基于隔振墊超彈性本構模型的橡膠浮置板軌道動力仿真

王啟好，蔡小培，常文浩，侯博文，王 濤，張朝明

（北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044）

城市軌道交通易引起沿線環境振動等問題［1］，線路建設前應進行動力學仿真預測，必要時需采取軌道減振措施。橡膠浮置板軌道廣泛運用于我國城市軌道交通中，尤其在人口密集區地下線大量鋪設。橡膠浮置板軌道中的橡膠隔振墊是一種高分子非線性材料，其力學行為準確表達與否將直接影響軌道動力學計算結果，線彈性本構無法準確模擬隔振墊的非線性力學行為，動力作用下材料非線性特征會進一步放大，進而影響橡膠浮置板軌道的減振效果預測。因此，有必要研究超彈性本構模型在橡膠浮置板軌道動力仿真預測中的應用，這對于減振軌道的設計選型和控制環境振動具有重要的意義。

橡膠浮置板軌道通過降低軌道剛度隔離耗散輪軌沖擊振動，從而實現環境振動的控制。橡膠隔振墊是影響減振軌道剛度的關鍵結構，研究中存在隔振墊橡膠材料彈性難以準確模擬的問題，導致軌道變形與減振效果同時準確預測難度大。國內外學者對軌道用橡膠的動力特性進行了一系列研究。Maes［2］測試了鐵路扣件膠墊的非線彈性動力行為，為扣件膠墊的非線彈性數值模擬提供了試驗數據。Thompson 等［3］通過室內試驗和現場試驗，研究了扣件彈性墊層的高頻動態性能。Kraskiewicz等［4］對有砟軌道道砟墊進行了室內試驗研究。Cai等［5］通過現場試驗研究了地鐵直線段和曲線段彈性長枕軌道的振動控制效果。Zhao 等［6-7］通過長期現場試驗，研究了橡膠彈性墊層在高速鐵路高架橋的減振降噪效果。馬蒙等［8］測試了列車荷載和定點錘擊荷載作用下浮置板軌道的動力特性和減振效果。Wei 等［9-10］研究了扣件膠墊動剛度頻變對地鐵隧道環境振動的影響。王啟好等［11］基于Mooney-Rivlin 超彈性本構模型，進行了彈性長枕軌道動力仿真，給出了枕下膠墊邵爾硬度建議值。綜上可知，現有研究大多是對軌道用橡膠的室內試驗和現場測試，對隔振墊應用效果的模擬預測較少。此外，現有橡膠浮置板軌道隔振墊的動力仿真研究中，隔振墊多采用線彈性本構，不能反映橡膠材料應力應變的非線性關系。

本文以城市軌道交通隧道內橡膠浮置板軌道為研究對象，建立車輛-軌道-隧道耦合動力分析模型，并考慮浮置板軌道橡膠隔振墊的超彈性本構模型，研究超彈性本構模型下橡膠浮置板軌道的動力響應和減振效果，并與線彈性模型進行對比。

1 橡膠隔振墊超彈性本構模型

超彈性本構模型是一種常用的非線性材料模型，在動荷載作用下材料的應力應變關系呈現非線性特征，以彈性能函數的形式一一對應。隔振墊為橡膠材料，具有超彈性?？紤]鐵路軌道系統中隔振墊變形小、受力方向單一等特點，采用Mooney-Rivlin 模型（M-R 模型）來表征橡膠材料的超彈性屬性。M-R 模型基于連續介質力學理論，先假定應變能函數，再由應變能函數對主伸長比求偏導得到橡膠材料主應力［12］。各向同性不可壓縮材料的M-R超彈性本構模型應變能函數W為

式中：C1和C2為材料超彈性力學性能常數；I1和I2為與主伸長率相關的變形張量不變量。

鐵路軌道系統中隔振墊變形小，橡膠材料處于小應變狀態，此時材料超彈性力學性能常數C1和C2與彈性模量E0、剪切模型G關系為

根據參考文獻［12］，C1和C2存在比值關系，當C2/C1取0.05時，模擬的變形荷載關系最接近橡膠實測表現。確定C2與C1比值后，即可唯一確定超彈性本構模型參數取值。

