large Fock空間上Toeplitz算子的Fredholm性質

劉桂軍，夏錦

（廣州大學數學與信息科學學院，廣州 510006）

引言

設? 是復數集，對于固定的正整數n，?n是一個n維復空間。給定z∈?n以及r＞0，B(z,r) 表示以點z為圓心、r為半徑的開球：

B(z,r)={w∈?n:|w-z| ＜r}。

設Δ 是拉普拉斯算子，dv是?n上的Lebesgue 體積測度，?:?n→?是一個具有連續的2階偏導數的多重次調和函數。如果?還滿足下面的條件：

1）存在一個常數c＞0 使得對于?n中所有的點z都有

2）Δ?滿足反向H?lder不等式，即存在一個常數0 ＜C＜∞使得

3）H?的本征值是可比的，即存在一個常數δ0＞0使得

即Fp(?)是由Lp(?)中解析函數全體所構成的空間。易知，當0 ＜p＜1時，Fp(?)是完備度量空間；當1 ≤p＜∞時，Fp(?)是Banach空間。

large Fock 空間Fp(?)與權函數W所屬的權函數類關系密切。權函數W首次由Dall'Ara[1]引入并且給出了Bergman核K?(z,w)的點估計。最近，這類空間引起許多學者關注。比如，Lv[2]研究了large Fock 空間的Bergman 投影P在Fp(?)(0 ＜p＜∞)上的有界性。Arroussi等[3]給出了large Fock 空間的Bergman核K?(z,w)的Fp(?)范數估計，并刻畫了加權復合算子的有界性、緊性和Schatten 類。2021年，劉柚岐[4]研究了large Fock 空間Fp(?)的對偶空間，并給出了弱局部算子的緊性的等價條件。這類權函數類W包含了許多函數，當?(z)=α|z|2/2,α＞0時，就是經典Fock空間，簡記，參閱文獻[5]。

根據文獻[2]，由P的定義，當1 ≤p＜∞時，P是從Lp(?)到Fp(?)的有界算子，特別地，當0 ＜p＜1時，有P(f)=f。給定一個在?n上的可測函數f，并且屬于一類符號函數，定義在Fp(?)上的Toeplitz 算子Tf和Hankel 算子Hf，分別為：Tf(g)=P(fg)，Hf(g)=fg-P(fg)。其中，積分P(fg)是有意義的。

在1987 年，Berger等[6]基于C*代數的技巧和Hilbert空間的方法以及Calkin代數中像的商代數的同構表示，研究了Toeplitz 算子在F2的Fredholm 性質，結果表明Toeplitz算子是Fredholm的當且僅當對于f∈L∞?VMO，存在R,ε＞0使得 |z| ＞R時，有f(z) ＞ε。在2019年，Fulsche等[7]引入極限算子研究了Banach 空間相同的性質。在2020 年，Al-Qabani等[8]研究了標準權Fock 空間的Fredholm 性質和譜理論。最近，Hu等[9]利用一些輔助算子把Fredholm 性質推廣到了雙倍測度的Fock 空間。本文將利用文獻[9-10]的方法，把Fredholm 理論推廣到large Fock空間。

為了方便，用A?B表示存在與變量無關的常數C使得A≤CB，而A?B表示A?B與B?A同時成立。

1 準備工作

本節首先給出一些基礎的定義與結果，方便在接下來的章節中使用。對于z∈?n，定義一個半徑函數：

從文獻[3]，可以得到以下性質。

引理1假設?∈W，則有

1）對于z∈?n，ρ(z)是有界的；

2）函數ρ滿足Lipschitz條件；

3）對于r∈(0,1)和w∈B(z,rρ(z))，滿足：

4）存在a,b＞0使得 |z| ＞1時，|z|-a≤ρ(z) ≤ |z|b。

給定r＞0和z∈?n，記Br(z)=B(z,rρ(z))。通過式（1）的估計，使得對r∈(0,1)和w∈Br(z)有ρ(z) ?ρ(w)。同時，存在m1、m2，對于w∈Br(z)有

