環的finitistic 內射維數

熊濤

(四川文理學院數學學院, 四川 達州 635000)

1 引言

本文恒設R是有單位元的交換環,n是非負整數. 對R- 模N, 分別用idRN,pdRN和fdRN表示模N的內射維數, 投射維數和平坦維數. 用E(N) 表示N的內射包. 用In(或Fn) 表示內射維數(或平坦維數) 不超過n的R- 模類,用gl.dim(R)(或w.gl.dim(R)) 表示R的整體維數(或弱整體維數). 對于未解釋的概念和符號, 可參考文獻[1-2].

自從巴斯在文獻[3] 中引入finitistic 內射維數

以來, 它就在環刻畫中發揮了重要作用, 因而也受到了廣泛關注. 例如文獻[3] 中的定理7.1 和推論7.14 證明了, 環R有FID(R)=0 當且僅當每個內射R- 模E都是某個投射模的子模M的內射包, 即E=E(M); 當且僅當每個內射R- 模E都同構于R的一些主理想Pi直和的內射包, 即E=E(⊕Pi); 當且僅當每個R- 模M≠0 都存在子模0≠N

在經典同調理論中, 環R的整體維數是所有模的投射維數(或者內射維數) 的上確界; 弱整體維數w.gl.dim(R) 是模的平坦維數的上確界. 在相對同調理論中, 環R的Gorenstein 整體維數也是所有模的Gorenstein 投射維數的上確界, 或者Gorenstein內射維數的上確界; Gorenstein 弱整體維數是所有模的Gorenstein 平坦維數的上確界.然而, 環的有窮內射維數FID(R) 不是像經典同調理論和相對同調理論那樣, 建立在整個R- 模范疇上, 而是建立在內射維數有限的子范疇上. 對任給一個模M, 在判定其內射維數是否有限時, 存在技術上的困難.

已知, 經典的同調維數, 比如整體維數, 弱整體維數, 均有換環定理, 也能利用環的元素,理想等來刻畫環的內部結構. 比如,環R滿足gl.dim(R)≤1(或w.gl.dim(R)≤1)當且僅當它的每個理想是投射(或平坦) 理想. 相對同調理論中的Gorenstein 整體維數和Gorenstein 弱整體維數, 也有對應的結論, 此處不再贅述.

因此, 迫切地希望作為一種同調維數的FID(R) 能像經典同調理論中的整體維數和弱整體維數那樣能夠利用環的元素, 理想等來刻畫環的內部結構, 能夠給出換環定理.這需要利用一種新的度量工具來精確計算FID(R), 并且要保證這種度量工具不能局限在內射維數有限的子范疇上. 換言之, 需要找到一種建立在整個R- 模范疇上的同調計算方法來計算FID(R).

文獻[3] 還引入了環R的finitistic 平坦維數

和finitistic 投射維數

要用同調的方法刻畫FFD(R) 和FPD(R), 同樣也遇到上述類似困難的困擾. 不過, 文獻[4] 借助文獻[5] 中提出的n- 無撓模的概念, 定義一種模的n- 無撓分解及相應的n- 無撓維數及環R的n- 無撓弱整體維數, 給出了FFD(R) 的同調刻畫; 文獻[6]借助模的n- 余撓分解及相應的n- 余撓維數, 以及環R的n- 余撓整體維數, 給出了FPD(R) 的同調刻畫. 本文延續上述思路, 借助文獻[4] 中的n- 投射模等概念,引入了環R的n- 投射整體維數n-gl.dim(R), 并證明了環R有FID(R) ≤n當且僅當(n+1)-gl.dim(R)≤n,通過該結果,將對FID(R)的計算轉換成對(n+1)-gl.dim(R)的計算.

2 n - 投射模與整體n - 投射維數

定義2.1[4](1)R- 模Q稱為n- 投射模, 是指對任何內射維數不超過n的模H,都有Ext1R(Q,H)=0;

(2) 設M是R- 模.M的n- 投射維數m≥0, 記為n-pdRM≤m, 是指存在這樣的最小整數m, 滿足序列

是正合列, 這里每個Qi是n- 投射模. 如果這樣的m不存在, 則記n-pdRM=∞.

