半群上的L-模糊同余

李倩倩

(蘭州理工大學理學院,甘肅 蘭州 730050)

模糊數學是數學研究中的一個重要組成部分,它的應用性也比較強?！澳：?概念最初是由Zadeh[1]于1965年提出來的,它表示一種不確定性。這個概念最初被引入是作為一種描述人類話語和思想中的不精確性和模糊性的方法。比如描述身高時規定超過190 cm描述為高,那么身高189 cm就不算高了嗎？他們只是高的程度不同,于是有了“模糊”的概念。后來,Murali[2]定義了模糊劃分,進而得到集合上的模糊劃分和模糊等價關系是一一對應的。在此基礎上,Marouf[3]定義了模糊同余,給出了集合上的模糊關系生成的模糊等價關系和模糊同余,并給出了模糊等價關系格和模糊同余格的部分性質。1992年Kuroki[4]證明了群的模糊正規子群集合模糊同余集之間存在一一對應關系。

在此之后,基于模糊同余概念的理論和實際應用得到了迅速發展。特別是文獻[5-10]中在這一方面得到了一些很好的結果。2015年楊燕等[11]研究了畢竟正則半群上的模糊群同余。截至目前,關于模糊同余的研究成果已經非常豐富,因此我們考慮推廣模糊關系,來豐富模糊數學的世界。研究將模糊關系的定義進行推廣得到L-模糊的定義,并將模糊關系的部分結論推廣到L-模糊關系上。

1 預備知識

設X是非空集合,稱映射f:X→[0,1]為X的模糊子集。對任意的x∈X稱f(x)為x對f的隸屬度,稱映射μ:X×X→[0,1]為X上的模糊關系。假設μ1、μ2、μ是X上的模糊關系,定義μ1與μ2的合成(記為μ1°μ2)如下:任意的x,y∈X有

(μ1°μ2)(x,y)=∨z∈X(μ1(x,z)∧μ2(z,y))。

若對任意的x∈X都有μ(x,x)=1,則稱μ是模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),則稱μ是模糊對稱的;若μ°μ≤μ,則稱μ是模糊傳遞的。 如果μ是模糊自反的、模糊對稱的、模糊傳遞的,那么稱μ是模糊等價關系。設S是半群,μ是S上的模糊關系。如果對任意的a,b,x∈S,滿足:μ(ax,bx)≥μ(a,b)且μ(xa,xb)≥μ(a,b),那么稱半群S上的模糊關系μ在S上關于乘法是相容的。相容的模糊等價關系稱為模糊同余(關系)。

定理1設S是半群,μ是S上的模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下結論成立:

(1)μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余[11]。

2 L-模糊關系

[0,1]區間是全序集,是特殊的格。假設(X,≤)是偏序集,且對X中任意一個非空子集Y均存在上確界和下確界,那么稱(X,≤)為完全格。后文出現的L均指完全格,0、1分別指L的最小元和最大元。

定義1設X是非空集合,稱映射f:X→L為S上的L-模糊子集。

定義2設S是半群,稱映射μ:S×S→L為S上的L-模糊關系。

設μ,ν是半群S上的L-模糊關系,任意的a,b∈S定義μ,ν之間的運算如下:

(μ°ν)(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)};

μ?ν?μ(a,b)≤ν(a,b)。

定義3設S是半群,μ是半群S上的L-模糊關系,若對任意的x∈X都有μ(x,x)=1,則稱μ是L-模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),則稱μ是L-模糊對稱的;若μ°μ≤μ,則稱μ是L-模糊傳遞的。 如果μ是L-模糊自反的、L-模糊對稱的、L-模糊傳遞的,那么稱μ是模糊等價關系。

定義4設S是半群,μ是半群S上的L-模糊關系,如果對任意的x,y,z∈S有

μ(x,y)≤μ(zx,zy)(μ(x,y)≤μ(xz,yz))，

那么稱μ是L-模糊左(右)相容的。如果對任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yt),那么稱μ是L-模糊相容的。

