朱方潔
一元一次不等式(組)是初中數學中重要 的知識點之一,也是中考考查的熱點之一.對 此,筆者結合 2023 年的中考真題,剖析了有 關一元一次不等式(組)的高頻考點,以期同 學們能夠明確考點,把握重點,突破難點,有 針對性地進行學習和復習.
考點一、用數軸表示一元一次不等式組 的解集問題
用數軸表示一元一次不等式組的解集, 通常分三步進行,第一步:求解,即分別求出 不等式組中每個不等式的解集;第二步:定 集,即根據“同大取大;同小取??;大小小大中 間找;大大小小解不了”口訣,明確不等式組 的解集;第三步:畫圖,即在數軸上畫出不等 式組的解集.
例1
分析:本題考查用數軸表示一元一次不 等式組的解集.解答思路是先解不等式組,得 出其解集后再在數軸上畫出解集.
解:
評注:在用數軸表示不等式組的解集時, 要注意弄清邊界點是空心點,還是實心點;方 向是向左,還是向右.
考點二、含參數的一元一次不等式(組) 的整數解問題
含參數的一元一次不等式(組)的整數解 問題,是一元一次不等式(組)的重難點問題 之一,也是考試時的一個易錯點和失分點,主 要涉及有且僅有幾個整數解、至少有幾個整 數解、整數解的和、最大整數解與最小整數解 等問題.它的求解思路是:首先求出不等式組 的解集,然后根據整數解的個數、和、最大整 數解與最小整數解等,求出參數的值或取值 范圍.
例2
分析:本題是含參數的一元一次不等式 組的整數解問題.已知不等式組整數解的和, 求參數a的值.解答思路是先解出該不等式組 的解集,再根據題中整數解的和,分類討論整數a的取值范圍,進而確定整數a的值.
解:
評注:在根據整數解的和確定參數的值 或取值范圍時,要注意分類討論,避免出現漏 解.在確定取值范圍后,還要注意思考“=”是 否能取到.
考點三、一元一次不等式(組)的實際應 用問題
一元一次不等式(組)的實際應用問題, 主要考查同學們根據實際問題構建不等式 (組)的能力.在解答一元一次不等式(組)的 應用題時,同學們要注意如下幾點:一是細致 審題,巧抓關鍵詞,明確考查意圖;二是弄清 題中各種量之間的不等關系,列出相應的不 等式(組);三是檢查所求的解是否符合題意 要求,舍去不必要的,從而確保解答無誤.
例 3 (2023 年湖南懷化中考卷)某中學 組織學生研學,原計劃租用可坐乘客45人的 A種客車若干輛,則有30人沒有座位;若租用 可坐乘客60人的B種客車,則可少租6輛,且 恰好坐滿.
(1)求原計劃租用 A 種客車多少輛?這 次研學去了多少人?
(2)若該校計劃租用A、B兩種客車共25 輛,要求B種客車不超過7輛,且每人都有座 位,則有哪幾種租車方案?
分析:(1)設原計劃租用 A 種客車 x 輛, 則這次研學去了(45x+30)人,根據這次去研 學的人數不變,可得出關于 x 的一元一次方 程,解之即可得出結論;(2)設租用 B 種客車 y 輛,則租用 A 種客車(25-y)輛,根據“租用 的 25 輛客車可乘坐人數不少于 1200 人,且 租用的 B 種客車不超過 7 輛”,可得出關于 y 的一元一次不等式組,解之可得出 y 的取值 范圍,再結合 y 為正整數,即可得出租車方 案.
解:
答:
評注:列不等式或不等式組解決實際問 題,要注意抓住問題中的一些關鍵詞語,如 “至少”“最多”“超過”“不低于”“不大于”“不 高于”“大于”“多”等.這些都體現了不等關系. 列不等式時,要根據關鍵詞準確地選用不等 號.另外,對一些實際問題的分析還要注意結 合實際.