自然地, 任何R- 模都是0 - 投射模. 對任何整數n≥1, 投射R- 模都是n- 投射模, 反之未必成立. 為了舉出反例, 回顧如下概念: 稱模M為n- 合沖模, 是指存在正合列

其中P0,P1,··· ,Pn-1是投射模, 換言之,M是某個模X的第n-1 次合沖.

命題2.1(1)n- 合沖模是n- 投射模. 從而對任何模M與任何非負整數n, 都有n-pdRM≤n.

(2) 若m≥n, 則m- 投射模一定是n- 投射模.

證明(1) 設M是n- 合沖模, 則有正合列(2) 式. 設H∈In, 則有

因此,M是n- 投射模.

(2) 由In?Im即得.

現在給出n- 投射模不是投射模的例子.

例2.1設Q 是有理數域,x,y是Q 上的未定元, 構造整環R= Q[x,y]. 取R的由正則序列a1,a2生成的理想J, 則pdRJ= 2. 由正合列0 →J→R→R/J→0知J是1 - 投射模. 顯然J不是投射模.

命題2.2對R- 模Q, 以下陳述等價:

(1)Q是n- 投射模;

(2) 對任何H∈In, 任何整數k≥1, 都有ExtkR(Q,H)=0;

(3) 任何正合列0 →A→B→Q→0, 其中A∈In, 是分裂的;

(4) 設0 →A→B→C→0 是正合列, 其中A∈In, 則序列是正合列.

證明(2)?(1)?(3)?(4) 是顯然的, 只證(1)?(2).

由定義2.1 可得Ext1R(Q,H) = 0. 現設k> 1. 設0 →H→E→C→0 是正合列, 這里E是內射模. 則ExtkR(Q,H)=(Q,C) 成立. 注意,C∈In, 故對k用歸納法, 可得ExtkR(Q,H)=0.

定理2.1設0 ≤m≤n. 則對R- 模M, 以下陳述等價:

(1)n-pdRM≤m;

(2) 對任何H∈In, 都有(M,H)=0;

(3) 對任何H∈In, 及i≥1, 都有(M,H)=0;

(4) 設0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是n- 投射模, 則Qm是n- 投射模.

(5) 設0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是投射模, 則Qm是n- 投射模.

證明(3)?(4)?(5)?(1) 是顯然的, 下證(1)?(2).

由于n-pdRM≤m, 故有正合列(1), 其中每個Qi是n- 投射模. 從而對每個H∈In,

(2)?(3). 對任何H∈In, 存在正合列0 →H→E→C→0, 其中E是內射模.顯然C∈In, 故有對i用歸納法即可得證.

現在給出環的n- 投射整體維數.

定義2.2對環R, 稱gl.dimn(R) = sup{n-pdRM|M是R- 模} 為環R的整體n- 投射維數.

由命題2.1, 以下命題是顯然的.

命題2.3對任何環R, 總有

(1) gl.dimn(R)≤n, 于是gl.dimn(R) 一定是有限非負整數;

(2) gl.dimn(R)≤gl.dim(R);

(3) 若n≤m, 則gl.dimn(R)≤gl.dimm(R).

定理2.2設0 ≤m≤n. 對環R, 以下陳述等價:

(1) gl.dimn(R)≤m;

(2) 對任何M∈In, 都有n-pdRM≤m;

(3)In=Im;

(4) 對R的任何理想I,n-pdRR/I≤m;

(5)In?Im.

證明(1)?(2). 顯然.

(2)?(4). 設I是R的理想. 由文獻[7] 可知, (⊥In,In) 是完備的余撓理論, 故存在正合列0 →R/I→E→C→0, 其中E∈In,C是n- 投射模. 由條件,n-pdRE≤m,故對任何H∈In, 由定理2.1 和命題2.2, 有正合列

(4)?(5). 設H∈In. 則由定理2.1 有(R/I,H) = 0. 故idRH≤m,即H∈Im. 故In?Im成立.

