再評時鐘佯謬的現代解

孟廣達, 霍瑞云, 王瑞華

(1.鄭州大學,河南 鄭州 450001; 2.河南財政金融學院,河南 鄭州 450046)

0 引言

相對論方面的一些專家學者,對時鐘佯謬的現代解贊賞到幾乎無以復加的地步,不僅徹底解決了時鐘佯謬,而且精彩到難以言表。試舉幾例,“我沒有忽悠諸位,它的要點確實只有一句話,那就是,時鐘記錄的是自己的世界線長度?！駷橹钩鲜霈F代解釋外,對時鐘佯謬的任何其他解釋都是針對特例或近似的?！c之相比,時鐘佯謬的現代解釋完全不受那些特例或近似的約束,從而有極大的普適性。哪怕兩個時鐘都作任意復雜的類時運動,現代解釋依然適用(傳統解釋則會變得苦不堪言)”[1]?！癟ORRETTI曾經感慨道:相對論時鐘是類時世界線上的里程表,假如人們對這一事實有過更多關注,那么在所謂時鐘佯謬上付出過的很多努力就可以省掉了?！盵1]“以上就是雙子效應全部實質性內容?！瓏H相對論界的有識之士對雙子問題的實質早已取得如上所述的共識[2-4]。雙子問題的實質是如此簡單,以致這些文獻中的論述都很短,文獻[4]僅僅只放在習題中?！盵2]

時鐘佯謬的現代解果真好到如此的地步嗎?文獻[3]已用兩人對話的方式把現代解與愛因斯坦的傳統解作了比較,結果是:前者不僅不比后者好,反而遜色于后者?，F代解連一個特例都作不出,還如何談“普適性”?文獻[3]中的圖2,筆者畫不完整,贊賞現代解的學者如果感興趣,可把沒畫出的部分補上(圖中如果有錯也請不吝指正),讓我們能了解時鐘B參照系中兩個時鐘的世界線究竟是什么樣,時鐘A的世界線仍然比時鐘B的世界線長表現在什么地方。如果贊賞現代解的學者也不能把時鐘B參照系中兩個時鐘的世界線完整畫出,那么所謂現代解有極大的普適性,無疑是空談。

其實,“有極大的普適性”的時鐘佯謬解不只是現代解,例如根據時鐘的讀數與參照系無關作出的解也“有極大的普適性”,而且普適性更是顯而易見。如果“有極大的普適性”的解就能徹底解決時鐘佯謬,可能時鐘佯謬早已解決了,甚至它根本不可能作為一個問題而存在。

1 時鐘讀數等于其世界線長度的由來

時鐘佯謬現代解的要點之一——時鐘讀數等于其世界線長度。這一重要關系有著不同的表述,例如“時鐘記錄的是自己的世界線長度”[1]“……線上任一段的線長等于該段起止點的固有時之差”[4]“粒子的固有時是其時間徑跡的量度”[5]101等,而這個極其重要的關系是怎么得出的?說法不一,查找到的來源有3種:①認為這個關系是個事實,例如“TORRETTI感慨道:相對論時鐘是類時世界線上的里程表,假如人們對這一事實有過更多的關注……”[1]。②認為這個關系是“狹義相對論的基本假定(已為實驗證實)”[4]。③認為這個關系是推導出的[5]101。為了表述方便,把上述3種來源分別稱為“事實說”“假設說”和“推導說”。這3種來源截然不同,究竟哪一個正確?以下逐一進行分析。

1)事實說。顯然不正確。首先不可能有這樣的事實,除非“事實”另有含義。再者,如果有這個事實,就根本不可能出現“推導說”和“假設說”。即使這個“事實”被發現是在有了“推導說”和“假設說”之后,一旦發現這個事實,“推導說”和“假設說”也早已消逝了,但是沒有見到“推導說”和“假設說”被這個事實否定的任何信息。

2)假設說。難以置信人們會提出一個假設去確定兩個本來不相干的物理量之間的定量關系?；蛘吆喲灾?我們不相信相對論中會有文獻[4]所謂的這個“基本假定”。根據是:①如果狹義相對論需要作出一個“基本假定”把時鐘的讀數與其世界線長度定量地聯系起來,那么相對論的缺陷就太大了;②文獻[4]應該交代清楚這個“基本假定”的出處,但卻沒作任何交代,更沒說明該假定被哪個實驗證實了;③查不出這個“基本假定”是哪位學者在哪個場合提出的。

3)推導說。這個關系大概率推導不出來,根據是:①文獻[5]中的推導相當混亂,含糊不清,也沒有見到過文獻[5]中的推導被引用過;②如果這個關系能夠被推導出來,只有MΦLLER C一個人能推出來的可能性不大,但是沒見到過其他人的推導;③提出假設說者,肯定是在判定推導不出這個關系之后才會提出假設的,所以假設說的存在就說明這個關系推導不出。

由以上分析可見,上述3個來源沒有一個是可靠的。那么時鐘佯謬現代解的要點——“時鐘的讀數等于其世界線長度”這個定量關系,究竟是怎么得出的?我們只能推斷它的由來可能如下。

(1)

時鐘的速度連續變化時,處理的辦法顯然使用積分,即無限小時間內的dτ,

(2)

