基于分光計測量不同介質折射率的探究性研究＊

李一諾，袁 爍，梁小蕊，金靚婕，張紀磊

（海軍航空大學航空基礎學院，山東 煙臺 264001）

0 引言

分光計是一種用于精確測量光線偏轉角度的典型光學儀器，光學研究中許多直接或間接與光線偏轉角度有關的光學量或光學性能如光波波長、折射率、色散特性、光柵常數、光譜特性等的測量，都可以利用分光計來實現[1-5]。其中折射率是表征物質重要物理屬性的光學參數，折射率的精確測量對于科學研究和工業生產都具有十分重要的意義。在前沿科技領域，液體折射率的高精度測量也是國內外重要的研究課題[6-11]。大學物理實驗課程中，我們通?；诜止庥?，采用最小偏向角法測得幾種譜線的折射率，但這種方法常常會由于最小偏向角的精確位置判斷不準確，而引入一定的誤差，難以得到高精度的測量結果，并且這種方法通常只能用于三棱柱狀固體材料的折射率測量[12-13]。而對于液體折射率的高精度測量，國內外通常依賴于高精尖的設備或者要求較為苛刻的測試環境[8-11]，這就導致測量成本大大增加。

針對以上問題，本著降低測量成本并且提高測量精度的原則，本文應用現有基本教學設備JJY 型分光計，探索了任意入射角與偏向角法測量折射率，將實驗結果與最小偏向角法的結果進行比較，發現任意入射角與偏向角法測得的折射率具有更高的精度，因此選擇了任意入射角與偏向角法測量不同液體的折射率。此項研究采用等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，來實現不同液體折射率的高精度測量。

1 分光計測量折射率基本原理

1.1 最小偏向角法測量折射率的原理

如圖1 所示，一束單色光以i1角入射到AB 面上，經棱鏡兩次折射后，從AC 面出射，出射角為i2′，入射光與出射光之間的夾角δ稱為偏向角。當棱鏡頂角A 一定時，偏向角δ的大小隨入射角i1的變化而變化。而當i1=i2′時，δ為最小，這時的偏向角稱為最小偏向角，記為δmin。三棱鏡折射率n與最小偏向角δmin的關系為：

圖1 最小偏向角法原理圖

由此可知，測量出頂角A 和最小偏向角δmin的值，即可求得棱鏡材料的折射率n[14]。

1.2 任意入射角與偏向角法測量折射率的原理

圖2為任意入射角入射時的光路圖，由圖2 幾何關系可計算出任意入射角經三棱鏡兩次折射后所形成出射角和偏向角的值。

圖2 任意入射角與偏向角法原理圖

也可得到AB面折射角與AC面入射角的關系為：

由AB 面折射定律可得：

由AC 面折射定律可得：

偏向角與任意入射角的關系式[14]

因此，測量出多組任意入射角i1，及其對應的偏向角δ，即可求得介質的折射率n。

1.3 空心三棱鏡測量液體折射率原理

由參考文獻[15]中陳新，李維暉等人的研究結果可知，用空心三棱鏡測量液體折射率是可行的。本實驗采用的空心三棱鏡是用折射率相同的等厚玻璃制成的，其截面為等邊三角形。將空心三棱鏡放置在調平的分光計載物臺上，當光線從平行光管發出后，會經過空心三棱鏡的兩個側面，并在兩側玻璃上發生折射，光線會有所偏移，但與通過固體實心三棱鏡的出射光線平行，相應偏向角的角度不變，因此仍可用式（2）～（8）求得液體折射率（如圖3 所示為測量光路圖）。

圖3 測量液體折射率光路圖

圖4 實驗儀器

1.4 柯西色散公式

柯西色散公式最初是由法國物理學家Augustin-Jean Fresnel 和法國數學家Augustin-Louis Cauchy 分別獨立發現的經驗公式。它是描述介質的折射率與真空中入射光波長的數學關系，可以表示為：

