新型油水相滲數學模型的建立及應用

李婧，范暉，劉春茹，楊芳

(中國石油 吐哈油田分公司a.勘探開發研究院；b.三塘湖采油管理區；c.鄯善采油管理區，新疆 哈密 839009)

油水兩相相對滲透率是研究油水兩相滲流的基礎參數，也是進行油田開發設計、動態分析以及數值模擬的重要參數[1-3]。研究油水相滲曲線應用較多的是Willhite 數學模型[4-7]，但利用該數學模型擬合實驗數據時，含水飽和度越低，油相相對滲透率擬合誤差越大；水相整體誤差相對較小，但隨含水飽和度增大，也出現水相相對滲透率擬合誤差也增大的現象[8]。針對此現象，文獻［8］提出油相和水相指數并非常數，并對Willhite 數學模型進行了改進，使得相對滲透率擬合精度得到很大的提高，但改進后的水相相滲關系式在擬合滲透率差異較大的多產層油井相滲曲線時，不同層水相相滲曲線的待定參數差異較大，利用算術平均法確定的油藏標準水相相滲曲線偏離層數較少的高滲主力產層，而偏向層數較多的低滲透非主力產層。為此，本文提出了一種新型Willhite數學模型。

1 新模型的建立

文獻［8］中提出了一種改進Willhite數學模型：

選取紅臺油田紅臺2301 井巖樣17、巖樣18 和巖樣43，其空氣滲透率分別為0.497 mD、0.306 mD 和1.730 mD，有效滲透率分別為0.256 mD、0.146 mD 和0.412 mD。在應用上述改進Willhite 數學模型時，發現水相相滲曲線呈現弓背式形態時(圖1)，擬合待定參數與凹型形態的參數差異較大[9]。如巖樣43 的擬合參數m是其他巖樣的4 倍多，c的絕對值變大，數值變小，d遠小于其他巖樣，這對利用巖樣擬合參數平均值來確定油藏標準油水相滲曲線將產生很大的影響(表1)。因此，需要對(2)式進行改進。

圖1 紅臺2301井油水相滲曲線Fig.1.Relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

表1 紅臺2301井按文獻［8］中改進水相相滲曲線擬合結果Table 1.Fitting results of the improved relative permeability curves of water phase in Well HT2301 according to Ref.[8]

由于Willhite 提出的冪函數模型在水相指數m為常數時，隨歸一化含水飽和度的增大單調遞增，而(2)式只對比較敏感的冪指數進行了改變，未對冪函數底數結構進行改變，在擬合弓背式水相相滲曲線時，容易出現待定參數m和c過大、d過小的現象。若對Willhite 提出的水相相滲關系式的冪指數和底數同時進行結構改進，即確保歸一化含水飽和度為0 時，水相相對滲透率為0，歸一化含水飽和度為1時，水相相對滲透率為殘余油飽和度下的水相相對滲透率的條件成立，固定(2)式冪指數中歸一化含水飽和度的指數為1，d前移到底數的變量中，得到如下數學模型：

從擬合相關系數來看，(4)式比(2)式的擬合效果要好，3 個巖樣的擬合相關系數均大于0.986 6。從紅臺2301 井不同巖樣擬合參數來看，(4)式的m、c和d變化區間比(2)式小，相對較集中(表2)。

表2 紅臺2301井新型油水相滲曲線擬合結果Table 2.Fitting results of the new relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

2 新模型的求解

由于束縛水飽和度下的油相相對滲透率一般為1，令y0=lnKro/ln(1 -Swd)，x0=，a0=n，a1=b，則(1)式轉化為

對于(4)式，令y1=lnKrwi，x1=ln[1 -(1 -Swd)d]，x2=Swdln[1 -(1 -Swd)d]，a2=lnKwor，a3=m，a4=c，則(4)式轉化為

利用(5)式和(6)式，對紅臺2301井3塊巖樣相對滲透率和歸一化含水飽和度進行擬合，再計算擬合參數的算術平均值，得到n為3.912 2，b為-1.924 9，k為5.170 1，m為1.362 1，c為0.941 1，d為1.295 7，這些參數值作為紅臺2301井油水相滲曲線的特征值[10]；其次，利用空氣滲透率加權平均確定出3塊巖樣的束縛水飽和度為0.420 9，殘余油飽和度為0.223 5；最后，將擬合參數的算術平均值、束縛水飽和度和殘余油飽和度代入(1)式和(4)式，得到紅臺2301井標準油水相滲曲線(圖2)。

圖2 紅臺2301井標準油水相滲曲線Fig.2.Standard relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

同理，利用(1)式和(2)式，也可得到紅臺2301 井的標準油水相滲曲線。很明顯，本文改進模型確定的標準油水相滲曲線與巖樣43 的油水相滲曲線相似，而根據文獻［8］改進模型確定的標準油水相滲曲線在中—高含水期與巖樣17和巖樣18的油水相滲曲線相似，在高含水期與巖樣43 的油水相滲曲線相似。這對于多層生產的紅臺2301 井而言，物性好的巖樣43代表主力油層，物性較差的巖樣17 和巖樣18 代表非主力油層，因此，按照試井解釋[11]，油井的油水兩相滲流特征應與主力油層的油水兩相滲流特征相近，即利用(1)式和(4)式確定的標準油水相滲曲線，更能反映紅臺2301井的油水兩相滲流特征。