式(2)中,v為t時刻的瞬時速度,用積分求出t=T時刻時鐘的讀數

(3)

乍一看,這樣處理沒有什么毛病,其實并沒有依據,因為不是推導得到的結果。為了使這樣的處理有據可查,作出了如下的假設[5]49:①時鐘相對于慣性系的加速度不影響時鐘的速率;②任一時刻時鐘固有時的增量,都與該時鐘在其中瞬間靜止的參照系中的標準時鐘的固有時增量相同。增加了這兩點假設后,上述的處理有了依據,但是依據并不充分[7]。無論依據是否充分,式(3)都是建立在假設之上的,都是依賴假設的。一個重要的公式不能由狹義相對論的基本原理推出,而必須依賴假設,這不能不說是件憾事。更重要的是,既然該公式建立在假設之上,那么它是否正確還是未知的,何況它的依據并不充分。

式(3)可以進行變形,

(4)

式(4)中的ds可解釋為dt時間內的世界線長度,于是S自然就是T時刻世界線的長度。在c=1的單位制中,式(4)化可為

τ=S,

(5)

即時鐘讀數等于其世界線長。

這是筆者推斷出的這個關系的由來——它既不是事實,又不是假設,也不能由狹義相對的基本原理推導出來,而是借助假設而得出的?？梢缘贸龅慕Y論是,時鐘佯謬現代解的要點之一不是由狹義相對論的基本原理得出的,而是建立在假設之上的。依賴于假設的這個要點是不正確的。時鐘讀數與幾何量之間的關系可以推導出來,根本不需要涉及假設,推得的結果否定了這個要點,下面進行證明。

2 時鐘讀數與幾何量的關系

文獻[7]已經指出依賴于假設的式(3)導致出一些不合理的結果,因而該式不可取。根據時鐘延緩的表觀性質選取另一個公式取代式(3),得到了適用于任意運動時鐘的新公式,使得不合理的結果不再出現。進一步的探討表明,這個公式可以很簡單地推導出來。為了表述方便,下面的推導只討論時鐘沿x軸運動的情況。

在慣性參照系中,t=0時,一時鐘從原點出發沿x軸任意運動。t時刻位于x(t)處,在閔可夫斯基四維時空(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict)中,這兩個事件的坐標分別為(0,0,0,0)和(x(t),0,0,ict),二者的間隔(或者說二者之間距離的平方)為

(6)

在該時鐘靜止的參照系中,由于該時鐘靜止于原點,所以這兩個事件的間隔為

(7)

由間隔不變性S′2=S2,得

(8)

這就是文獻[7]基于時鐘延緩的表觀性質提出的新公式,現在不涉及任何假設,在閔可夫斯基四維時空中很容易推出了。將此式稍作變形就可清楚地看出,時鐘讀數τ與幾何量之間的關系

(9)

式(9)中的S與式(5)中的S不同,不是時鐘的世界線長度,而是t時刻時鐘到原點的距離。在c=1的單位制中式(9)變為

τ=S,

(10)

其文字表述是,任一時刻時鐘的讀數等于該時刻時鐘到原點的距離。這就是文獻[3]已經指出的結論:“時鐘記錄的并不是自己的世界線長度而是自己與原點之間間隔的數值;相對論時鐘并不是類時世界線上的里程表而是它到原點距離的顯示器?！?/p>

時鐘佯謬現代解(幾何解)的這一個要點是建立在假設之上的,是不可取的。至于文獻[4]把此要點宣稱為相對論的“基本假設”顯然是不可取的,相對論中不會有這樣的“基本假設”。所謂該假設“已為實驗證實”,大概也是人云亦云而已。

3 任意運動時鐘的讀數增量(任意運動時鐘的速率)

長期以來,式(2)(式(3))被假設為(或由假設可得)適用于任意運動的時鐘?，F已證明這是不對的。適用于計算任意運動時鐘讀數的公式不是式(3)而是式(8)。再給出取代式(2)的公式,即計算dt時間內任意運動時鐘的讀數增量(或稱為任意運動時鐘的速率)的公式。

由式(8)很容易得到取代式(2)的公式為

(11)

時鐘以速度u作勻速運動時,式(11)化為

(12)

這是時鐘延緩公式的變形。既然公式(2)應由公式(11)取代,由公式(2)得到的結果當然就無效了。

4 時鐘佯謬現代解的結論是錯誤的

文獻[3]已經指出了“再者,時鐘返回到原點時不是τB<τA,而是τB=τA”。這很容易說明,時鐘佯謬現代解的結論τB<τA是根據時鐘讀數等于其世界線長度而得出的,所以是錯誤的;時鐘讀數應該等于其到原點的距離,由于時鐘B返后與時鐘A再相遇時,它到原點的距離與時鐘A到原點的距離相同,所以二者的讀數相同,即τB=τA。

在慣性參照系中,時鐘B返回后與時鐘A相見時,它們的讀數也可以由(11)式算得,

結果是τB=τA[6]。

在慣性參照系中,時鐘B返回后與時鐘A相見時,它們的讀數更容易由式(8)算得。由于對二者來講,它們的t和x都相同,所以τB=τA。