基于Copula函數推求的管運洪水防洪標準探討

王文圣，覃光華，梁瀚續，李深奇

(1.四川大學水利水電學院，四川 成都 610065； 2.四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，四川 成都 610065； 3.四川省水利水電勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610072)

水利工程中管理運用階段的分期設計洪水稱為管運洪水，不同于規劃階段的設計洪水，管運洪水是水庫管理運行的基礎。管運洪水作為一個新的概念逐漸被重視，計算和分析方法取得了顯著進展。管運洪水計算方法有3類。第1類方法直接將分期設計洪水作為管運洪水。分期設計洪水是在分析流域洪水季節性規律的基礎上，按照設計和管理要求，把整個汛期劃分為若干個分期，在各分期內進行最大值選樣，通過頻率計算求得設計頻率對應的分期設計洪水。這類方法得到的主汛期管運洪水小于指定防洪標準對應洪水，降低了洪水風險；次汛期管運洪水大于指定防洪標準對應洪水，增大了洪水風險，沒有達到制定的防洪要求[1]。第2類方法基于全概率公式推求管運洪水。張澤慧等[2]闡述了基于全概率公式推求管運洪水的基本原理，提出了在資料較短或汛期前、后洪水特征大致相同的情況下運用全概率公式推求管運洪水的可行方法。王文圣等[3]提出以洪水分期為條件的管運洪水直接推求法，在資料充足和相對充足情況下，根據全概率公式直接采用頻率分析推求管運洪水；在資料不足情況下，建立了基于全概率公式的管運洪水反算法。覃光華等[4]研究了以前期水量為條件的管運洪水推求方法——直接法和間接法，將前期水量分為少水和多水2種狀態，直接法以實測洪水資料為基礎，采用單變量頻率計算分析原理推求前期水量為少水和多水的條件分布；間接法以Copula函數描述年最大時段洪量和前期水量的二維聯合分布。此類方法得到的主汛期管運洪水大于年最大設計洪水，次汛期管運洪水小于年最大設計洪水，管運洪水滿足防洪要求，達到了指定的防洪標準。第3類方法基于Copula函數推求管運洪水[5-6]，得到的主汛期管運洪水大于年最大設計洪水，次汛期管運洪水小于年最大設計洪水?；贑opula函數推求的管運洪水設計值能否滿足現行防洪標準需要進一步討論。針對涉水工程的洪水風險問題，本文探討基于Copula函數推求管運洪水的防洪達標問題。

1 涉水工程洪水風險

對涉水工程的洪水風險而言，在未來可能出現的洪水中，只有出現大于工程所能承受的最大洪水時，工程才會出現風險。設工程能承受的最大管運洪水值為x0，未來可能出現的洪水為x，當x>x0時，涉水工程出現防洪風險；當x≤x0時，涉水工程是安全的。目前存在2種洪水風險理念，假定一年出現k次洪水，記為xi(i=1, 2, …,k)，第1種洪水風險理念為，當xi>x0時，洪水計入對工程造成風險，稱為次風險[7]；第2種洪水風險理念為，當maxxi>x0時，洪水計入對工程造成風險，稱為年風險。在水利工程的防洪安全分析計算時，鑒于工程的特殊性及重要性，一年中只計年最大洪水造成的風險，即年風險。

由于風險是不確定性事件，因此采用風險事件發生概率(頻率)來衡量風險大小，稱為風險度，記為P。P值越大，事件出現的可能性越大，洪水風險越??；反之亦然。次風險和年風險的風險度分別稱為次風險度和年風險度。對次風險度，以次頻率表示，記為Ps；對年風險度，以年頻率表示，記為Py。Ps和Py有著本質差異，前者以次計量，后者以年計量。

2 現行防洪標準和年標準洪水頻率曲線的推求

2.1 現行工程防洪標準

根據GB 50201—2014《防洪標準》，水利工程的防洪標準采用重現期表示，超過工程所能承受最大洪水(年最大設計值)的概率，即風險度Py為

Py=1/T

(1)

式中T為重現期。

2.2 年標準洪水頻率曲線的推求

為了符合防洪標準的要求，只計及洪水年最大值造成的風險，洪水頻率分析計算中的年洪峰流量和不同時段的洪量樣本系列均由年最大值樣本系列組成。依據洪水年最大值樣本系列(包含歷史洪水)，通過頻率分析計算可獲得洪水頻率曲線(稱為直接法)，由此獲得的洪水頻率曲線稱為年標準洪水頻率曲線(圖1中的曲線S)，是我國洪水計算規范制定的基礎。根據推求的年標準洪水頻率曲線確定的風險度和洪水設計值符合現行洪水計算規范要求和防洪標準。年標準洪水頻率曲線可以作為衡量其他方法推求的年頻率曲線是否符合要求(達標)的判別依據。

圖1 直接法和間接法推求的洪水頻率曲線Fig.1 Flood frequency curves obtained with direct method and indirect method

2.3 防洪達標分析

根據第1種洪水風險理念，以年最大值和次大值等洪水樣本系列為基礎推求洪水頻率曲線(稱為間接法)，常規的和基于Copula函數推求的分期洪水頻率曲線，即以次風險理念為基礎得到的洪水頻率曲線，如圖1中的曲線M1和M2。

將曲線M1、M2和曲線S進行對比，可以判斷基于次風險理念推求的洪水成果是否符合防洪要求(達到防洪標準)：①比較曲線M1和S，間接法的成果超過防洪標準；②比較曲線M2和S，間接法的成果低于防洪標準。具體結果如表1所示。

