基于動態規劃的多波束測線布設模型

王 楠，俞治丞，王景賢

（南京信息工程大學 大氣物理學院， 南京 210044）

聲波波束測深法是利用聲波傳播原理進行海水測深的常用方法，其原理為測量船換能器垂直向海底發射聲波信號，并接收反射聲波信號，利用發射波與反射波時間差實現海水測深。為了獲得某一海域較為全面的深度數據，通常使用多波束測深法進行測量。多波束測深法一次發射數十乃至上百個波束，能測得以測量船測線為軸線且具有一定寬度的全覆蓋水深條帶。為保證測量便利性和數據完整性，相鄰條帶間應有10 %～20 %的重疊率。由于真實海底地形起伏變化大，若測線間隔布設不合理，易出現漏測，或因重疊率過高導致數據冗余量增大，影響測量質量和效率。本文針對2023 年高教社杯全國大學生數學建模競賽（CUMCM）B 題給出的四個問題[1]，基于幾何原理，建立了海底坡面多波束測深平面模型、變化測線方向的多波束三維覆蓋模型、單目標規劃模型和微元測線規劃模型，探究不同海域情況下的多波束測線布設優化方案。

1 問題一模型的建立與求解

問題一設定與測線方向垂直的平面（以下簡稱為測線垂面）和海底坡面的交線構成一條斜線，其與海平面的夾角為α，要求建立多波束測深的覆蓋寬度與相鄰條帶重疊率的數學模型，并求解特定位置覆蓋寬度、重疊率等指標。

1.1 海底坡面條帶覆蓋研究

如圖1 所示，由于海底具有一定坡面，可觀察到的覆蓋條寬度應為坡面覆蓋長度在水平面上的投影。設可觀察到的覆蓋寬度為w，

其中，W 為坡面覆蓋長度。若測線1 處海水深度為D1，測線2 處海水深度為D2，測線間距為d，則滿足，

若線段AC 與BD 的長度分別為W11，W22，換能器夾角為θ，可通過解三角形得到測線1 覆蓋區域與測線2 覆蓋區域的重疊率為

根據三角關系，測線1 覆蓋寬度為[2]

測線2 覆蓋寬度的求解方法同測線1。

1.2 特定海底坡面條帶覆蓋求解

已知某特定海底坡面，其中心深度為D0=70 m，則根據1.1 模型，第i 條（i=-4，-3，…，4）測線的對應海水深度Di、覆蓋寬度wi分別為

第i 條測線與第i+1 條測線（i=-4，-3，…，3）覆蓋區域重疊率為

已知測線間距Δd=200 m，且ΔD=Δdtan α，代入已知數據即可求解得到該海域多條測線處海水深度、覆蓋寬度與覆蓋區域重疊率，計算結果見表1。

由表1 可以看出：測線間距為200 m 時，僅有0 m 與200 m 海域覆蓋區域的重疊率滿足10%～20 %的測量便利性與數據完整性條件；重疊率為負值表示存在漏側。因此，在200 m 與400 m 海域間可適當減小測線間距d，使得其覆蓋區域重疊率增大；在-800 m 與-200 m 海域間可增大測線間距d，使得其覆蓋區域重疊率減小。

2 問題二模型的建立與求解

問題二中，測線方向與海底坡面法向在水平面上投影的夾角為β，要求給出特定β 取值下多波束測深的覆蓋寬度。為便于研究，需要將問題一的平面模型擴展為三維立體模型。建立海底坡面的三維坐標系，如圖2 所示。

圖2 海底坡面三維坐標系示意

2.1 沿測線海水深度變化研究

當測量船沿測線方向前進l 時，該路程中海水深度的變化量為

式中，γ1為測線垂面與坡面交線（圖2 中線段AB）與海平面的夾角，可以通過解析測線垂面與海底坡面的法向量求得。若測線垂面法向量為海底坡面法向量為，那么γ1滿足

2.2 測線覆蓋區域分析

在三維坐標系下研究測線的覆蓋區域時，需要作垂直于測線方向的平面，該平面即為發射波所在的平面，其與海底坡面的交線即為測線覆蓋區域。若該平面在海底坡面三維坐標系下的法向量為則其與海底坡面的交線與海平面的夾角γ2可以表示為