(5)?(3). 顯然有Im?In. 故(3) 成立.

(3)?(1). 設M是任何R- 模. 對任何H∈In, 由于In=Im, 故idRH≤m, 從而有ExtmR+1(M,H)=0. 仍由定理2.1,n-pdRM≤m. 故gl.dimn(R)≤m.

推論2.1gl.dimn(R)=sup{n-pdRR/I|I是R的理想}.

現在給出環R的FID(R) 和gl.dimn(R) 的關系.

定理2.3對環R, 以下陳述等價:

(1) FID(R)≤n;

(2) gl.dimn+1(R)≤n;

(3) FID(R)=gl.dimn(R);

(4) 對任何正整數m≥n, 都有gl.dimm(R)≤n;

(5) 對任何正整數m≥n, 都有gl.dimm(R)=FID(R).

證明記k=FID(R),s=gl.dimn(R). 則由命題2.3, 可得s≤n.

(1)?(3). 由條件,k≤n. 設H∈In, 自然有idRN<∞. 由條件,k=FID(R)≤n成立, 故idRN≤k, 從而有In?Ik. 由定理2.2,s=gl.dimn(R)≤k. 設N是R- 模,且idRN<∞. 則還由條件, FID(R)≤n成立,N∈In. 故由定理2.2, 有N∈In=Is.故k=FID(R)≤s. 因此得到FID(R)=gl.dimn(R).

(3)?(2). 設H∈In+1. 由假設, FID(R) = gl.dimn(R) ≤n, 從而有H∈In.故In+1=In. 由定理2.2 可得gl.dimn+1(R)≤n.

(2)?(1). 設N是R- 模, 且t:=idRN<∞. 若t>n, 為導出矛盾, 不失一般性,設t=n+1. 于是N∈In+1. 由于gl.dimn+1(R) ≤n, 引用定理2.2 有In+1=In, 從而有idRN≤n, 矛盾. 故t≤n, 從而有FID(R)≤n.

(1)?(4). 設N∈Im. 由假設, idRN≤n. 從而有In=Im. 由定理2.2, 可得gl.dimm(R)≤n.

(4)?(2). 顯然.

(3)?(5). 由條件, FID(R) ≤gl.dimm(R) ≤n. 由定理2.2,Im=In, 因此有gl.dimm(R)=gl.dimn(R)=FID(R).

(5)?(3). 取m=n即得.

注2.1在已知FID 有限的條件下來計算環的FID 時, 從原始定義需要考慮內射維數有限的子范疇. 在實際操作中, 判定模H是否滿足idRH<∞時有一定困難. 由定理2.3, 可以選擇充分大的正整數m, 通過計算gl.dimm(R) 來得到FID.

回顧模M稱為無撓模, 是指由ux= 0, 其中x∈M,u是R的非零因子, 能推出x= 0. 等價地, 對R的任何非零因子u, 有TorR1(M,R/uR) = 0. 再回顧文獻[5]中將M稱為n- 無撓模, 是指對任何N∈Fn, 都有TorR1(M,N) = 0. 顯然若n> 0,則n- 無撓模都是無撓模. 對給定的模N, 記其特征模Hom(N,Q/Z) 為N+.

命題2.4(1) 設n≥1,M是n- 投射模, 則M是n- 無撓模, 從而是無撓模;

(2) 設n-pdRA=m, 則存在n- 投射模M, 且M∈In, 使得ExtmR(A,M)≠0.

證明(1) 設N∈Fn, 則N+∈In. 由于M是n- 投射模, 故

于是有TorR1(M,N)=0, 故M是n- 無撓模.

(2) 由n-pdRA=m, 則存在H∈In, 使得ExtmR(A,H)≠ 0. 由于(⊥In,In)是完備的余撓理論, 故有正合列0 →B→M→H→0, 其中M是n- 投射模,B∈In. 于是還有M∈In. 由于ExtmR(A,H)≠ 0,(A,B) = 0, 以及正合列ExtmR(A,M)→ExtmR(A,H)→(A,B)=0, 故ExtmR(A,M)≠0.

