飽和非線性超晶格中帶隙孤子的特性研究

黎 磊，胡佐富，陳文潔，陳彥彰，鐘 超

飽和非線性超晶格中帶隙孤子的特性研究

*黎 磊，胡佐富，陳文潔，陳彥彰，鐘 超

（井岡山大學數理學院，江西，吉安 343009）

利用光譜重構法求解了聚焦飽和非線性超晶格半無窮帶隙中的基模孤子，并研究了飽和程度和超晶格勢場的相對強度對孤子的功率、穩定性的影響。研究結果表明：對于給定相對強度的超晶格勢場，當飽和程度較低時，孤子在高功率區域不穩定，并且孤子的穩定范圍隨著飽和程度的增大而變寬；當飽和程度較高時，孤子功率隨傳播常數增大快速增大，但孤子是穩定的。此外，對于給定的低飽和程度，孤子的穩定范圍隨著超晶格中低頻格子相對強度的增大而變寬。

帶隙孤子；超晶格；飽和非線性；光譜重構

0 引言

光在非線性介質中傳輸時，當非線性效應導致的會聚效果和光束衍射效應導致的發散效果相平衡時，光束在介質中會以不變的寬度、強度傳輸，這類光束被稱為空間光孤子。早期的空間光孤子研究主要集中在均勻介質中，近些年，隨著光學誘導技術的不斷提高，人們發現引入外勢可以給空間光孤子帶來了很多新的特性。因此，各種勢場調節下的空間孤子研究引起了研究人員極大的關注，如：Bessel勢場[1]、Mathieu格子[2]、高斯勢[3]、啁啾勢場[4]、周期晶格勢[5]等。而且當對光學介質的折射率進行周期調制時會形成光學格子結構，這種周期格子在物理上的特點是存在布洛赫帶隙結構，所謂的帶隙孤子就是局域在帶隙中的非線性模。

帶隙孤子可以存在于多種非線性系統中，通過不同的非線性響應可以調節帶隙孤子的特性，如：非局域非線性[6]，飽和非線性[7]，三五次競爭非線性[8]等。再者，帶隙孤子的種類繁多，例如：將帶隙中不同的非線性模式耦合在一起可以形成矢量帶隙孤子[9]；在二維的晶格中，存在帶隙渦旋孤子[10]；在周期系統表面可以局域表面帶隙孤子[11]；PT對稱晶格中存在穩定的復數帶隙孤子[12]；光晶格中的帶隙暗孤子[13]也有相應的報道。近期，帶隙孤子的研究拓展到了分數維[14-15]。帶隙孤子具有均勻介質無法比擬的特性，不僅在光學系統，在玻色-愛因斯坦凝聚[16]等其他非線性周期系統中也被廣泛研究。

帶隙孤子的類型和其對應的非線性傳播常數在帶隙中的位置以及非線性的類型密切相關。例如：對于聚焦非線性周期系統，基模孤子存在于半無窮帶隙中，亞基模孤子存在于第一帶隙中；對于散焦非線性周期系統，基模孤子主要存在于第一帶隙中，亞基模孤子存在于第二帶隙中。改變光學格子的結構和參數可以調節帶隙結構，從而控制不同類型的帶隙孤子的形成、功率以及穩定性等性質。比如：用兩個不同周期的格子疊加可以形成超晶格結構[17]。超晶格多了一個調控格子相對強度的自由度，而飽和非線性在調制孤子的功率和穩定方面有著獨到的優勢[18]。因此，將兩者結合起來，研究超晶格勢場和飽和非線性效應共同調制下的帶隙孤子具有重要意義。

本文詳細研究了飽和聚焦非線性下光學超晶格半無窮帶隙中的基模孤子。通過光譜重構法[19-20]求出孤子解，然后著重探討了非線性的飽和程度和超晶格的相對強度對孤子穩定性的影響，發現增大飽和程度以及超晶格中低頻格子的相對強度有利于孤子的穩定。

