相等代數上態的存在性

梁婕 , 朱勇, 辛小龍, 王軍濤

(1. 陜西鐵路工程職業技術學院, 陜西 渭南 714000;2. 西北大學數學學院, 陜西 西安 710127;3. 西安工程大學理學院, 陜西 西安 710048;4. 西安石油大學理學院, 陜西 西安 710065)

1 引言

相等代數是由Jenei S. 提出, 它為模糊類型理論提供了一個可能的代數語義.如Borzooei R. A. 等人[1]提出并且研究了相等代數的蘊涵濾子, 奇異濾子及其素濾子, 并且研究了它們之間的關系, 2019 年, 文獻[2] 研究了超相等代數的強超推理系統,在2021 年, Borzooei R. A. 等人[3]研究了超相等代數上的濾子理論, 態理論在研究模糊邏輯和它相關的代數結構中扮演了一個十分重要的角色. 特別是態的存在性理論是一個十分重要的課題, 引起了國內外學者的關注. 如MTL - 代數上的態的存在性[4], 剩余格上的Bosbach 態和Rie?an 態[5],R0- 代數上的態[6], 等等, 而相等代數是較它們而言更為一般的代數結構. 2018 年程曉云介紹了偽相等代數上的廣義態映射和態[7]. 基于此, 研究相等代數上態的存在性是有意義的. 本文討論了相等代數上態的存在性, 得到了以下結論: (1) 有界可交換的相等代數ε有Bosbach 態當且僅當ε有奇異濾子; (2)有界的相等代數?有Rie?an 態當且僅當?存在弱奇異濾子F.

2 預備知識

定義2.1[8]一個(2,2,0) 型的代數ε= (E,∧,,1) 被稱為相等代數. 若滿足下列條件: 對任意的x,y,z∈E,

(E1) (E,∧,1) 是一個有著最大元1 的交半格;

(E2)xy=yx;

(E3)xx=1;

(E4)x1=x;

(E5)x≤y≤z推出xz≤yz和xz≤xy;

(E6)xy≤(x∧z)(y∧z);

(E7)xy≤(xz)(yz).

?x→y=x(x∧y).

?x?y=(x→y)∧(y→x).

一個相等代數(E,∧,,1) 被稱為是有界的, 如果存在一個元素0 ∈E使得對任意的x∈E有0 ≤x. 在一個有界的相等代數E中, 對任意的x∈E, 運算“′” 通過x′=x→0 =x0 來定義. 如果對任意的x∈E, 有(x′)′=x, 則這個有界的相等代數E被稱為是對合的. 如果對任意的x,y∈E, 有(x→y) →y= (y→x) →x, 則相等代數E被稱為是可交換的.

為了方便, 記相等代數(E,∧,,1) 為ε, 有界相等代數(E,∧,,0,1) 為?.

命題2.1[8-9] 設?= (E,∧,,0,1) 是一個有界的相等代數. 則下面的性質成立:對任意的x,y,z∈E,

(R1) 1 →x=x,x→1=1;

(R2)x≤y當且僅當x→y=1;

(R3)x≤(x→y)→y;

(R4)x≤y推出y→z≤x→z,z→x≤z→y;

(R5) 0?=1, 1?=0,x≤x??,x???=x?;

(R6)x→y=((x→y)→y)→y;

(R7)x→y≤y?→x?;

(R8)x→(y→z)=y→(x→z).

定義2.2[10]設ε= (E,∧,,1) 是一個相等代數,F是E的一個非空子集. 若F滿足以下條件: 對任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x≤y, 推出y∈F;

(iii) 若x∈F且xy∈F, 推出y∈F. 則稱F是ε的一個濾子.

注2.1ε的一個濾子F如果滿足F≠E, 則F被稱為ε的真濾子.

定義2.3[10-11]設ε是一個相等代數,F(ε) 為ε的所有濾子的集合. 則F∈F(ε)當且僅當對任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x→y∈F推出y∈F.

定義2.4[1]設ε是一個相等代數, 則E的一個非空子集F被稱為是奇異濾子.如果F滿足以下條件: 對任意的x,y,z∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii)z→(y→x)∈F且z∈F推出((x→y)→y)→y∈F.

推論2.1[1]設ε是一個相等代數, 則F是E的一個奇異濾子當且僅當E/F是一個可交換的相等代數.

命題2.2[1]設ε是一個相等代數,F是E的一個奇異濾子當且僅當對任意的x,y∈E有y→x∈F, 推出((x→y)→y)→x∈F.