命題2.5設0 →A→B→C→0 是正合列, 則有

(1)n-pdRC≤1+max{n-pdRA,n-pdRB};

(2) 設n>0. 若B是n- 投射模,C是(n-1) - 投射模, 則A是n- 投射模.

證明(1) 不妨假定上式右端是有限值. 設n-pdRA≤m,n-pdRB≤m. 對任何N∈In, 由定理2.1, 有正合列

(2) 設N∈In, 0 →N→E→L→0 是正合列, 其中E是內射模. 則L∈In-1.則有正合列0 = Ext1R(B,N) →Ext1R(A,N) →Ext2R(C,N) →Ext2R(B,N) = 0. 于是有Ext1R(A,N)=Ext2R(C,N)=Ext1R(C,L)=0. 故A是n- 投射模.

命題2.6設M是R- 模.

(1) 若n-pdRM≤m, 則對任何N∈Fn有(M,N)=0;

(2) 設R是凝聚環,M是有限表現模. 若對任何N∈Fn有(M,N) = 0,則n-pdRM≤m.

證明(1) 由N+∈In與自然同構即得.

(2) 設N∈In. 則有正合列0 →N→E0→···→En-1→En→0, 其中每個Ei是內射模. 從而0 →E+n→→··· →E+0→N+→0 也是正合列. 由于R是凝聚環, 由文獻[8], 每個E+i是平坦模. 從而N+∈Fn. 由假設, 有(M,N+)=0.再由文獻[8],從而由定理2.1 有n-pdRM≤m.

對n≥1, 現在看什么時候每個n- 投射R- 模是投射模.

定理2.4對環R, 則gl.dim(R)≤n當且僅當每個n- 投射R- 模是投射模.

證明設gl.dim(R) ≤n. 設M是n- 投射R- 模,H是任意R- 模. 由假設,idRH≤n, 故Ext1R(M,H) = 0, 即M是投射模. 反之, 對任何R- 模M, 考慮正合列0 →K→Pn-1→Pn-2→···→P0→M→0, 其中每個Pi是投射模. 由命題2.1(1),K是n- 投射模. 由假設,K是投射模, 故pdRM≤n. 從而有gl.dim(R)≤n.

3 finitistic 內射維數的換環定理

這一節, 先給出n- 投射維數的換環定理, 進而給出FID(R) 維數的換環定理.

定理3.1設?:R→T是環同態,m=fdRT<∞. 若M是(n+m) - 投射R-模,則是n- 投射T- 模.

證明設N是T- 模, 且idTN≤n. 由內射維數換環定理可知idRN≤n+m. 由假設, Ext1R(M,N)=0 成立. 設0 →N→E→C→0 是T- 模正合列, 其中E是內射T- 模. 則有如下兩行是正合列的交換圖

這里X是上核. 由相伴同構定理, 以及對所有T- 模Y, 都有HomT(T,Y)=Y.故左端兩個垂直箭頭是同構. 因此有θ是單同態. 由于Ext1R(M,N) = 0, 故有即是n- 投射T- 模.

推論3.1(1) 設M是n- 投射R- 模, 則M[x] 是n- 投射R[x] - 模;

(2) 設S是R的乘法封閉集,M是n- 投射R- 模, 則MS是n- 投射RS模;

(3) 設a是R中心的元素, 且既不是零因子也不是單位. 如果M是n- 投射R-模, 且u不是M的零因子, 則M/uM是(n-1) - 投射R/uR- 模.

證明在定理3.1 中分別令R=R[x],T=RS與T=R/uR即得.

引理3.1設?:R→T是環同態, 且T作為R- 模是n- 投射模.

(1) 設N∈In(R), 則idTHomR(T,N)≤n;

(2) 若L是n- 投射T- 模, 則L也是n- 投射R- 模.

證明(1) 設0 →N→E0→E1→···→En-1→En→0 是N的內射分解. 由于T是n- 投射R- 模, 故對任何i>0, 有ExtiR(T,N)=0, 因此

是正合列. 故idTHomR(T,N)≤n.