1 理論模型

基于聚焦飽和非線性介質的線性光學格子中的光孤子可以用下面的歸一化的非線性薛定諤方程來描述：

其中，是光場，，分別是橫向坐標和縱向坐標，是晶格勢場，代表線性折射率的調制。我們考慮由兩個不同周期格子疊加形成的超晶格勢場為：

公式中是超晶格勢場的調制參數，可以用來調節低頻和高頻格子的相對強度。圖1 (a)為=0.4時的超晶格勢場。

(a) 超晶格勢場，α = 0.4；(b)帶隙結構隨α的變化關系，能帶曲線；(c) α = 0.2；(d) α = 0.5

為了計算帶隙結構，考慮非線性薛定諤方程的線性部分：

根據Bloch理論，方程(3)的本征函數可以寫成=Fexp()，是Bloch波矢，F是和勢場同周期的周期函數。將Bloch解代入方程(3)，可以得到本征方程：

采用平面波展開法求解方程(4)，可得該系統的帶隙結構隨超晶格勢場的調制參數的變化關系，如圖1(b)所示。從圖中可知，隨著的增大，第一帶隙逐漸變寬，而第二帶隙則逐漸變窄。但是對半無窮帶隙范圍的影響很小，圖1(c)、1(d)分別為= 0.2，= 0.5時的Bloch能帶圖。這里僅討論半無窮帶隙中的孤子。

對(5)式中的線性部分應用傅里葉變換，然后再進行傅里葉逆變換，得到：

去分母后得到：

通過方程(7)，可以表示為：

其中，代表傅里葉變換。于是，得到孤子解的迭代公式為：

為了分析孤子的穩定性，我們在求出的孤子解中加入微擾：

代入方程(1)，得到本征方程為：

數值求解方程(13)可以得到微擾增長率e()，當其最大值等于0時，孤子是線性穩定的，否則是線性不穩定的。

2 數值模擬和討論

接下來，我們數值討論飽和參數和超晶格的調制參數對孤子特性的影響。首先，固定= 0.2，計算三種不同的飽和參數= 0.1,= 0.2,= 0.3下孤子的功率隨著傳播常數的變化關系，結果如圖2(a)所示。我們發現孤子的功率隨著傳播常數的增大而增大，并且飽和參數越大，孤子的功率上升的越快。這從物理上很容易理解，因為傳播常數就是各種效應引起的總相移（這里包含超晶格勢場調制效應以及飽和非線性效應），對于聚焦飽和非線性，功率越大，則非線性效應引起的非線性相移越大。另外，在較大的飽和參數下，非線性效應的飽和程度越高，這種情況下當功率達到一定程度的時候，如果繼續增大功率，相移也會呈現飽和的效果，即的增加趨于平緩。反應在-曲線上，體現的是越大，曲線越陡，即功率隨傳播常數變化的越快。另外，同一個傳播常數下，越大，孤子功率越高。物理上，飽和程度越大，則非線性效應越弱，所以需要更大的功率來增大非線性相移使總相移即傳播常數相等。然后，我們對孤子解進行線性穩定性分析，并在-曲線中分別用實線和虛線來區分孤子的穩定區域和不穩定區域。計算發現在較弱的飽和非線性程度下，孤子在高功率區域不穩定。并且孤子的穩定范圍隨著飽和參數的增大而變寬，當飽和程度較高時，孤子都是穩定的，也就是說飽和非線性效應有利于孤子的穩定。

(a) α=0.2 (b) α=0.3,s=0.1 (c) α =0.4,s=0.1 (d) α=0.5,s=0.1

我們通過同一個傳播常數= 2.5時兩個不同飽和參數= 0.2，= 0.3下的孤子來舉例說明。圖3(a)，3(b)分別給出了= 0.2和= 0.3時的基模孤子解，對應的線性穩定譜分別見圖3(c)，3(d)，對比兩圖可知，當=0.2時，微擾增長率e()大于0，說明此時孤子是不穩定的，但是當=0.3時，其微擾增長率e()等于0，說明此時孤子是穩定的。為了進一步驗證孤子的穩定性，我們在孤子解上加上10%孤子幅度的白噪聲，然后采用對稱分步傅里葉算法模擬孤子的傳輸。當=0.2時，圖3(e)中的傳輸模擬發現孤子傳輸很短的距離后波形就發生了形變，驗證了此時的孤子是不穩定的。當=0.3時，圖3(f)中的傳輸模擬發現孤子傳輸很長的距離仍然維持原有的波形，此時的孤子是穩定的。傳輸模擬和線性穩定性分析的結果符合的很好。