定義2.5[12]一個(2,1,0) 型代數(B,⊕,?,0) 被稱為是MV - 代數. 如果它滿足以下條件: 對任意的x,y∈B,

(MV1) (B,⊕,0) 是一個交換半群;

(MV2) 0?⊕x=0?;

(MV3) (x?)?=x;

(MV4) (x?⊕y)?⊕y=(y?⊕x)?⊕x.

定義2.6[13]一個(2,1,0) 型代數(W,→,?,0) 被稱為是Wajsberg - 代數. 如果它滿足以下條件: 對任意的x,y,z∈W,

(W1) 1 →x=x;

(W2) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(W3) (x→y)→y=(y→x)→x;

(W4) (x?→y?)→(y→x)=1.

引理2.1[13]Wajsberg - 代數和MV - 代數是等價的.

3 相等代數上Bosbach 態的存在性

本節主要研究有界相等代數上Bosbach 態的存在性, 并討論了Bosbach 態和奇異濾子之間的關系.

定理3.1[9](i) 設B = (B,⊕,?,0) 是一個MV - 代數, 則ψ(B) = (B,∧,?,0,1)是一個有界可交換的相等代數. 在這里, 對任意的x,y∈B, →和最大元1 按照如下方式定義:x→y=x?⊕y和1 = 0?. 而且, 等價運算?按照如下方式定義:x?y=(x→y)∧(y→x) 和x→y=x?(x∧y).

(ii) 設?= (E,∧,,1) 是一個有界可交換的相等代數, 則Φ(?) = (E,⊕,?,0) 是一個MV - 代數. 在這里, 對任意的x,y∈E,⊕和?按照如下方式定義:x⊕y=x′→y,x?=x′.

推論3.1設?是一個有界的相等代數,F是?的一個濾子. 則下面的表述是等價的:

(1)F是一個奇異濾子;

(2) 商等價代數E/F是一個有界可交換的相等代數;

(3) 商等價代數E/F是一個MV - 代數.

證明(1)?(2) 由推論2.1 可得.

(2)?(3) 因為有界可交換的相等代數是一個Wajsberg - 代數, 則由引理2.1 可知商等價代數E/F是一個MV - 代數.

定義3.1[7]設?是一個有界的相等代數, 則在?上的Bosbach 態是指存在一個函數s:E→[0,1] 滿足下面的幾個條件:

(BS1)s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x),?x,y∈E;

(BS2)s(0)=0 和s(1)=1.

命題3.1[7]設s:E→[0,1] 的函數滿足s(0)=0, 則下面的性質是等價的, 對任意的x,y∈E,

(1)s是ε上的Bosbach 態;

(2) 如果x≤y, 則s(y→x)=1-s(y)+s(x);

(3)s(y→x)=1-s(y)+s(x∧y).

命題3.2[7]設s是ε上的Bosbach 態,則下面的性質是成立的,對任意的x,y∈E,

(1)x≤y推出s(y→x)=1-s(y)+s(x)=s(xy);

(2)s(x?)=1-s(x);

(3)s(x??)=s(x).

引理3.1[7]設ε是一個相等代數,s是ε上的Bosbach 態, 可以得到是ε的一個濾子.

引理3.2[14]任意一個MV - 代數上都存在Bosbach 態.

定理3.2設?是一個有界可交換的相等代數, 則下面的條件是等價的:

(1)?有一個Bosbach 態;

(2)?有一個奇異濾子.

證明(1)?(2). 設?是一個相等代數, 并且s是?的Bosbach 態, 則由引理3.1知ker(s) 是一個濾子. 若x→y∈ker(s), 則s(x→y) = 1. 因為s是一個Bosbach態, 由定義3.1 有s(y)+s(y→x) =s(x)+s(x→y) =s(x)+1 , 又由命題2.1 (R1)和(R8) 有

即s(y)=s((y→x)→x). 又由

可以得到s(((y→x)→x)→y)=1, 也就是說, 由命題2.2, 有

(2)?(1). 設ε是一個奇異濾子, 由推論3.1 知商等價代數E/F是一個MV -代數. 由引理3.2, 可得E/F上存在一個Bosbach 態. 對任意的x∈E, 定義s(x)=s1(x/F), 則可知s是ε上的Bosbach 態.

定義3.2[7]設?是一個有界的相等代數, 則在?上的態射是指存在一個函數s:E→[0,1] 滿足下面兩個條件, 對任意的x,y∈E,

(1)s(0)=0;

(2)s(x→y)=s(x)→Ls(y).

定義3.3[1]設ε是一個相等代數, 則ε的真濾子F被稱為是素濾子如果滿足對任意的x,y∈E,x→y∈F或者y→x∈F.

命題3.3[7]設?=(E,∧,,0,1)是一個有界的相等代數,并且s是?上的Bosbach態, 則s是?上的態射當且僅當對任意的x,y∈E有s(x∧y)=min{s(x),s(y)}.