(2) 設N∈In(R). 設0 →N→E→C→0 是正合列, 其中E是內射R- 模. 由于T是n- 投射R- 模, 故

是正合列. 由(1) 有idTHomR(T,N)≤n. 由于L是n- 投射T- 模, 則有

考慮下面的兩行是正合列的交換圖:

由相伴同構定理, 左端兩個垂直箭頭是同構, 從而右端垂直箭頭是同構. 因此有Ext1R(L,N)=0, 故L作為R- 模是n- 投射模.

定理3.2設?:R→T是環同態,T作為R- 模是n- 投射模. 設L是任何T-模, 則n-pdRL≤n-pdTL成立.

證明記k=n-pdTL. 則有正合列0 →Fm→Fm-1→···→F1→F0→L→0,其中F0,F1,··· ,Fm-1,Fm是n- 投射T- 模. 由引理3.1(2) 知n-pdRL≤n-pdTL.

引理3.2設n>0,u∈R是非零因子非單位元素,=R/(u).

(1) 設P是u- 無撓模. 若P∈In(R), 則/uP≤n-1;

(2) 設Q是(n-1) - 投射- 模,≤n-1. 則存在n- 投射R- 模P,idRP≤n, 使得Q是P/uP的直和加項.

證明(1)對任何- 模A, 由Rees 定理, 有故/uP≤n-1.

(2) 由于(⊥In,In) 是完備的余撓理論, 故有正合列0 →B→P→Q→0, 其中P是n- 投射模,B∈In(R). 由內射維數的換環定理, idRQ≤+1 ≤n. 因此有idRP≤n. 由uQ=0 知uP?B. 則有正合列0 →uP/uB→B/uB→B/uP→0.由(1) 與命題2.4,uB≤n-1. 由于uP/uB=P/B=Q, 且≤n-1,故/uP≤n-1. 由于0 →B/uP→P/uP→Q→0 是正合列, 且Q是(n-1) -投射- 模, 故此正合列分裂, 從而Q是P/uP的直和加項.

推論3.2設u∈R是非零因子非單位元素,=R/(u). 設A是- 模,且m=<∞. 則idRA≥m.

證明由于A不是內射R- 模, 故m= 0,1 時已有idRA≥m. 設m> 1,0 →A→E→C→0 是正合列. 其中E是內射- 模. 于是=m-1. 由歸納假設, idRC≥m-1. 由文獻[9], idRE=1, idRA=idRC+1 ≥m.

定理3.3設n>0,u∈R既不是零因子也不是單位, 記=R/(u). 則有

(1) 設A是- 模, 則n-pdRA=(n-1)-+1;

(2) gl.dimn(R)≥gl.dimn-1()+1;

(3) FID(R)≥FID()+1.

證明(1) 記m=(n-1)-. 由命題2.4 中(2), 存在(n-1) - 投射R- 模Q,使得Q∈In-1(), 且(A,Q)≠0. 由引理3.2 中(2), 存在n- 投射R- 模P, 使得idRP≤n,且Q是P/uP的直和加項.由于由Rees定理,從而有k:=n-pdRA≥m+1.

若k>m+1, 即k-1 >m, 仍由命題2.4, 則存在n- 投射模F,F∈In(R), 使得ExtkR(A,F)≠ 0. 由引理3.2 中(1),再次引用Rees 定理, 得到(A,F/uF)≠0. 故m≥k-1, 矛盾. 因此有k=m+1.

(3) 不妨設m:= FID(R) < ∞. 先證明否則存在- 模An,使得由推論3.2, idRAn≥n, 從而有FID(R)=∞, 矛盾. 故可選取充分大的n, 使得n>m,k. 由定理2.3, gl.dimn(R)=FID(R)=m, gl.dimn-1()=k. 由(2)得到m≥k+1.

設x1,x2,··· ,xm是未定元. 眾所周知, 環的整體維數和弱整體維數都有所謂的合沖定理, 即有

在文獻[9] 的定理3.10.3 和文獻[4] 的命題3.5 中分別指出環的finitistic 投射維數FPD(R) 和finitistic 平坦維數FFD(R) 也有合沖定理. 下面來證明關于FID(R) 的合沖定理.