任取z,w∈?n，由度量ρ-2dz?所誘導的距離定義為

其中下確界取遍所有的連接點z和w的逐段C1曲線γ:[0,1]→?n。由文獻[3]可 知，Bergman 核函數Kz(w)得到如下結論：

1）存在ε＞0，使得對于所有z,w∈?n，有

2）對于0 ＜p＜∞和z∈?n，使得

3）存在α∈(0,1)，使得對任意z∈?n和w∈Bα(z)，總有

通過上面核函數的估計，可以證明一些有用的引理，為接下來的分析提供幫助。首先，定義一個d-度量球，記

引理2設p,ε＞0和k,l∈?，則存在一些常數C，使得對所有的z∈?n滿足

證明對所有a,b＞0，當x→∞時(x+1)ae-bx→0。因此，存在一個常數C使得≤C?，F在，通過文獻[11]中引理2.2.1，可以推出

接下來證明式（6）。對于d(z,w) ＞R,當R充分大，通過文獻[2]中引理1，可以得到一個包含關系：(z)。利用式（1）和文獻[4]中引理2.1.2可得

其中，當R→∞，C(R) →0。因此式（6）成立。

通過Bergman核Kz(w)的點估計，可以得到如下推論。

推論1設p＞0和l∈?,則存在一些常數C使得對所有的z∈?n滿足

接下來介紹若干函數空間。設r＞0，f是?n上的連續函數。如果

2 有界性和緊致性

本小節將研究Toeplitz 算子Tf和Hankel 算子Hf的一些有界性和緊致性，其中f是有界的消失平均震蕩函數。這些結果將為本文定理4的證明提供很大的幫助。

對于l∈?，在核(d(z,w)+1)l|K(·,·)| 上定義一個輔助算子Gl為：

由文獻[4]中引理2.1.5可得接下來的引理。

引理3設0 ＜p＜∞，對于任何r＞0，z∈?n和f∈H(?n)，則存在一個常數C使得

引理4當1 ≤p＜∞時，Gl在Lp(?)是有界的；當0 ＜p＜1時，Gl從Fp(?)到Lp(?)是有界的。

證明當p=1時，設f是Lebesgue可測函數，由推論1和Fubini’s定理可得

同理，當p=∞時，

通過插值定理可得，對于1 ≤p＜∞，Gl在Lp(?)是有界的。

通過推論1和Fubini’s定理可得

近年來，Hankel算子在研究Toeplitz算子和譜理論中扮演著重要的角色，比如，用緊的Hankel 算子去證明Toeplitz 算子的Fredholm 性質。下面介紹一些輔助的結果。

引理5設0 ＜p＜∞，如果f∈L∞(?n)且有緊支集，則Hankel 算子Hf是從Fp(?)到Lp(?) 的緊算子。

然后通過文獻[12]中引理2.6得到如下估計：

這一刻的折騰耗盡了二丫的氣力，她靠在床頭，一個勁兒地喘粗氣。稍微平靜了一點兒，二丫望著對面的山墻說：“細嬸兒，我好像看見狼剩兒哥了……”

對于 |w| ＜R,當R充分大時，有 |w| +ρ(w) ≤2R。由文獻[4]中引理2.1.6得：

因此，根據推論1進一步得到：

下面將證明帶著BOr(VOr)符號的Hankel 算子的有界性（緊致性）。當1 ≤p＜∞時，由文獻[11]中引理3.1.1 和推論5.1.2 可以立即得證。因此，只用證明0 ＜p＜1的情況。

定理1設0 ＜p＜∞且0 ＜r＜α，則以下情況成立：

1）如果f∈BOr，則Hf:Fp(?) →Lp(?)的有界算子且

2）如果f∈VOr，則Hf:Fp(?) →Lp(?)的緊算子。

證明對于f∈BOr，由文獻[11]中引理2.1.4得：

然后，通過引理4 可得，對于0 ＜p＜∞，Hf是從Fp(?)到Lp(?)的有界算子且

現在假設f∈VOr，當d(w,0) ≥R0時，ωr(f)(w) ＜ε。對于d(w,0) ＞R0，存在一個點ξ(w)使得d(ξ,0)=R0，且d(w,0)=d(w,ξ)+d(ξ,0)。因此，|f(w) -f(0) |≤(d(ξ,0)+1) +ε(d(w,ξ)+1)。