引理3.3有界相等代數上的每一個態射都是Bosbach 態.

證明設s是有界相等代數?的態射. 則對任意的x,y∈E, 有

又因為

由命題2.1 (R5) 知, 1 →0=0. 因此有s(1)=1. 即s是?的Bosbach 態.

定理3.3設?是一個有界的相等代數, 并且存在一個映射s:E→[0,1], 則下面的條件是等價的:

(1)s是?的態射;

(2) ker(s) 是?的素奇異濾子.

證明(1)?(2). 由定理3.2 和引理3.3 有ker(s) 是ε的奇異濾子. 設x,y∈E, 因為[0.1]是線性的, 有s(x)≤s(y) 或者s(y)≤s(x). 也就是說

或者s(y→x)=s(y)→s(x)=1, 因此有x→y∈ker(s) 或者y→x∈ker(s).

(2)?(1). 設ker(s) 是?的素奇異濾子. 由命題3.1 (3) 和命題3.3 可以得到

因此,s是?的態射.

4 相等代數上Rie?an 態的存在性

本節研究有界相等代數上Rie?an 態的存在性, 并討論Rie?an 態和Bosbach 態之間的關系.

定義4.1[7]設ε是一個相等代數, 如果對任意的x,y∈E滿足y??≤x?, 則稱x和y是正交的. 記為x⊥y. 對于任意兩個正交的元素x和y, 通過x+y=x?→y??來定義E上的二元運算“+”.

定義4.2[7]設ε是一個相等代數, 則在ε上的Rie?an 態是指存在一個函數s:E→[0,1] 滿足下面的幾個條件:

(1)s(1)=1;

(2) 如果x⊥y, 則s(x+y)=s(x)+s(y) 對任意的x,y∈E.

命題4.1[7]設s是ε上的Rie?an 態, 則下面的條件是成立的. 對任意的x,y∈E,

(1)s(x?)=1-s(x);

(2)s(x??)=s(x);

(3)s(0)=0;

(4)x≤y推出s(x)≤s(y).

定理4.1設?是一個有界的相等代數, 則?上的每一個Bosbach 態都是Rie?an態.

證明設s是?的Bosbach 態. 則有s(1)=1. 如果對任意的x,y∈E,x⊥y, 則有y??≤x?. 由命題3.1 (2) 和命題3.2 (2), 不難計算出

因此,s是?上的Rie?an 態.

定理4.2設?是一個有界的相等代數, 定義

則(MV(E),?,∧?,0,1) 是一個對合的相等代數, 其中對任意的x,y∈MV(E),

證明顯然0,1 ∈MV(E). 對任意的x?∈MV(E), 由命題2.1 (R6) 有x?=x???.而且, 對任意的x?,y?∈MV(E) 有x???∧y???=x?∧y?≤(x?∧y?)??≤x???∧y???.則有(x?∧y?)??=x???∧y???=x?∧y?, 也就是說,x?∧y?=x?∧?y?. 因此, MV(E)關于運算∧是封閉的.

其次, 對于任意的x,y∈MV(E), 可以得到

由于x→y??=(x→y??)??, 則對于任意的x,y∈MV(E),

因此, 有x?y=xy. 即MV(E) 關于運算是封閉的. 所以得到(MV(E),?,∧?,0,1) 是一個對合的相等代數.

推論4.1在MV(E) 中Rie?an 態和Bosbach 態是一致的.

證明設s是MV(E) 上的Rie?an 態, 則由命題4.1 可以得到s(0) = 0. 由于x∧y≤x, 則(x∧y)??≤x??, 也就是說,x?⊥x∧y. 因此有

由命題3.1 得,s是MV(E) 上的Bosbach 態.

設s是MV(E) 上的Bosbach 態, 則有s(1) = 1. 若存在x,y∈E使得x⊥y, 則有x??≤y?. 由命題3.2 有

因此s是MV(E) 上的Rie?an 態. 然后, 如果對任意x,y∈MV(E) 滿足y??→?x?=1,則稱x和y是正交的. 記為x⊥?y. 對于任意兩個正交的元素x和y, 通過x+?y=x?→?y??來定義MV(E) 上的二元運算“+?”.

定理4.3設?是一個有界的相等代數. 如果s是ε上的Rie?an 態, 則s|MV(E)是(MV(E),?,∧?,0,1) 上的Rie?an 態. 反過來, 如果s是MV(E) 上的Rie?an 態,s上的擴充:E→[0,1] 通過ˉ=s(x??) 定義, 則ˉs是ε上的Rie?an 態. 而且, 這個擴充是唯一的.