引理3.3設M是R- 模. 則有n-pdR[x]M[x]≤n-pdRM.

證明記m=n-pdRM, 則存在正合列

其中每個Pi是n- 投射R- 模. 由正合列

與推論3.1 可得n-pdR[x](M[x])≤m.

引理3.4設FID(R)<∞, 則FID(R[x])<∞.

證明記m=FID(R). 設N是R[x] - 模, idR[x]N<∞. 由文獻[9] 的習題3.14,每個內射R[x] - 模也是內射R- 模, 故idRN≤m. 首先設N是x- 可除模. 則由正合列0 →R[x]→R[x]→R→0 得到正合列

設0 →N→E0→E1→···→Em-1→Em→0 是N的R- 內射分解. 由于R[x] 是自由R- 模, 則正合列

是HomR(R[x],N) 的內射R[x] - 分解. 于是有idR[x]HomR(R[x],N) ≤m. 由正合列0 →N→HomR(R[x],N)→HomR(R[x],N)→0 得到idR[x]N≤m+1.

現在考慮一般情形. 設0 →N→E→N1→0 是正合列, 其中E是內射R[x] -模. 于是N1是x- 可除模, 且idR[x]N1≤m+1. 從而有idR[x]N≤m+2.

定理3.4設R是交換環,x1,··· ,xm是R上的未定元. 則

證明只須證明m= 1 時, 結論成立即可. 設s:= FID(R) < ∞. 由引理3.4,t:=FID(R[x])<∞. 取充分大的n>Max{s,t}. 則由定理2.3, 有

由定理3.3, gl.dimn+1(R[x])≥gl.dimn(R)+1. 從而t≥s+1. 現在設M是R[x] - 模,由文獻[2] 的引理9.29, 有R[x] - 模正合列0 →M[x]→M[x]-→M→0. 由引理3.3和命題2.5, (n+1)-pdR[x]M≤1+(n+1)-pdR[x]M[x] ≤1+(n+1)-pdRM≤1+s.故gl.dimn+1(R[x])≤1+s, 從而t≤s+1. 因此可得FID(R[x])=FID(R)+1.

若R是Noether 環, 則環R的整體維數有如下的局部化表現:

下面來證明, Noether 環的FID(R) 維數也有局部化表現.

引理3.5設R是凝聚環,M是有限表現R- 模. 則有

證明設n-pdRM=k, sup{n-pdRmMm| m 取遍R的全部極大理想} =s. 由命題2.6, 存在R- 模N, 滿足fdRN≤n, 且TorRk(M,N)≠0. 由于

定理3.5設R是Noether 環. 則有

證明由于R是Noether 環, 則有限生成模是有限表現模. 由引理3.5 與推論2.1即得.

4 finitistic 內射維數對環的刻畫

本節沿用經典同調代數中的分別稱滿足gl.dim(R) = 0 與gl.dim(R) ≤1 的環為半單環和遺傳環, 稱遺傳整環為Dedekind 整環的做法, 也分別稱滿足FID(R) = 0與FID(R) ≤1 的環為finitistic 半單環和finitistic 遺傳環, 稱finitistic 遺傳整環為finitistic Dedekind 整環. 先來刻畫finitistic 半單環.

定理4.1對環R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic 半單環;

(2) gl.dim1(R)=0, 即每個R- 模是1 - 投射模;

(3)I1=I0.

證明由定理2.3 可得.

半單環是finitistic 半單環. 反之未必成立. 下面將舉出反例. 回顧環R稱為QF 環是指每個投射R- 模是內射模.

命題4.1所有的QF 環是finitistic 半單環.

證明設R是QF 環, 且設M是R- 模滿足M∈I1, 則存在正合列是正合列, 這里E0,E1是內射模. 由文獻[10] 的定理5.3,E1是投射模. 則該正合列是分裂的. 從而M是內射模, 即M∈I0. 由定理4.1 和定理2.3,R是finitistic 半單環.

