如此便可推導出狀態函數概率分布的一階矩M1、二階矩M2、三階矩M3和四階矩M4.

由邊坡狀態函數的一階矩M1和二階矩M2可求得邊坡的可靠度指標β：

(12)

1.4 可靠度方法應用條件

可靠度分析方法有多種且計算方法有不同的使用條件，在實際計算使用過程中，為了獲得較為準確的結果，要根據具體情況使用，故將以上常用幾種可靠度方法的適用條件及優缺點進行分析，結果如下表1所示.

表1 可靠度方法應用條件綜合分析表

2 算例分析

2.1 計算模型

已知某簡單均質土坡，分別在隨機變量符合正態分布和對數正態分布情況下使用不同可靠度方法計算邊坡可靠度.不考慮土性參數相關性，土體破壞符合摩爾庫倫準則，該均質土坡高H=5.0 m，坡角β=45 °，土體容重γ=17.64 kN/m3，黏聚力c=6 kPa，內摩擦角φ=21 °，其幾何尺寸如圖1所示.

圖1 均質邊坡截面屬性

使用有限元軟件ABAQUS進行數值分析計算，運用強度折減法以數值計算不收斂作為依據，得到邊坡穩定系數值Fs=1.16，圖2、圖3分別為ABAQUS分析得到的位移等值線云圖和塑性應變等值線云圖，由圖可以清楚地判斷邊坡滑動面的位置，與極限平衡分析法得到的滑面大致相同，均呈大致的圓弧狀，且都通過坡腳點.由安全系數值可以知道該邊坡雖然達到了極限平衡，但依然屬于欠穩定狀態.在給定參數的情況下，利用定值使用不同極限平衡法計算得出邊坡安全系數，如表2所示.

圖2 位移等值線云圖

圖3 塑性應變等值線云圖

表2 不同極限平衡法的安全系數

2.2 參數變異性敏感度分析

針對該均質邊坡，參考相關文獻[16-17]，假設隨機變量c、φ相互獨立，且變異系數范圍為[0.1，0.3]，因為主要考察不同可靠度方法之間的差異，因此忽略土的重度變異性對邊坡可靠度的影響，土體參數統計結果如下表3所示.

表3 土性參數統計特征值

根據不同剛體極限平衡方法建立不同邊坡狀態函數，在土體參數符合正態分布情況下運用蒙特卡洛方法計算邊坡可靠度，并以此作為基準.在同一變異系數下使用不同的可靠度方法計算，比較不同方法之間的差異；在不同變異系數下計算可靠度，比較在同一可靠度方法下變異系數對可靠度的影響.

首先假設φ不變化，當c的變異系數在0.1到0.3之間變化時，分別在參數符合正態分布和對數正態分布下求得邊坡的可靠度，結果如下圖4(a)所示；之后假設c不變化，φ的變異系數在0.1到0.3之間變化時，同樣在參數符合不同分布下求得邊坡可靠度，計算結果如下圖4(b)所示，在參數符合不同分布下來考察參數變異性對邊坡可靠度的影響.

2.3 參數分布類型敏感度分析

為了研究參數的分布類型對邊坡可靠度的影響，依然選用三種(Fellenius法、Bishop法和Morgenstern-Price法)不同的極限平衡法建立邊坡狀態函數，在土體參數符合對數正態分布情況下計算邊坡在不同變異系數下的可靠度，研究方法和上述正態分布情況下相同，計算結果如圖5所示，將兩種分布情況對比，探究參數在何種分布下對邊坡可靠度影響更敏感.

2.4 結果分析

1)通過上述均質邊坡算例，在相同變異系數下比較可以看出，使用不同剛體極限平衡法建立邊坡狀態函數時求得的可靠度指標有一定差異.使用Fellenius法求得的邊坡可靠度最小，使用Bishop法求得的可靠度最大，M-P法求得的結果居中，但與Bishop法較為接近，這也與剛體極限平衡法求得的邊坡安全系數相符合.邊坡安全系數越大則可靠度越高，但同時也表明了邊坡安全系數大于1時邊坡仍然有破壞的可能.使用不同極限平衡法建立的狀態函數計算的可靠度有差別是其固有缺陷，這是因為假定條件不同而導致的，Bishop法和M-P法的穩定系數是經過多次迭代求得，故而可靠性分析結果與蒙特卡洛法更為接近.

2)在不同變異系數下比較圖4(a)、圖5(a)可知，在φ不變的情況下，邊坡可靠度隨著c變異系數的增大而逐漸減小.從圖4(b)、圖5(b)可以看出在c不變的情況下，邊坡可靠度也隨著φ變異系數的增大而逐漸減小，可以知道邊坡可靠度隨著變異系數的增大而減小.進一步對比結果可以發現: 無論在何種分布下， 相同的邊坡在φ變異系數變化時得到的可靠度指標更小，即邊坡更易破壞，可以知道邊坡可靠度指標對內摩擦角φ的變化更為敏感.

(a)c的變異系數0.1到0.3

(a)c的變異系數0.1到0.3

3)在不同參數分布類型但同一變異水平下研究發現:參數變異性較小時，兩者計算的可靠度較為接近，但參數服從對數正態分布計算得到的可靠度數值偏大；當變異系數較大時，對數正態分布下計算邊坡可靠度比正態分布下計算偏差更大，可以知道參數在對數正態分布下，邊坡可靠度對參數變異性更敏感.

3 結論與建議

1)運用可靠度方法對邊坡進行可靠度分析時，能夠充分考慮巖土參數的隨機性、變異性等因素，能夠量化各個參數對邊坡穩定性的影響，解釋了傳統極限平衡法不能解釋的安全系數大于1邊坡破壞、安全系數小于1邊坡穩定的問題.因此，將可靠度方法與邊坡穩定性分析結合能更好地對邊坡穩定性進行評價.

2)在相同的極限平衡法條件下建立邊坡狀態函數時，不同可靠度方法計算結果差異較小.對于一般邊坡工程而言，羅森布魯斯法和響應面法兩者計算精度都能滿足工程需要，如果工程對精度要求較高，應該通過響應面迭代或者選用高次響應面來擬合功能狀態函數.

3)在不同的極限平衡法條件下建立邊坡狀態函數，可靠度計算結果差異較大，特別是在變異系數0.3時，Fellenius法具有更大的誤差.在同一變異水平下，得到的可靠度指標最小的Fellenius法，其次是M-P法，最后是Bishop法.

4)從圖可知，當土體參數在服從正態分布時能夠取得較好的分析結果，在參數服從對數正態分布的情況下，計算結果誤差明顯增大，可知對數正態分布對可靠度影響更大.

5)c、φ變異性對邊坡可靠度影響不同，無論何種分布，可以看出φ的變異性對邊坡可靠度影響大于c的變異性對可靠度的影響.