γ2的意義與問題一中角α 的意義相似，則可將問題二的三維問題轉變為海水深度沿測線變化的二維平面問題。通過對三維平面的解析，得到變化測線方向的多波束測深情況下覆蓋寬度wm的表達式，

其中，D（β，l）為夾角為β 的測線行進路程l 時的海水深度，其變化量由公式（8）確定。

2.3 特定位置覆蓋寬度求解

問題二需要求解β 的8 個取值，測量船沿測線方向運動2.1 海里，每間隔0.3 海里測量一次海底情況。當β∈（π/2，3π/2）時，在測線方向上海水深度逐漸減??；當β∈（0，π/2）∪（3π/2，2π）時，在測線方向上海水深度逐漸增大。已知l=0時的海水深度，可以對海水深度進行離散化分段求解，表達式為

進而得到在（iπ/4，iΔl）情況下的覆蓋寬度的表達式為

將賽題給定的換能器夾角等已知條件代入上述公式，即可求解得到不同測線方向、不同船體位置情況下的覆蓋寬度。由于海底為固定坡面，在各個測量方向上，覆蓋寬度呈線性變化，并具有對稱性特征，如圖3 所示。

圖3 覆蓋寬度與測線方向、船體位置關系

3 問題三模型的建立與求解

問題三限定了一片南北長2 海里、東西長4海里的矩形海域，海底依然具有一定坡度，且西深東淺，要求設計滿足重疊率條件、可以完全覆蓋該海域的多條測線，并盡可能使測線長度最短。為便于測量海底情況和計算重疊率，盡可能確保不漏測，測線應均為直線[3]，且測區內的各主測線應為平行關系。

3.1 南北方向平行測線設計

為使得測線盡可能分布稀疏，直接考慮相鄰兩側線之間重疊10 %的情況。先確定第一條南北向測線，使得測線條帶覆蓋區域左邊界與矩形海域西邊界完全重合。再以重疊率為10 %確定下一條測線。以此類推，從西到東設計出可以覆蓋矩形海域、重疊率固定為10 %的多條測線（如圖4 所示）。最后計算測線總長度。

圖4 測線條帶覆蓋示意

第一條測線對應坐標x0應與測線左覆蓋區域長度一致，x0的表達式為

由于設定兩條測線的覆蓋區域重疊率為10%，根據重疊關系求解得到第一條測線的右側坡面覆蓋長度為

第二條測線的位置坐標為

同理，對于第i 條測線的坐標，可以得到迭代公式。再根據初值條件Dleft=110+2×1 852tanα，通過迭代可以得到第1 條到第n 條測線的坐標。

綜上，動態規劃求解模型為

根據上述計算，當兩兩測線的重疊率固定為10 %時，求解得到在南北方向上共需要設計34條測線，測線總長度為125 936 m。南北向平行設計測線時，覆蓋率與測線條數呈線性關系，覆蓋率越大，測線條數越多。因此，10 %重疊率情況下測線總長度最小。

3.2 東西方向平行測線設計

當船自西向東移動時，船體所在海域的深度越來越淺，覆蓋寬度也越來越小，沿測線方向覆蓋區域形狀為梯形。在較深處，可能會重疊率過大，而在較淺處，則可能會漏測。當深度變化不大時，梯形趨近于一個矩形，深處與淺處的重疊率相近，在合理設計下可完全覆蓋海域，且重疊率為10 %～20 %。

經計算，矩形海域西邊界最深處海水的深度為Dleft=206.94 m，東邊界最淺處海水深度為Dleft=13.06 m。借助問題二模型進行簡單計算，可以發現在最深處只需設計6 條測線，而在最淺處則需設計高達上百條測線。測線數差別過大，必定會產生漏測與重疊率過高的情況。因此，所有測線呈東西走向是不合理的。與此類似，所有斜向平行測線設計也無法解決類似問題。

綜上，該矩形海域最優布設策略為：南北向平行設計34 條測線，測線總長為125 936 m，測線具體布設如圖5 所示。

圖5 南北方向測線布設設計

4 問題四模型的建立與求解

問題四要求針對一個海底凹凸不平的實際海域進行測線布設設計?，F已給出該海域（南北長5 海里、東西寬5 海里）的歷史單波束測深情況。以此數據為基礎，對該海域重新進行更為精確的多波束測深設計，并嘗試求解測線布設的最優方案。