例4.1設R= Z4, 這里Z 是整數集合. 則R是QF 環. 由命題4.1, 故R是finitistic 半單環. 由于gl.dim(R)=∞, 故R不是半單環.

眾所周知, 整環R是半單環當且僅當它是域. 事實上, 也有

定理4.2整環R是finitistic 半單環當且僅當它是域.

證明充分性是顯然的. 現在設R是finitistic 半單整環. 則FFD(R) = 0. 由文獻[11] 的定理4.2 可得R是域.

現在來刻畫finitistic 遺傳環和finitistic Dedekind 整環. 運用定理2.3 得如下定理:

定理4.3對環R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic 遺傳環;

(2) gl.dim2(R)≤1, 即2 - 投射模的子模是2 - 投射模;

(3) 投射模的子模是2 - 投射模;

(4) 若N∈I2, 則有idRN≤1;

(5)R的每個理想I是2 - 投射模.

眾所周知, 經典同調理論中, 整環R是Dedekind 整環當且僅當對每個非單位0≠u∈R, 都有R/(u) 是半單環. 對于finitistic 內射維數, 也有如下定理.

定理4.4整環R是finitistic Dedekind 整環當且僅當對每個非單位0≠u∈R,都有R/(u) 是finitistic 半單環.

證明由定理3.3 可得必要性. 下證充分性. 設I≠0 是R的理想. 記M=R/I.取0≠u∈I, 記=R/uR. 則uM= 0, 且M是- 模. 由定理4.1, 1-= 0.由定理3.3 中(1) 證明過程可得2-pdRM≤1, 即I是2 - 投射模. 運用定理4.3 可得FID(R)≤1. 故R是finitistic Dedekind 整環.

已知, 遺傳環是凝聚環, 但凝聚環未必是遺傳環. 事實上, 凝聚環也未必是finitistic遺傳環.

例4.2構造環R=Z[x], 這里Z 是整數集,x是Z 上的未定元. 顯然,R是凝聚整環. 如果R是finitistic Dedekind 整環, 則由定理4.4 可得R/xR是finitistic 半單環. 而Z=R/xR. 故由定理4.2 可知Z 是域. 這顯然是個矛盾. 所以R不是finitistic Dedekind 整環.

事實上, finitistic 遺傳環也未必是凝聚環.

例4.3構造環R=Q+XR[[X]]. 則R是finitistic Dedekind 整環. 由于

故由文獻[12] 的定理4.11 可知R不是凝聚環.

凝聚的finitistic 遺傳環也未必是Noether 環.

例4.4設R滿足gl.dim(R) ≤2 的傘環,P是R的非有限生成的極大理想,取0≠a∈P. 則R/(a) 是滿足FID(R)≤1 的非Noether 的凝聚環.

現在來看Krull 維數和FID(R) 的關系.

定理4.5設R是Noether 環. 則FID(R) ≤dim(R). 故一維Noether 環都是finitistic 遺傳環.

證明設dim(R) =m≥0. 取n>m, 設N∈Fn. 由Jensen 引理[13],fdRN≤pdRN≤m. 于是對任何R- 模M,(M,N) = 0. 然后，由命題2.6,n-pdRM≤m. 于是有FID(R)=gl.dimn(R)≤m.

一般情況下, FID(R) 與FPD(R) 并無確定的大小關系. 但在Noether 環條件下,借助定理4.5, 可得如下推論:

推論4.1設R是Noether 環, 則FID(R)≤FPD(R).

環R是完全環是指每個R- 模都有投射蓋, 等價地, 每個平坦R- 模是投射模. 文獻[14] 證明了R是完全環當且僅當FPD(R) = 0, 滿足FPD(R) = 1 的凝聚整環R是Noether 環. 結合推論4.1, 有如下命題:

命題4.2R是滿足FPD(R) ≤1 的凝聚整環. 則R是Noether 的finitistic Dedekind 整環.

并非所有凝聚環都有FPD(R)≤1.

例4.5設X是Q 上的未定元. 構造環R=Z+XQ[X]. 則由文獻[12]的命題4.4和定理4.12 可知R是非Noether 的凝聚整環.故R不是APD 整環.從而FPD(R)≤1不成立.