在很多低滲油田中，水相相滲曲線為凹型(含直線型)和凸型(弓背式)[3]。儲集層物性越差，伊蒙混層和高嶺石含量越高，水敏或速敏越強，水相相滲曲線越容易呈凸型。如紅臺2301 井巖樣43，空氣滲透率為1.730 mD，有效滲透率為0.412 mD，孔隙度為8.9%，儲集層黏土礦物中伊蒙混層含量為24.8%，高嶺石含量為35.2%，測試得到的水相相滲曲線呈弓背式；其他2 塊巖樣物性差，儲集層黏土礦物中伊蒙混層和高嶺石含量較低，水相相滲曲線呈現凹型。因此，如果采用(2)式取3 塊巖樣擬合參數的算術平均值來求取標準油水相滲曲線，容易因低滲巖樣占比較大，造成水相相滲曲線偏向凹型。采用(4)式得到的水相指數差異較小，求取的標準油水相滲曲線基本位于3 塊巖樣油水相滲曲線的中部。

3 新模型的應用

鑒于對Willhite 數學模型作了改進，為便于水驅油規律的研究和礦場應用，按照水驅油解析法[12]，以本文新型油水相滲數學模型為基礎，繪制各種經典開發曲線，得出參數關系式。

由(1)式和(4)式，得到無因次采油指數和無因次采液指數[13]：

由分流量方程[14]，可得：

利用(7)式—(9)式，可得到紅臺2301 井無因次采油指數和無因次采液指數曲線(圖3)，其變化特征符合中黏度油藏的水驅特征[12]。

圖3 紅臺2301井無因次采油指數和無因次采液指數曲線Fig.3.Curves of dimensionless oil productivity index and dimensionless fluid productivity index for Well HT2301

令a5=μwKowi/(μoKwor)，將(1)式和(4)式代入(9)式，得分流量解析式：

對(10)式求導，得含水率導數[15]：

當出口端含水飽和度等于水驅前緣含水飽和度時，油井含水率等于水驅前緣含水率，代入(11)式，可得：

由Buckley-Leverett 的線性驅替理論可知，水驅前緣含水飽和度和水驅前緣后平均含水飽和度分別滿足以下方程[16]：

將(12)式代入(15)式，則：

求解(17)式，得到水驅前緣含水飽和度和水驅前緣含水率分別為0.549 0 和0.690 2，再通過(16)式得到水驅前緣后平均含水飽和度為0.606 4(圖4)。

圖4 紅臺2301井分流量曲線Fig.4.Curves of distributed flow in Well HT2301

由Welge方程可知[16]，油井見水后，油層平均含水飽和度：

若油層間物性和開采無差異，那么，油井含水率等于出口端含水率，將(11)式代入(18)式，得：

不同含水階段驅油效率：

將利用(5)式和(6)式確定的參數值、束縛水飽和度和殘余油飽和度代入(20)式，歸一化含水飽和度取值范圍為0.050～1.000，步長為0.025，可得到一組驅油效率與含水率的變化曲線。由于分流量導數曲線是一個具有極值的雙值函數(圖5a)，只有計算得到的驅油效率與含水率呈遞增關系時才具有實際意義。因此，選用分流量導數曲線右半部分驅油效率和含水率，作為水驅波及體積系數為1 時的采出程度和含水率，再利用廣義含水變化規律[17]：

擬合得到水驅波及體積系數為1 時含水變化規律曲線(圖5b)。選取紅臺2301 井水驅波及體積系數為0.56，得到標定的水驅含水變化規律[18]：

圖5 紅臺2301井含水變化規律曲線Fig.5.Variations of water cut in Well HT2301

4 結論

(1)新的水相相滲數學模型在擬合不同巖樣水相相滲數據時，待定參數估值變化區間小，確定的標準水相相滲曲線受單個巖樣擬合參數的影響較小。

(2)部分巖樣為弓背式水相相滲曲線時，建議采用本文給出的(4)式進行擬合。

(3)新型油水相滲數學模型減少了復雜的數學推導過程，為礦場應用和水驅規律研究提供了方便快捷的方法。

符號注釋

a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6、b、b1、c、d、k、m、m1、n、n1、x0、x1、x2、y0、y1——待定參數；

Ed——驅油效率；

ER——采出程度；

ER1——水驅波及體積系數為1時的采出程度；

fw——含水率；

fwe——出口端含水率；

fwf——水驅前緣含水率；

G——出口端含水飽和度函數；

Gf——水驅前緣含水飽和度函數；

JLd——無因次采液指數；

Jod——無因次采油指數；

Kowi——束縛水飽和度下的油相相對滲透率；

Kro——油相相對滲透率；

Krw——水相相對滲透率；

Krwi——本文新模型求取的水相相對滲透率；

Kwor——殘余油飽和度下的水相相對滲透率；

Sor——殘余油飽和度；

Swd——歸一化含水飽和度；

Swe——出口端含水飽和度；

Swf——水驅前緣含水飽和度；

Swfd——歸一化水驅前緣含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

μo——原油黏度，mPa·s；

μr——地下油水黏度比；

μw——地層水黏度，mPa·s。