式中a，b，c是三個柯西色散系數，因介質的不同而不同。

該公式可以精確預測不同波長的光在不同介質中的折射率，當光線從一種介質傳播到另一種介質時，不同介質對入射光的波長會有不同的影響，導致光線的折射角發生變化，折射率隨之發生變化。在這種情況下，柯西色散公式可以準確計算出不同波長的光通過不同介質的折射率[1,16-17]。

2 實驗部分

2.1 試劑與儀器

試劑：蒸餾水、國藥分析純試劑蓖麻油（折射率1.477-1.481）。

實驗儀器：JJY 型分光計、實心三棱鏡（40×40×40×40mm）、空心三棱鏡（40×40×40×33mm，厚度2mm）、汞燈（波長404.66nm、435.84nm、546.07nm、579.07nm）、氫燈（波長486.13nm、656.28nm）、氦燈（波長447.15nm、501.57、587.56、667.82）。其中分光計的讀數系統可精確到1 分。全部實驗均在室溫25℃下進行。

2.2 最小偏向角測量三棱鏡折射率

利用各調一半法將所用實驗設備JJY 型分光計調平。轉動游標盤使三棱鏡AC 面正對望遠鏡，記下兩游標處的讀數θ1和θ2。再轉動游標盤，使AB 面正對望遠鏡，記下兩游標處的讀數和。同一游標兩次讀數之差求和取平均即載物臺轉過的角度φ，則三棱鏡頂角A=π-φ。

將平行光管狹縫對準前方光源，通過轉動游標盤及望遠鏡找出棱鏡出射的各種顏色的光譜線。再轉動游標盤改變入射角i1，各色譜線隨之移動，直至譜線開始要反向移動為止，即為光線以最小偏向角射出的方向。記下此時兩游標處的讀數θ1和θ2，取下三棱鏡，轉動望遠鏡對準平行光管以確定入射光的方向，再記下兩游標處的讀數則二者求和取平均即為待測譜線的最小偏向角δmin的值如式（10）所示。

將δmin和測得的三棱鏡頂角A 平均值帶入式（1），可計算出折射率n。重復此步驟分別計算不同譜線的折射率n。

2.3 任意入射角與偏向角法測量三棱鏡折射率

2.3.1 角度測量

將平行光管狹縫對準光源，將三棱鏡放置在調平的載物臺上。望遠鏡對準平行光管，使其分劃板上的中心豎線對準出射光，記下此時兩游標處的讀數θ11和θ21。

轉動望遠鏡，找出三棱鏡出射的各色光譜線，使分劃板上的中心豎線對準待測譜線，各色光譜線如圖5 所示，記下兩游標處的讀數，參照式（10）計算得到任意偏向角δ。

將望遠鏡向另一方向旋轉至一定角度，找到反射光線，使分劃板上的中心豎線對準反射光，記下兩游標處的讀數。如圖6 所示，入射光與反射光的夾角為β，

圖6 測量反射光的光路圖

圖7 反射光譜線

根據圖6 中幾何關系可求得入射角i1。

轉動游標盤改變入射角i1，然后轉動望遠鏡，使分劃板上的中心豎線再次對準入射光，記下兩游標處的讀數θ12和θ22。重復上述步驟，即可測量并記錄若干組任意入射角i1k的值，及對應待測譜線的若干組任意偏向角值δ（kk=1，2，3……）的值。

2.3.2i-δ非線性擬合，計算折射率

對于一條待測譜線其任意入射角i與對應偏向角δ之間的關系為（8）式，利用上述方法測量得到了不同波長譜線的8 組（i，δ）數據，列于表1 中。用MATLAB 程序對表1 中的數據進行非線性擬合，如圖8 所示（以587.56nm氦燈黃色譜線為例），可得到待測譜線的折射率n。按此方法可分別得到不同波長譜線的i-δ關系曲線，進而計算出不同波長的光對應的折射率n[18]。

表1 不同波長的光對于三棱鏡的任意入射角與偏向角測量結果

圖8 氦燈黃色譜線對于三棱鏡的任意入射角與偏向角關系圖

2.4 任意入射角與偏向角法測量液體折射率

用空心三棱鏡作為容器盛裝蒸餾水和蓖麻油兩種液體，測得不同波長的光通過兩種不同介質的折射率n（測量方法與步驟同2.3）。得到不同波長的光對應的角度數據分別列于表2 和表3 中。