命題1設S是半群,μ是半群S上的L-模糊等價關系,則μ是S上的L-模糊同余當且僅當μ是L-模糊左、右相容的。

證明假設μ是S上的L-模糊同余,則對任意的x,y,z∈S有

μ(zx,zy)≥μ(z,z)∧μ(x,y)=

1∧μ(x,y)=μ(x,y)，

μ(xz,yz)≥μ(x,y)∧μ(z,z)=

μ(x,y)∧1=μ(x,y)，

即μ是L-模糊左、右相容的。

反之,設μ是L-模糊左、右相容的,則對任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)≤μ(xz,yz)且μ(z,t)≤μ(yz,yt),從而

μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yz)∧μ(yz,yt)≤

∨u∈S(μ(xz,u)∧μ(u,yt))=

μ°μ(xz,yt)≤μ(xz,yt)，

即μ是S上的L-模糊同余。

命題2設μ,ν是半群S上的L-模糊關系,若μ,ν在S上是L-模糊相容的,則μ°ν是L-模糊相容的。

證明因為μ,ν是L-模糊相容的,所以任意的x,y,z∈S,都有μ(x,y)≤μ(xz,yz),且μ(z,t)≤μ(yz,yt)。于是

μ°ν(xz,yz)=∨a∈S(μ(xz,a)∧ν(a,yz))≥

∨a∈S(μ(xz,az)∧ν(az,yz))≥

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))，

而且

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))=(μ°ν)(x,y),

所以

(μ°ν)(xz,yz)≥(μ°ν)(x,y)。

同理可證

(μ°ν)(zx,zy)≥(μ°ν)(x,y)。

綜上所述,μ°ν是L-模糊相容的。

定理2設μ,ν是半群S上的L-模糊同余,則下列敘述等價:

(1)μ°ν是L-模糊同余;

(2)μ°ν是L-模糊等價關系;

(3)μ°ν是L-模糊對稱的;

(4)μ°ν=ν°μ。

證明顯然(1)?(2)?(3)，下證(3)?(4)。

由于μ°ν是L-模糊對稱的,所以任意的a,b∈S有μ(a,b)=μ(b,a),于是

μ°ν(a,b)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,b))≥

∨a∈S(ν(b,x)∧μ(x,a))≥

ν°μ(b,a)=ν°μ(a,b)。

“(4)?(1)”首先證明L-模糊自反性,任意的a∈S有

(μ°ν)(a,a)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,a))≥

μ(a,a)∧ν(a,a)=1。

其次證明L-模糊傳遞性,有

(μ°ν)°(μ°ν)=(μ°ν)°(ν°μ)?μ°ν°μ=

μ°μ°ν?μ°ν。

最后證明L-模糊對稱性,任意的a,b∈S有

μ°ν(a,b)=ν°μ(a,b)。

因此

μ°ν(a,b)=ν°μ(a,b)=∨z∈S(ν(a,z)∧μ(z,b))≥

∨z∈S(μ(b,z)∧ν(z,a))≥μ°ν(b,a)，

又因為μ,ν是半群S上的L-模糊同余,所以μ°ν是L-模糊同余。

定理3設μ是半群S上的L-模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下結論:

(1)μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余。

證明(1)必要性,因為μ是半群S上的L-模糊同余,又因為μa=μb,所以

μ(a,b)=μa(b)=μb(b)=1。

充分性,設μ(a,b)=1,因為μ是半群S上的L-模糊同余,所以任意的x∈S有

μa(x)=μ(a,x)≥(μ°μ)(a,x)=

∨y∈S(μ(a,y)∧μ(y,x))≥

μ(a,b)∧μ(b,x)=1∧μ(b,x)=μ(b,x)。

(2)μ-1(1)顯然是自反的、對稱的,下面證明傳遞性。?a,b,c∈S且(a,b),(b,c)∈μ-1(1)有

(μ°μ)(a,c)=∨x∈S(μ(a,x)∧μ(x,c))≥

μ(a,b)∧μ(b,c)=1。

由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以(μ°μ)(a,c)≤μ(a,c),即μ(a,c)=1,即μ-1(1)是可傳遞的。故μ-1(1)是S上的等價關系。

任意的x∈S,(a,b)∈μ-1(1)。由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以μ(ax,bx)≥μ(a,b)。又因為μ(a,b)=1,所以μ(ax,bx)=1,即(ax,bx)∈μ-1(1),同理(xa,xb)∈μ-1(1)。故μ-1(1)是S上的同余。