存在R＞R0，使得當d(w,0) ＞R時，

現在，定義一個新函數hR：當d(z,0) ＜R時，hR(z)=1；當R≤d(z,0) ≤2R時，hR(z)=2 -d(z,0)/R；當d(z,0) ＞2R時，hR(z)=0。令fR=fhR，顯然，當d(z,0) ＜R-1 時，ωr(f-fR)(z)=0 且當d(z,0) ＞2R+1 時，ωr(f-fR)(z)=ωr(f)(z) ＜ε。對于w∈Bρ(z,1)且R-1 ≤d(z,0) ≤2R+1,可得：

由式（9）的范數估計可得：

由于HfR是緊算子且所有從Fp(?)到Lp(?)的有界線性算子族在算子范數下是閉的，因此Hf是緊的。

引理6令f∈VOr且0 ＜r＜α，則

證明通過文獻[9]中引理4.4 的方法，可以得證。

定義一個與Bergman投影P有關算子P+為：

稱P+為絕對的Bergman投影。P+的有界性可以從引理4中Gl的有界性直接得到。

推論2當1 ≤p＜∞時，P+在Lp(?)上是有界的；當0 ＜p＜1時，P+從Fp(?)到Lp(?)是有界的。

證明通過文獻[9]中引理4.5 的方法，可以得證。

證明通過文獻[9]中引理4.6 的方法，可以得證。

定理2 設0 ＜p＜∞，0 ＜r＜α且f∈VOr，則

根據控制收斂定理可知：

2）對于f∈VOr?BOr，由式（10）和推論1得

則通過Fubini’s定理得

3 Fredholm 性質

這一小節開始證明本文的主要內容。設T是拓撲向量空間X上的線性映射，如果滿足dimkerT＜∞和dimkerX/T(X) ＜∞，則稱T是Fredholm算子[13]。

當X是Banach 空間時，T是Fredholm 算子的充分必要條件是存在有界算子A、B和緊算子K1、K2，使得AT=I+K1和TB=I+K2。如果X不是一個Banach 空間，則T算子的Fredholm 性質不成立?，F在，需要引進一些擬Banach 空間的Fredholm 性質。如果‖ ·‖ 滿足除三角不等式外范數的所有性質且存在常數C使得

則稱X在‖ ·‖ 下是一個擬Banach 空間[14]。顯然，所有的large Fock空間Fp(?)都是擬Banach空間。

根據文獻[15]，定義擬Banach空間的理論。

定義1如果對于所有的非零向量x∈X且存在一個連續的線性泛函x*使得x*(x)=1，則稱擬Banach空間X是dual rich。

顯然，所有的Banach 空間都是dual rich。對于large Fock 空間較小的指標0 ＜p＜1，由文獻[4]中定理2.2.3 可以得到Fp(?)的對偶空間。因此，得到如下引理。

引理9如果0 ＜p＜1，則large Fock空間Fp(?)是一個dual rich擬Banach空間。

在研究0 ＜p＜1 的large Fock空間Fp(?) 的Fredholm性質時，需要如下定理。

定理3一個有界線性算子在一個dual rich 擬Banach空間X上是Fredholm 的當且僅當存在X上的一個有界線性算子S使得ST-I和TS-I在X上是緊算子。

證明參閱文獻[14]的3.5.1節。

定理4設f∈，0 ＜p＜∞和0 ＜r＜α，則Toeplitz 算子Tf在Fp(?)上是Fredholm 算子的充分必要條件是

因此，僅需證明式（16）。

設f∈VOr和Tf在Fp(?)上是Fredholm 算子，則Tf在Fp(?)上是有界的。首先，證明0 ＜p＜1 的情況。由式（4）和文獻[4]中命題2.3.1得

由Bergman核的估計得到如下變換

則通過式（15）和文獻[4]中定理2.2.3，可得

推論3設f∈，0 ＜p＜∞和0 ＜r＜α，如果定理4成立，則

且本質譜σess(Tf)是連通的。

4 結束語

本文利用Toeplitz 算子和Hankel 算子在large Fock 空間Fp(?)上的有界性和緊性以及Fp(?)對偶理論，研究了Toeplitz 算子Tf在Fp(?)(0 ＜p＜∞)上具有Fredholm 性質的充要條件是f的Berezin 變換在整個n維復空間上有界且在無窮邊界上遠離原點,其中f是一個有界的消失平均震蕩函數。