滿足FPD(R)≤1 的環也未必是凝聚環.

例4.6設C 是復數域,X是C 上的未定元. 構造環R= Q+XC[X]. 由于C是Q 的擴域, 故R是APD 整環, 自然滿足FPD(R)≤1. 但由于[C:Q]=∞, 則由文獻[12] 的定理4.11 可得R不是凝聚環.

遺傳環是finitistic 遺傳環, 但finitistic 遺傳環未必是遺傳環.

例4.7構造Gorenstein Dedekind 整環R= Q[x,y]/(x2+2y2) 如文獻[15] 的例3.10, 這里Q 是有理數域,x,y是Q 上的未定元. 由于R是Gorenstein Dedekind整環, 自然有FID(R)≤1. 由于R不是整閉整環, 故gl.dim(R)=∞.

滿足gl.dim(R)=∞的finitistic 遺傳環R也未必是整環.

例4.8構造QF環R=Z4如例4.1. 顯然,R不是整環.

并非所有滿足gl.dim(R)=∞的環都是finitistic 遺傳環.

例4.9構造環如R=Z4[X,Y], 這里X,Y是環Z4的未定元. 則gl.dim(R)=∞.但是, FID(R)=2.

也并非所有滿足gl.dim(R)<∞的環都是finitistic 遺傳環.

例4.10設C 是復數域,X,Y是C 上的未定元, C(X,Y) 是多項式整環C[X,Y]的商域,Z是C(X,Y) 上的未定元. 則m=(Z) 是C(X,Y) 的極大理想. 構造環

則gl.dim(R1)=3. 從而FID(R1)=3.

現在來刻畫滿足FID(R) ≤1 的凝聚整環. 稱R- 模D為可除模, 如果對任何a∈R, 有Ext1R(R/aR,D) = 0; 稱R- 模M為h- 可除模, 如果存在正合列E→M→0, 這里E是內射模. 注意, 內射模和h- 可除模都是可除模. 稱R-模M是無撓模是指對x∈M及非零因子非單位a∈R, 能由ax= 0 推出x= 0. 注意, 平坦模是無撓模.

定理4.6對凝聚整環R, 以下陳述等價:

(1)R是finitistic Dedekind 整環;

(2) 如果A是可除R- 模滿足idRA<∞, 則A是內射模;

(3) 如果A是可除R- 模滿足idRA≤1, 則A是內射模.

證明(1)?(2). 設A是可除模滿足idRA< ∞. 對任意的0≠a∈R, 由文獻[2] 的定理9.5, TorR1(R/aR,A+)= Ext1R(R/aR,A)+= 0 成立, 故A+無撓模. 則存在正合列這里每個Ki=K. 則序列0 →C+→B+→A++→0 正合. 由假設,n= idRA< ∞, 故存在正合列0 →A→E0→··· →En-1→En→0, 這里每個Ei是內射R- 模.從而也是正合列, 且由文獻[8] 的定理2.2.13,每個E++i是內射模,即idRA++≤n. 注意,B+是內射模,故idRC+≤n+1.由假設, idRC+≤1. 故A++是內射模. 再由文獻[8] 的定理2.2.13,A+++是平坦模,則A+是平坦模. 仍由文獻[8] 的定理2.2.13,A是內射模.

(2)?(3). 顯然.

(3)?(1). 設N是R- 模滿足idRN≤2. 則存在正合列0 →N→E→C→0,這里E是內射模, 且idRC≤1. 注意,C是h- 可除模, 自然是可除模. 由條件,C是內射模, 即idRN≤1. 因此由定理4.3, FID(R)≤1 成立.

以如下反例結束本文. 已知, 對任何環R, 總有w.gl.dim(R) ≤gl.dim(R). 但一般情況下, 未必有w.gl.dim(R)=gl.dim(R). 文獻[3] 表明了對任何環R都有FFD(R)≤FID(R). 現在給出FFD(R)≠FID(R) 的環的例子.

例4.11構造環R1= C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m如例4.10. 則FFD(R1) = 2,FID(R1)=3.