盧宗凱
大連理工大學附屬學校張穎老師的直播課《重構等腰三角形》選自遼寧教育學院“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”,旨在貫徹落實國家“雙減”政策,幫助廣大師生自主學習和個性化提升。
在張穎老師的課堂上,一題多法構造等腰三角形,將圖形中的轉化思想體現得淋漓盡致. 同學們在解題時,若看見二倍角,也可以聯想并構造等腰三角形.
模型構建
基本模型:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,點D在CB上,且∠B = 2∠CAD. 若以AC為對稱軸,將△ACD翻折,得到△ACE,則∠E = ∠BAE.
解析:設∠CAD = x,則∠ABC = 2x,∠E = 90° - x,
∴∠BAE = 180° - 2x - (90° - x) =? 90° - x,
∴∠E = ∠BAE.
基本模型結論:△ABE和△AED都是等腰三角形.
模型運用
例1 如圖2,在Rt△ABC中,∠C = 90°,點D在CB上,且∠B = 2∠CAD,若CD = 1,AB = 5. 求AC的長.
解析:以AC為對稱軸,將△ACD翻折,如圖1,由基本模型結論可知△ABE和△AED是等腰三角形,且∠AEB = ∠BAE,易得BE = AB = 5,BC = BE - CE = 4.
在Rt△ABC中,AC = √(AB-BC) =√ (5-4) = 3.
反思:再以AC為對稱軸,將△ACB翻折,如圖3,由基本模型結論可知△ADF和△AFB是等腰三角形,從而求出AC.
變式延伸
例2 如圖4,在△ABC中,∠C = 90°,∠ABC = 60°,D在CB的延長線上,E在BC上,BD = 2CE,∠BAE = 2∠BAD,若AB = 8,求AE.
解析:設∠BAD = α,∠BAE = 2α,
∵∠ABC = 60°,∴∠D = 60° - α,∠AEC = 60° + 2α.
出現二倍角,可聯想構造等腰三角形. 對照基本模型,延長EC至F,使CF = CE,連接AF,如圖5.
易得△AEF是等腰三角形,AE = AF,
∴∠F = ∠AEC = 60° + 2α,
∴∠DAF = 180° - ∠D - ∠F = 60° - α,
∴∠D = ∠DAF,∴AF = DF.
設CE = x,則BD = 2x,
∵∠ACB = 90°,∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 30°,
∴BC = [1/2AB] = 4,∴AC = [4√3],
∴AF = DF = 2x + 4 + x = 3x + 4.
根據AF2 = AC2 + CF2,可得(3x + 4)2 = ([4√3])2 + x2,∴(x + 4)(x - 1) = 0,
∵x > 0,∴x + 4 > 0,∴x = 1,∴AF = 7,∴AE = AF = 7.
分層作業
難度系數:★★★ 解題時間:12分鐘
1. 如圖6,在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC > AC,點D在BC邊上,DB = 3DC,2∠B = ∠CAD,若AD = 5,求AB的長.
2. 如圖7,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,已知S△ADC = 14,S△ABD = 10,求△ABC的面積.
3. 如圖8,在△ABC中,AC = 2AB,AD平分∠BAC,交BC于點D,點E是AD上的一點,且EA = EC.? 求∠ABE的度數.
參考答案
1. AB = [4√10](提示:延長BC至E,使CE = CD,連接AE)
2. 28 3. 90°