表2 不同波長的光入射蒸餾水的入射角與偏向角測量結果

表3 不同波長的光入射蓖麻油的入射角與偏向角測量結果

3 結果與討論

3.1 最小偏向角法和任意入射角與偏向角法測三棱鏡折射率的比較

采用最小偏向角法測得的不同波長的光入射實心三棱鏡的折射率實驗數據列于表4。

表4 最小偏向角法測得不同波長的光入射三棱鏡的折射率

用MATLAB 程序將表4 中的數據（n，λ）進行非線性擬合，得到擬合曲線及柯西色散方程如圖9 所示。

圖9 最小偏向角法測量實心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（左）

利用任意入射角與偏向角的方法測量了不同波長的光入射實心三棱鏡的入射角與偏向角，將表1 中的數據用MATLAB 程序進行擬合，將擬合得到的不同波長光入射不同介質的折射率及對應的波長數據列于表5 中。再將表5 中的數據（n，λ）進行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合結果如圖10 所示。

表5 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射三棱鏡對應的折射率

圖10 任意入射角與偏向角法測量實心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（右）

比較圖9 和圖10 的擬合結果可知，用最小偏向角法得到的柯西色散方程擬合曲線，其相關系數達到99.60%，而用任意入射角與偏向角法得到的柯西色散方程的擬合相關系數達99.93%，可見采用任意入射角與偏向法的實驗結果更為可靠。并且589.3nm 鈉黃光通過實心三棱鏡的折射率真值為1.5161，而用最小偏向角法和任意入射角與偏向角法得到的擬合曲線上其折射率分別為1.5150 和1.5165，計算可得兩種方法的相對誤差分別為：0.073%和0.026%。由此可見，用任意入射角與偏向角法測得的折射率相對誤差更小，結果更為精確，因此本文采用該方法進一步測量液體折射率。

3.2 液體折射率的測量及柯西色散公式

用任意入射角與偏向角的方法測量了不同波長光入射蒸餾水和蓖麻油兩種液體的入射角與偏向角，將表2、表3 中的數據用MATLAB 程序進行擬合，將擬合得到的不同波長光入射不同介質的折射率及對應的波長數據列于表6、表7 中。

表6 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射蒸餾水對應的折射率

表7 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射蓖麻油對應的折射率

再將表6、表7 中的數據（n，λ）進行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合曲線及相應的柯西色散公式如圖11、圖12 所示。

圖11 蒸餾水折射率的柯西色散方程擬合曲線

圖12 蓖麻油折射率的柯西色散方程擬合曲線

通過測量實心三棱鏡的折射率比較最小偏向角和任意入射角與偏向角兩種測量方法，根據實驗結果得出了任意入射角與偏向角法測量的折射率具有更高測量精度的結論。進一步利用該方法，以等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，測量了不同波長的光通過蒸餾水和蓖麻油兩種液體的折射率，測得的結果更具有統計學的優勢，得到了較為穩定可靠的折射率值。

由上述結果可得，波長為589.3nm 的光經過蒸餾水的折射率為1.3323，與文獻[19]中水的高精度折射率測量結果1.3325072 非常接近，相對誤差僅為0.016%，說明此方法用于液體折射率的測量同樣具有較高精度。

3 結語

本文利用基礎教學設備JJY 型分光計，以汞燈、氫燈和氦燈作為光源，選取對應光源中確定波長，并且清晰可見的10 條譜線作為觀察對象。對于測量數據的處理，本實驗通過MATLAB 程序對測得的不同介質中的折射率與對應波長進行了數據的非線性擬合，發現任意入射角與偏向角法對于不同介質的柯西色散方程擬合的相關系數都較高，進一步驗證了任意入射角與偏向角這種方法的可靠性。本實驗所研究的方法既提高了折射率測量結果的精度，又大大降低了測量液體折射率的成本，對大學物理實驗教學中分光計的使用、折射率測量方法的拓展研究具有一定的指導意義。