證明設s是ε上的Rie?an 態. 對任意的x,y∈MV(E), 如果x⊥?y, 則有

也就是說(y??→x?)??=1. 下面將證明(y??→x?)??=y??→x?.

首先, 由命題2.1 (R5) 有,y??→x?≤(y??→x?)??.

其次, 要證明(y??→x?)??≤y??→x?. 由命題2.1 (R5) 和(R8), 可以推導出

所以(y??→x?)??=y??→x?. 即y??→x?= 1, 也就是說x⊥y, 所以由Rie?an 態的定義有,s(x+y)=s(x)+s(y). 又由

可以得

而且,s(1)=1. 因此,s|MV(E)是(MV(E),?, ∧?,0,1) 上的Rie?an 態. 反過來, 如果s是MV(E) 上的Rie?an 態, 則有

又因為x??,y??∈MV(E), 有

另一方面, 由

由定理4.3 將得到下面的推論.

推論4.2設?是一個有界的相等代數, 則在?上的Rie?an 態和MV(E) 上的Rie?an 態是一一對應的.

命題4.2設?是一個有界的相等代數,F是?的濾子, 則F|MV(E)是MV(E) 的濾子, 其中F|MV(E)=F∩MV(E).

證明因為F是?的濾子, 所以有1 ∈F. 又因為E是有界的, 故0 ∈E, 也就是說1 ∈MV(E). 即1 ∈F|MV(E). 設對任意的x,y∈MV(E), 若x≤y且x∈F|MV(E),則x∈F, 由F是濾子得y∈F. 因此y∈F|MV(E). 設x,y∈F|MV(E), 所以x,y∈F,xy∈F, 又因為x?y= (xy)??, 所以x?y∈F, 因此x?y∈F|MV(E). 綜上F|MV(E)是MV(E) 的濾子.

定義4.3設ε是一個相等代數,ε的一個濾子F被稱為是弱奇異濾子. 如果F滿足下面的條件:

(WQY) 如果對任意的x,y∈E,x→y∈F, 則((y??→x??)→x??)→y??∈F.

命題4.3相等代數ε上的奇異濾子都是ε的弱奇異濾子.

證明設F是ε上的奇異濾子, 并且x→y∈F. 由命題2.1 (R4) 有

所以x??→y??∈F. 又因為F是ε上的奇異濾子, 有

即F是ε的弱奇異濾子.

例4.1設E={0,a,b,c,1}, 其中0

則(E,∧,,1) 是一個相等代數[1], 并且{1,a,b,c} 是E的奇異濾子, 由計算可得{1,a,b,c} 也是E的弱奇異濾子.

下面將給出相等代數中一個是弱奇異濾子而不是奇異濾子的例子.

例4.2設(E={0,a,b,c,1},≤) 是一個鏈. 則在E上按如下方式定義和→:

則(E,∧,,1) 是一個相等代數[1], 并且{1,a} 是E的弱奇異濾子, 但不是奇異濾子.因為

定理4.4設?是一個有界的相等代數, 則以下結論是等價的:

(1)?有Rie?an 態;

(2)?存在真的弱奇異濾子.

證明(1)?(2). 設s是?上的Rie?an 態, 由引理3.1 得ker(s) 是E的真濾子. 由定理4.2 和推論4.1 知,s的限制s|MV(E)是MV(E) 上的Bosbach 態. 如果x→y∈ker(s), 由于

因此

又因為

故

由引理3.1 和定理3.2 有ker(s|MV(E)) 是一個奇異濾子, 即

因而有

所以F=ker(s) 滿足條件(WQY).

(2)?(1). 設F是E的濾子. 如果F滿足(WQY) 條件, 則F|MV(E) 也滿足(WQY) 條件. 所以F|MV(E) 是MV(E) 的奇異濾子. 則由推論3.1 和定理4.2 可知, MV(E) 有Rie?an 態. 由推論4.1 知,E有Rie?an 態.

5 結論

態在研究模糊邏輯和它相關的代數結構中扮演了一個十分重要的角色. 從邏輯的觀點來看, 態的語義是為了解釋模糊事件的可能性. 態已經引起了廣大學者的關注,如MV - 代數上的態, MTL - 代數上的態, EQ - 代數上的態, 等等. 本文一方面證明了有界可交換的相等代數?有Bosbach 態當且僅當?有奇異濾子; 另一方面給出了有界的相等代數?有Rie?an 態當且僅當?存在一個真濾子F滿足(WQY) 條件. 本文豐富了邏輯代數上態理論的研究, 探討了邏輯代數上態的共性, 更好地認識與刻畫了相等代數上的代數結構. 用態的思想研究相等代數上的性質, 刻畫其結構是更加有意義的嘗試.