懸臂梁失穩時撓度的非線性近似解

胡志程 羅月娥 王學文

摘 要：《材料力學》教材在分析受壓桿件的穩定性問題時通常采用線性化的撓曲線近似微分方程和近似的邊界條件，此方法會導致壓桿失穩時撓度不能確定的問題。文中以懸臂梁為例分析了導致此問題的原因，然后采用更準確的邊界條件，求解了包含非線性項的撓曲線近似微分方程。這樣不僅可以得到懸臂梁失穩時的臨界壓力，還可以確定壓桿的撓度、轉角，以及軸向位移。

關鍵詞：懸臂梁;撓曲線微分方程;撓度;轉角

中圖分類號：O343 文獻標識碼：A 文章編號：20959699（2023）06000603

在工程結構中，桿件必須滿足強度、剛度和穩定性要求，才能正常工作。就細長受壓桿件而言，穩定性問題更加值得關注。因為在發生強度失效之前，壓桿可能已經失去其原有的平衡狀態，產生顯著的彎曲變形，從而失去正常的工作能力[1]。1744年，歐拉研究了軸向受壓桿件的穩定性問題，建立了壓桿失穩變形的撓曲線微分方程，并給出了其解析解[2]。但是，歐拉給出的解析解用到了橢圓積分，求解過程比較復雜，因此在教材中沒有介紹此方法。

一般《材料力學》教材都是采用小角度近似的方法，將撓曲線曲率表達式中的非線性項略去，從而得到撓曲線的線性近似微分方程。雖然通過求解該方程可以確定臨界壓力，但是不能確定壓桿在各個位置的撓度。因此，對壓桿進行穩定性校核時，只能對軸向壓力進行校核，無法對桿件的變形進行校核。關于如何確定撓度這個問題，已有不少學者做出了探討。張仲毅[34]分析了細長桿件失穩變形時撓度不確定的原因，并給出了兩端鉸支細長壓桿最大撓度的一階近似解。陳家駿[5]修正了教材中給出的邊界條件，通過求解撓曲線的線性近似微分方程得到了最大撓度，但是表達式中的轉角仍然無法得到。劉榮剛等[6]使用嚴格的邊界條件重新定義了理想彈性壓桿的臨界力，同時也給出了兩端鉸支壓桿的最大撓度。

上 述文獻中都是以兩端鉸支的彈性壓桿為分析對象，但在工程結構中存在大量的懸臂梁壓桿。例如，千斤頂螺桿就是一個受壓桿件，可以視為一端固定、另一端自由的懸臂梁。因此，本文以懸臂梁為例來分析壓桿的穩定性問題。首先通過介紹教科書中解決壓桿穩定性問題的方法，分析撓度不能確定的原因;然后給出包含非線性項的撓曲線微分方程，并采用更精確的邊界條件求解此方程，從而得到壓桿失穩時的臨界壓力、撓度、轉角，以及壓桿的軸向位移。文中的分析有助于進一步深入理解細長壓桿的穩定性問題。

1 失穩撓度不確定問題的分析

下面以懸臂梁為例，簡要給出教材中分析壓桿失穩的方法，然后分析該方法不能給出曲線撓度的原因。

圖1是教材給出的懸臂梁壓桿發生失穩時的計算簡圖[1]。最初，桿的軸線為直線，長度為l ，壓力F 平行于軸線施加在桿的自由端。當右端作用的壓力達到臨界壓力Fcr 時，壓桿發生微彎變形，并能夠在此狀態下保持平衡，此時最大的撓度在自由端，記為δ 。

3 總結

文中以懸臂梁受壓桿件為例，分析了其穩定性問題?；诮炭茣薪榻B的方法分析該問題時發現壓桿的撓度不能確定，原因在于：（1）采用了線性近似的撓曲線微分方程;（2）采用的邊界條件不夠精確。針對這兩個原因，首先保留撓曲線微分方程中的一階非線性項，然后在求解時考慮壓桿在彎曲時會產生橫向位移，因此給出了精確的邊界條件。通過求解此非線性方程，不僅可以得到懸臂梁在失穩時的臨界壓力，還可以得到撓度、轉角，以及壓桿的軸向位移。通過比較，可以看出文中得到的一階非線性近似解具有較高的精確度。讀者也可以自行利用該方法分析其它約束條件下的壓桿穩定性問題。

參考文獻：

[1]劉鴻文.材料力學I[M].第6版.北京：高等教育出版社，2017：304311.

[2]納什W A.材料力學[M].趙志剛，譯.北京：科學出版社，2002：267268.

[3]張仲毅.細長壓桿臨界撓度確定性的簡單解釋[J].力學與實踐，1992，14（5）：6062.

[4]張仲毅.臨界壓力下壓桿撓度的分析討論[J].力學與實踐，1995（4）：7374.

[5]陳家駿.關于細長壓桿穩定性問題的討論[J].力學與實踐，1997，19（5）：6567.

[6]劉榮剛，邊文鳳，李素超，等.理性彈性壓桿臨界撓度的確定[J].力學與實踐，2020，42（4）：508510.

責任編輯：肖祖銘