隔振墊剛度一般采用靜剛度Ksta表征。靜剛度定義為在作用力均勻分布的條件下，連續彈性件的單位面積靜剛度，可通過下式計算

式中：F1，F2為施加在隔振墊上的荷載，分布為1.8和9.0 kN；D1，D2分別為加載至對應荷載時隔振墊的位移，mm；S為隔振墊面積，m2。

城市軌道交通線路類型多樣，沿線環境條件復雜，需根據具體工程減振需求因地制宜地進行特定減振設計。綜合考慮建設經濟性、線路運行安全及減振效果，橡膠浮置板軌道隔振墊剛度需進行不同設計。根據相關文獻［4］及規范［13］得到實際工程中不同型號隔振墊的小應變彈性模量以及靜剛度數據，進而計算得到不同型號隔振墊的超彈性參數C1和C2，見表1。浮置板底部隔振墊靜剛度根據隔振墊型號選取，浮置板側面隔振墊靜剛度統一為0.1 N· mm-3，后文將直接采用靜剛度值代表不同型號的隔振墊。

表1 不同型號隔振墊的材料參數

為驗證M-R 超彈性本構模型的合理性，根據文獻［4］建立仿真模型，采用1.2 的動靜剛度比，分別計算5 和10 Hz 動荷載作用下的動剛度K5和K10并與試驗數據進行對比，見表2。由表可知，5和10 Hz 動荷載作用下動剛度的仿真計算值均與試驗值相近，表明該模型可真實反映橡膠隔振墊的動力行為。

表2 動剛度計算結果與試驗數據對比

2 地鐵車輛-橡膠浮置板軌道-隧道耦合動力分析模型

地鐵車輛簡化為31 自由度多剛體系統模型，選取地鐵B型車，車體幾何參數和一二系剛度阻尼參照文獻［1］選取，車體時速100 km。輪軌相互作用采用Hertz 非線性彈性接觸模型和經典庫倫摩擦模型計算［14］。根據北京地鐵軌道譜［15］生成2～25 m波長范圍不平順，疊加隨機短波不平順，最終得到的軌道垂向不平順和橫向不平順如圖1所示。

圖1 軌道不平順

橡膠浮置板軌道結構自上而下分別為鋼軌、扣件、軌道板、橡膠隔振墊和基底。根據北京某地鐵工程選取軌道參數，建立200 m 長軌道模型。鋼軌采用60 kg·m-1類型；扣件采用WJ-7A 型，垂向靜剛度35 kN·mm-1，縱向間距625 mm；軌道板采用C60 混凝土，為現澆長板結構，長25 m、寬3 m、厚0.5 m；隔振橡膠墊采用全鋪式，厚度30 mm，填滿浮置板板底及兩側，根據不同的隔振墊剛度工況及本構關系設置彈性模量及超彈性參數；基底采用C40混凝土，視為U型槽結構，下部與隧道仰拱綁定約束。有限元模型中鋼軌、軌道板、基底均采用C3D8R 實體減縮單元模擬，扣件系統采用彈簧-阻尼單元模擬。

地鐵中軌道基底與隧道壁相連，隧道壁周圍為土體。隧道壁管片為C35混凝土；忽略隧道壁與土體間相對位移，采用綁定約束；近場土體采用Mohr-Coulomb 彈塑性本構模擬，彈性模量取0.3 GPa，土體摩擦角取45°，土體黏聚力取1.2 GPa；遠場土體設置無限元邊界，采用CIN3D8無限單元以降低振動在邊界的反射，減少單元數量，提高計算效率。

最終建立的地鐵車輛-橡膠浮置板軌道-隧道耦合動力分析模型如圖2所示。

圖2 動力分析模型

為驗證模型可靠性，按參考文獻［16］線路現場工況建立動力分析模型，分別采用超彈性本構和線彈性本構進行計算，并將計算結果與實測數據［16］進行對比，如表3和圖3所示。