表1 洪水成果達標情況分析Table 1 Analysis of flood results of different methods to reach standards

3 基于Copula函數推求的管運洪水

3.1 管運洪水的推求

以兩分期為例進行說明，將整個汛期分為次汛期A和主汛期B。分期A和分期B的風險度分別用PA和PB表示，基于Copula函數推求管運洪水的基本思路如下[5]：

根據分期A和分期B內最大洪水樣本系列分別獲得各期洪水頻率曲線，建立兩分期洪水的Copula函數C(u,v)，推求出年風險度：

Pc=1-C(u,v)

(2)

其中

u=1-PAv=1-PB

式中Pc為根據PA和PB估計的年風險度。

令Pc=Py，并假設PA=PB，據此可得分期A和分期B的風險度PA和PB，最后通過各分期洪水頻率曲線得到各分期管運洪水xA和xB。

3.2 分期管運洪水的風險結構

由上述推求過程可得：①計算分期洪水頻率分布曲線時，選樣為分期內洪水最大值，依據資料必然包含年最大值和次大值，因此，基于式(2)獲得的年風險度Pc含有次大值產生的洪水風險，這不完全符合現行防洪標準規定的選樣要求[8]，即在研究時間尺度上按年最大值選樣；②式(2)中C(u,v)表示的是兩分期洪水值均小于分期管運洪水的概率，也就是說，Pc表示的是兩分期至少有1個分期內洪水值大于分期管運洪水的概率(風險度)，這不符合防洪規范中規定的涉水工程1年僅破壞1次的要求。

基于Copula函數推求管運洪水的年風險既包括了年最大值導致的風險，又包括次大值造成的風險。對于同一管運洪水x0，基于第1種風險理念的年風險度Pc(x>x0)大于基于第2種風險理念的年風險度Py(x>x0)。假設基于Copula函數推求出的分期管運洪水分別為x0A和x0B，未來某一年發生的分期洪水最大值分別為xA和xB，并且xB為年內最大值，即xA

第1種情況：xA>x0A，xB

第2種情況：xA>x0A，xB>x0B。根據第1種風險理念，則這一年涉水工程在分期A和分期B均出現風險，即1年內出現2次風險，工程被破壞2次；根據第2種風險理念，這一年內僅分期B內出現風險，工程僅破壞1次。

3.3 達標檢驗

從風險結構分析可見，基于Copula函數推求出的管運洪水是超標的，防洪是偏安全的。對基于Copula函數推求出的管運洪水達標情況進行檢驗，基本步驟如下：①根據流域洪水特性合理劃分次汛期A和主汛期B，獲取各分期內最大值序列樣本和年最大值序列樣本；②推求分期A和分期B及全年最大洪水頻率分布曲線，分別記為曲線A、B和S；③建立分期A和分期B洪水的Copula函數C(u,v)；④給定一系列的洪水值x，分別在A、B、S頻率曲線上獲得相的頻率PA、PB和Py；⑤由PA和PB根據C(u,v)可推求出Pc，得到洪水x與Pc對應的頻率曲線，此曲線即為基于Copula函數推求的年洪水頻率曲線，計為曲線M；⑥將曲線M和S點繪在一張坐標紙上，根據表1檢驗其防洪達標情況。

4 實例分析

馬邊站是岷江流域馬邊河上重要的水文站，集水面積1 830 km2。根據馬邊站1957—2013年洪峰流量資料和洪水特性，將5月、6月、9月、10月劃分為次汛期A，將7月、8月劃分為主汛期B，分別選出次汛期、主汛期以及全年的最大洪峰流量系列，并假定它們服從P-Ⅲ分布。采用Gumbel-Hougaard Copula函數構造次汛期與主汛期最大洪峰流量的聯合分布[5]，其中參數θ根據Kendall秩相關系數進行估計，得到θ=1.008 9。

圖2 次汛期、主汛期、年洪峰流量頻率曲線對比Fig.2 Comparison of flood frequency curves of peak discharges of non-major flood period, major flood period, and annual flood period

基于Copula函數推求的洪水頻率曲線M見圖3，曲線M和S不同是由于計算方法的不同。對兩條頻率曲線代表的管運洪水對應的風險度進行計算，結果見表2。從表2中可以看出，對于同一管運洪水，頻率曲線M對應的風險度大于頻率曲線S。對50年一遇的管運洪水，曲線M的風險度比曲線S高約14.3%；對1 000年一遇的管運洪水，曲線M的風險度比曲線S高約30%；隨著管運洪水的增加，兩者風險度的差距也越來越大?？梢?，基于Copula函數推求出的管運洪水偏于安全的，防洪不達標。

圖3 基于Copula函數的洪水頻率曲線與年標準洪水頻率曲線對比Fig.3 Comparison of flood frequency curve based on Copula function and annual standard flood frequency curve

表2 曲線S和M對應的管運洪水風險度Table 2 Risk degree of manage-flood corresponding to curves S and M

5 結 語

本文提出了洪水次風險和年風險理念，2種洪水風險理念有本質區別，現行設計洪水計算以第2類洪水風險(年風險)理念為基礎，基于Copula函數推求的分期管運洪水以第1類洪水風險(次風險)理念為基礎?；贑opula函數推求的管運洪水不符合現行設計洪水計算規范要求，防洪風險超標，風險結構和應用分析表明，基于Copula函數推求的管運洪水是不達標的?？蛇M一步研究次風險和年風險的合理轉換以推求出達標的管運洪水，或者在資料允許的條件下嘗試以分期內年最大值為依據，基于Copula函數推求分期管運洪水。