4.1 海域信息分析

若多條等深線近似平行，且相鄰兩條等深線的距離近似相等，則可認為這些等深線代表一個固定坡度的坡面。為簡化問題，將近似相互平行且距離相近的多條相鄰等深線歸為一組，其對應的海域可近似為具有固定坡度的坡面。

依據所給單波束測深數據，繪制等深線圖，并將該海域分成三個區域進行分析，如圖6 所示。

圖6 按等深線分區示意

4.2 固定坡面區域①、②測線設計

區域①與區域②的等深線基本相互平行且兩兩相距較近，故可將這兩個分區擬合成一個固定坡面。如圖6，區域①可近似為一個直角三角形，即擬合出了一個上界為-80 m，下界為-197.20 m的坡面。根據問題三設計方案，沿等深線布設測線是最優方案。選取合適坐標點求解得到該擬合坡面坡度α1=0.046 2 rad。利用動態規劃的求解思想，結合問題三模型與區域邊界條件，可求解得到三角區域覆蓋寬度的表達式。

區域①為三角形海域，按照上述算法會出現漏測區域。根據三角關系，求得漏測區域面積的表達式為

其中，? 為測線與海平面的夾角。在區域①中，重疊率固定為10 %，存在一定的漏測率。通過上述分析，使用動態規劃求解得到區域①測線總長度為32 098 m。

同理，將區域②擬合為北深南淺的固定坡面。區域②最優解為測線方向為正東正西、覆蓋率恒定為10 %。由于區域②為矩形海域，則可直接利用問題三的模型進行求解，得到區域②測線總長度為66 672 m，且不會出現漏測區域。

4.3 基于微元法的區域③測線設計

由圖6 可知，區域③的等深線具有一定折角，因此，不可使用固定坡度擬合方法簡化處理。若要使得區域③測線設計盡可能優化，仍需使測線盡可能沿等深線分布。

區域③的右邊界處等深線近似平行且間距較近，在該范圍內進行固定坡面擬合，從所給數據中取點計算，可估算其大致坡度為0.054 rad。以-80 m與-60 m 之間的某等深線D0為起始位置，固定覆蓋率為10 %，自東向西設計測線。

以等深線-D0在所給數據中篩選對應深度，得到等深線附近散點的集合，其中散點Pi的坐標為（xi，yi，zi）。由于散點間距極小，為方便后續計算，令各散點上測線方向均為正南正北向。在坡面固定為=0.054 rad 時，可求得Pi處覆蓋寬度為

結合公式（19）、（20），可根據前一測線的估計坡度與大量散點坐標，確定下一測線的估計坡度與散點坐標，據此迭代直至結束。

初始位置的選擇在該迭代過程中至關重要，使用遺傳算法求解以下規劃模型：

其中，j=0，1，…，n-1。

采用遺傳算法[4]求解得最小測線下的最優D0為-75 m，該初始測線矩形覆蓋區域的右邊界恰好與-80 m 深度線重合，且未浪費覆蓋空間。

圖7 為區域③具體測線的走向。由圖7 可看出，海水深度在東南方向較深，在西南方向較淺，符合等深線的走向。

圖7 區域③測線設計示意

在所得測線布設下，利用動態規劃和基于遺傳算法的微元法即可得最短測線總長為308 800 m。因為區域②為矩形且深度分布較為均勻，所以區域②為滿覆蓋情況，而區域③是微元法求解，誤差很小，因此只需要計算區域①的漏測面積，即可得到漏測百分比，為0.211 9 %。由于區域②在區域下邊緣處布設的測線覆蓋寬度超出原有區域，與區域③重疊較多，而區域②測線為正東西走向，長度為4 海里。此外，區域①和③臨界處覆蓋率小于20 %，因此重疊率超過20 %部分的總長度即為區域②測線長度，為7 408 m。

綜上，經計算得到測線總長度為308 800 m，漏測區域占總待測海域面積的0.219 9 %。表明在上述測線布設下近似滿足全覆蓋要求，重疊率超過20 %部分的總長度為7 408 m，仍有部分區域數據冗余，模型存在改進空間。