表3 軌道板與隧道壁動力響應

圖3 隧道壁分頻振級曲線

軌道動力響應是反映軌道結構動力性能，影響行車安全的重要指標，隧道壁動力響應是減振效果的主要評價指標。通常來說，仿真中軌道和隧道壁動力響應的模擬存在顧此失彼現象。軌道動力響應預測準確的情況下，隧道壁處減振效果一般偏差較大；隧道壁處減振效果接近實測的情況下，傾向于出現軌道動力響應預測失真。但由表3 可以看出，采用超彈性本構模型，在軌道板位移、加速度與實測數據更為接近的情況下，隧道壁加速度與實測數據的偏差相比線彈性模型也更小。由此可知，超彈性本構模型計算的各項動力響應指標均更接近實測數據，可同時實現減振軌道行車安全與減振效果的準確預測。進一步對比圖3 中線彈性、超彈性本構模型仿真與實測隧道壁分頻振級，發現線彈性本構模型計算的隧道壁分頻振級整體偏小，在16～31.5 Hz 以及50～80 Hz 中心頻率頻段尤為突出，與實測結果差異大；超彈性本構模型計算的隧道壁分頻振級更接近實測，仿真效果更好。綜上，采用超彈性本構時，本文模型計算得到的軌道板位移和加速度、隧道壁加速度均與文獻［16］實測結果相近，隧道壁分頻振級在10 Hz 以上頻段線形相近且主頻一致，說明本文模型計算結果正確可信。

3 隔振墊超彈性本構模型對系統動力響應的影響

3.1 典型工況

選取隔振墊剛度0.019 N·mm-3為典型工況，計算并分析地鐵列車動力荷載作用下采用隔振墊超彈性本構模型時軌道的動力響應。選取同一橫截面處鋼軌軌腰、鋼軌正下方浮置板板中上表面和基底上表面位置提取垂向位移和加速度，進行時頻分析，并與按參考文獻［4］對應剛度參數取值采用線彈性模型計算的結果進行對比。

圖4 為鋼軌及軌道板位移時程曲線。由圖4 可知：同一隔振墊剛度下，采用超彈性本構模型計算得到的軌道位移更小，鋼軌、軌道板位移峰值相比線彈性本構模型分別降低了11.9%和33.9%。說明相較于線彈性材料，超彈性材料能為軌道提供更大的動剛度，軌道板更易保持穩定。

圖4 鋼軌及軌道板位移時程曲線

提取線路同一橫斷面處鋼軌、軌道板和基底的加速度，對其進行低通濾波及傅里葉變換，得到加速度時頻曲線如圖5—圖7 所示。其中，鋼軌加速度濾波頻率1 000 Hz，軌道板和基底加速度濾波頻率400 Hz。

圖5 鋼軌加速度時頻曲線

圖6 軌道板加速度時頻曲線

圖7 基底加速度時頻曲線

由圖5—圖7 可知：采用超彈性本構和線彈性本構計算得到的軌道結構各位置加速度時頻峰值有所差異，但其對應的頻率、時間均相近；2 種模型下鋼軌加速度主頻分別為371.1和449.2 Hz，峰值僅相差10.1%；軌道板和基底加速度主頻均出現在39.06 Hz，線彈性模型計算得到的軌道板加速度較大，峰值相比超彈性本構模型大86.5%，超彈性本構模型計算得到的基底加速度稍大，峰值相比線彈性模型大22.6%。

結果表明，采用超彈性本構模型計算的軌道板加速度相對更小，基底加速度相對稍大。這說明超彈性材料能給軌道板提供更強支撐，有利于軌道板穩定，但同時也會引起基底較大的振動。根據橡膠浮置板的振動分布特性可知，隔振墊采用超彈性本構模擬時軌道板振動響應更大，能量耗散相對較低，導致基底振動能量更大，相應減振作用下降。

3.2 不同隔振墊剛度工況

軌道結構動力響應受隔振墊剛度影響顯著［17］。根據工程實際選取不同剛度，每種剛度均分別采用超彈性本構和線彈性本構計算軌道動力響應，提取不同位置的最大位移和加速度，結果如圖8 和圖9所示。

圖8 不同隔振墊剛度下的最大位移

圖9 不同隔振墊剛度下的軌道各位置最大加速度

由圖8 可知：與線彈性本構模型相比，采用超彈性本構模型計算得到的不同隔振墊剛度工況下鋼軌和軌道板最大位移均較小，鋼軌位移相差10%左右，軌道板位移相差40%左右，且軌道位移在低剛度區域變化更大、高剛度區域變化相對平緩；隨著隔振墊剛度增加，2 種本構計算的鋼軌和軌道板最大位移之差先增大后減小，在0.025 N ·mm-3處達到最大，在0.100 N·mm-3處最小，鋼軌位移最小僅差4.2%，軌道板位移最小僅差27.3%。采用2 種本構模型得到的計算結果在低剛度工況下差異大、高剛度工況下差異小，說明采用超彈性材料可有效減小低剛度工況下的軌道結構最大位移。