(a)(c)(e) s=0.2; (b)(d)(f) s = 0.3, α = 0.2, μ= 0.5

接下來，我們固定飽和參數=0.1, 改變超晶格調制參數。為了進一步計算了三種不同的調制參數=0.3,=0.4,=0.5下孤子的功率和穩定性隨著傳播常數的變化關系，結果分別如圖2(b)、2(c)、2(d)所示。穩定性分析表明：當=0.2時，孤子在傳播常數0.6 ～ 1.43范圍內是穩定的；當= 0.3時，孤子的穩定范圍拓展到0.6 ～ 1.89；當= 0.4時，孤子的穩定區域為0.6 ～ 2.63；當= 0.5時，孤子在0.6 ～ 4.46范圍內穩定。也就是說，孤子的穩定范圍隨著超晶格調制參數的增大而變寬。舉例來說，對于= 1.5，圖4(a)、4(b)分別是= 0.2，= 0.3時的孤子解，兩個孤子的外形輪廓差不多，功率也相差不大，物理上，由圖1(b)可知，改變超晶格的調制參數，能帶結構并沒有明顯移動，尤其是半無窮帶隙，也就是說超晶格的相對強度對總相移的影響很小，所以對于同一個傳播常數（總相移相同），由飽和非線性效應引起的非線性相移也應該相差不大，故而在和固定的情況下，不同下的孤子功率相差不大。但是孤子的傳輸模擬表明：當=0.2時，孤子是不穩定的，見圖4(c)，而當= 0.3時，孤子是穩定的，見圖4(d)。對于另一個例子= 3，孤子在= 0.2，= 0.3，= 0.4時都是不穩定的，但是= 0.5時，孤子是穩定的。我們分別給出了= 0.4，= 0.5時的孤子解，見圖5(a)、5(b)；相應的傳輸模擬見圖5(c)、5(d)，結果進一步證實了增大超晶格中低頻格子的相對強度（即調制參數）有利于孤子的穩定。

(a)(c)α = 0.2；(b)(d)α = 0.3，s = 0.1, μ = 1.5

(a)(c)α = 0.4；(b)(d)α = 0.5，s = 0.1, μ = 3

3 結論

我們研究了聚焦飽和非線性超晶格半無窮帶隙中的基模孤子，討論了非線性的飽和程度和超晶格的相對強度對孤子的功率、穩定性的影響。研究發現，對于固定相對強度的超晶格勢場，孤子的穩定范圍隨著飽和程度的增大而變寬，當飽和程度較低時，孤子在高功率區域不穩定；當飽和程度較高時，孤子功率隨傳播常數增長很快，但孤子是穩定的。另外，對于給定的低飽和程度，超晶格中低頻格子的相對強度越大，孤子的穩定范圍越寬。綜上，增大非線性的飽和程度以及超晶格中低頻格子的相對強度有利于孤子的穩定。

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PROPERTIES OF GAP SOLITONS IN SUPERLATTICES WITH SATURABLE NONLINEARITY

*LI Lei, HU Zuo-fu, CHEN Wen-jie, CHEN Yan-zhang, ZHONG Chao

（School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China）

The fundamental solitons in the semi-infinite gap of superlattices under focusing saturable nonlinearity are solved by the spectral renormalization method. The effects of saturation degree and relative strength of superlattice potential on the power and stability of solitons are studied. The results show that for a fixed relative strength of superlattice potential, when the saturation degree is low, the solitons are unstable in the high-power region, and the stable range of the solitons becomes wider with the increase of the saturation degree. When the saturation degree is high, the soliton power grows dramatically with propagation constant, but the solitons are stable. Besides, for a given low saturation degree, the stable range of the solitons widens with an increase in the relative strength of low-frequency lattice in the superlattice.

gap soliton; superlattice; saturable nonlinearity; spectral renormalization

O437.5

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.06.001

1674-8085（2022）06-0001-06

2022-03-20；

2022-04-12

國家自然科學基金項目(11764022)；江西省教育廳科技計劃項目(GJJ180588)

*黎 磊(1988-)，男，江西吉安人，講師，博士，主要從事空間光孤子研究(Email:fanrenlilei@126.com).