由圖9 可知：超彈性本構模型和線彈性本構模型對應的軌道不同位置加速度規律各不相同，超彈性本構模型計算的鋼軌、基底加速度明顯更大，線彈性模型得到的軌道板加速度較大；軌道板加速度隨隔振墊剛度增大逐漸減小，基底加速度隨隔振墊剛度增大逐漸增大，但超彈性本構模型軌道板加速度在0.025 N·mm-3出現突變，從4.111 m·s-2銳減到3.697 m· s-2，突變后軌道板加速度隨剛度增加變化很??；當隔振墊剛度為0.025 N·mm-3時，2 種本構模型軌道板加速度差異最大，可達17.0%；當隔振墊剛度為0.100 N·mm-3，兩本構模型基底加速度差異最大，可達145.6%。

隨著隔振墊剛度增大，兩種本構模型計算的軌道板振動差異減小，基底振動差異明顯增大。對于基底振動而言，大剛度工況下超彈性本構模型的基底加速度峰值是線彈性本構模型的2.46 倍，線彈性本構模型基底振動預測準確性欠佳。隧道壁、土體振動均由基底傳播而來，振動變化規律受基底影響，基底振動預測的準確與否將直接影響環境振動預測的可靠性。

4 隔振墊超彈性本構模型對系統振動加速度級的影響

由不同剛度下軌道動力響應分析可知，隔振墊超彈性本構模型的軌道動力響應與按參考文獻［4］對應剛度參數取值計算的線彈性結果存在一定差異，基底位置尤其明顯。環境振動由軌道基底、隧道壁傳遞而來，環境振動的大小直接受基底、隧道壁振動強度影響。橡膠浮置板軌道作為一種減振軌道，減振效果為其直接評價指標。為評價軌道減振效果，選取相同模型參數，計算了普通軌道條件下隧道壁的振動加速度。

將仿真計算得到的軌道板、基底和隧道壁（軌面以上1.25 m）加速度進行1/3 倍頻程計權處理，得到各位置振動加速度分頻振級，并計算減振軌道板到基底的傳遞損失［18］和隧道壁處減振軌道和普通軌道的插入損失［19］，選取人體相對敏感的1～200 Hz頻段分析兩種模型減振效果的差異。

4.1 典型工況

選取隔振墊剛度0.019 N·mm-3為典型工況。圖10 為超彈性、線彈性本構模型計算得到的軌道板和基底的1/3倍頻程分頻振級。由圖10可知：當頻率為5～31.5 Hz 以及100～200 Hz 時，超彈性本構模型計算的軌道板分頻振級明顯小于線彈性結果，基底分頻振級明顯大于線彈性結果，最大分別相差7.46 和6.90 dB；當頻率為40～63 Hz 時二者規律相反，最大分別相差2.24 和7.04 dB。相對于超彈性模型，線彈性本構模型會減小低頻段基底振動，放大低頻段軌道板振動以及高頻段基底振動。

圖10 軌道板和基底的1/3倍頻程分頻振級

圖11 為超彈性、線彈性本構模型計算得到的橡膠浮置板軌道隧道壁1/3 倍頻程分頻振級，作為對比，圖中同時給出了普通軌道計算結果。由圖11可知：橡膠浮置板軌道在40 Hz 以上頻段減振效果明顯，普通軌道隧道壁分頻振級在63 Hz 中心頻段可達83.50 dB，而橡膠浮置板軌道此頻段隧道壁振級在超彈性和線彈性本構模型下分別減小到35.22 和30.21 dB，二者相差5.01 dB；受軌道固有頻率影響，橡膠浮置板軌道會放大隧道壁16～25 Hz 頻段振動，20 Hz 中心頻率處線彈性模型放大5.6 dB，超彈性本構模型放大8.53 dB，二者相差2.93 dB；線彈性本構模型計算得到的橡膠浮置板軌道減振效果大于超彈性本構模型；由于超彈性本構模型對橡膠隔振墊的實際動力響應的模擬更為準確，計算的減振效果更為保守，因此可為線路開通前環境振動評估提供更合理的參考。

圖11 隧道壁的1/3倍頻程分頻振級

4.2 傳遞損失

圖12為不同隔振墊剛度下超彈性、線彈性本構模型計算得到的傳遞損失。由圖12可知：各工況下2 種本構模型計算的傳遞損失均隨頻率升高逐漸增大，隔振墊在高頻區段作用效果好；除隔振墊剛度為0.019 N·mm-3工況個別頻段外，線彈性模型的傳遞損失均大于超彈性本構模型，且高剛度工況下二者差異更明顯，尤其是高頻區段，傳遞損失差異最大可達7.13 dB。

圖12 不同隔振墊剛度下軌道分頻傳遞損失

圖13 為不同隔振墊剛度下根據1～200 Hz中心頻率分頻振級計算得到的軌道總傳遞損失。由圖13 可知：當剛度由0.019 增大到0.100 N·mm-3，軌道總傳遞損失呈下降趨勢，從30 dB 左右下降到20 dB 左右；線彈性模型總傳遞損失在各剛度工況均大于超彈性本構模型，2 種本構模型總傳遞損失差值先變大后減小。超彈性本構模型計算的傳遞損失較小，更為保守，環境振動評估中建議采用超彈性本構模型進行仿真預測。

圖13 不同隔振墊剛度下軌道總傳遞損失

4.3 插入損失

圖14 給出了不同隔振墊剛度下超彈性、線彈性本構模型計算的插入損失。由圖14 可知：插入損失在25 Hz 中心頻率附近為負值，與橡膠浮置板軌道在固有頻率處振動放大有關；40 Hz 以上插入損失較大，且分頻插入損失最大值對應頻率隨剛度增加向高頻偏移，說明橡膠浮置板軌道在40 Hz 以上減振效果明顯；與超彈性本構模型相比，采用線彈性本構模型會高估地鐵振動特征頻段（50～80 Hz）的減振作用，且放大了軌道固有頻率（16～31.5 Hz）附近振動。

圖14 不同隔振墊剛度下隧道壁振級分頻插入損失

將1～200 Hz 中心頻率分頻振級按《城市區域環境振動標準》計算得到普通軌道和橡膠浮置板軌道對應的隧道壁總振級，將二者作差得到插入損失，普通軌道隧道壁總振級為83.49 dB。表4給出了超彈性和線彈性本構2 種模型計算的橡膠浮置板軌道隧道壁總振級及插入損失。

表4 橡膠浮置板軌道隧道壁總振級及插入損失

由表4 可知：減振效果與隔振墊剛度密切相關，隨隔振墊剛度增大，隧道壁總振級逐漸增大，插入損失逐漸減小，不同剛度工況下插入損失最大可達9.30（線彈性）和11.53 dB（超彈性）；超彈性本構模型的插入損失比線彈性模型小，且隨隔振墊剛度增大，二者差異逐漸增大，最大相差53.5%。線彈性模型減振效果偏大，尤其在高剛度工況下預測的環境振動偏小，建議采用超彈性本構模型進行減振效果預測評估。

5 結論

（1）相較線彈性本構模型，隔振墊超彈性本構模型計算的軌道結構及隧道壁動力響應均更接近實測數據，且傳遞損失更小、環境振動更大，即計算結果更保守，因此采用超彈性本構模型進行動力仿真及振動評估更為合理。

（2）不同隔振墊剛度工況下，隔振墊超彈性本構模型計算得到的軌道結構位移均小于線彈性本構模型，鋼軌和軌道板位移峰值分別相差10%和40%左右，說明超彈性隔振墊能為軌道提供更大的動剛度，軌道板結構更易保持穩定。

（3）相較線彈性本構模型，隔振墊超彈性本構模型計算得到的軌道板加速度峰值較小而基底加速度峰值較大，且隨隔振墊剛度增加，軌道板振動差異減小、基底振動差異顯著增大，常用隔振墊靜剛度范圍（0.019～0.100 N·mm-3）內超彈性本構模型與線彈性本構模型計算的基底加速度峰值之比最大為2.46，采用線彈性本構將低估橡膠浮置板軌道的基底振動。

（4）相較線彈性本構模型，超彈性本構模型計算得到的軌道板振動及基底高頻振動較小、基底低頻振動較大，傳遞損失小，且2 種本構模型計算的傳遞損失差異隨隔振墊剛度增大先增大后減小。采用線彈性本構模型將高估地鐵振動特征頻段（50～80 Hz）的減振作用，放大軌道固有頻率附近（16～31.5 Hz）振動。