B-統計-α-可積與大數定律

陳夢如 ,汪忠志 ,彭維才

(1.皖江工學院 基礎部,安徽馬鞍山 243000;2.安徽工業大學微電子與數據科學學院,安徽馬鞍山 243000;3.巢湖學院 數學與大數據學院,安徽合肥 238000)

§1 引言

眾所周知,極限理論在概率論,泛函分析,物理,通信,金融等領域有著重要應用,引起了廣泛的研究并獲得了豐富的研究成果.如,楊衛國等(2014)[1],石志巖等(2017)[2]和黃輝林(2019)[3]建立了馬爾科夫鏈的強大數定律.吳群英(2021)[4]建立了次線性期望空間下加權和的強極限定理.此外,在概率論極限理論中,一致可積可以在弱大數定律成立的情況下放寬隨機變量序列同分布的條件,因而得到了極大的推廣.Chandra (1989)[5]推廣了一致可積(Chung (1974)[6])的概念,給出了Cesàro一致可積的定義.研究表明更一般的Cesàro一致可積是大數定律成立的一個基本條件.例如,Bose 和Chandra (1993)[7]證明了在一般情況下,Cesàro一致可積可以推出收斂.隨后,Cabrera (1994)[8]又對Cesàro一致可積進行了推廣,定義了{ank}-一致可積,并得到了在{ank}-一致可積條件下的加權和ank(Xk-EXk)的一類極限定理.然而,仍有許多隨機變量序列無法滿足以上的一些一致可積條件,因此對條件較弱的可積性的研究是非常有必要的,事實上,已有許多學者對此進行了研究.比如,Chandra和Goswami (2003)[9]將Cesàro一致可積推廣到了可積,定義了Cesàroα-可積和強Cesàroα-可積的概念.在這兩類可積條件下,弱大數定律和強大數定律對兩兩獨立的隨機變量序列依然成立.之后,Chandra和Goswami (2006)[10]又提出了一組更一般的可積性的概念,稱為殘差Cesàroα-可積和殘差Cesàro (α,p)-可積,得到了若干相依隨機變量序列的Lp收斂定理和強大數定律.

近年來,對隨機變量序列一致可積性在統計意義上的推廣的研究引起了許多學者的極大興趣.例如,Antonini等(2019)[11]定義了隨機變量序列A-統計一致可積的概念,這個概念比經典的一致可積更一般,且給出了A-統計一致可積的一些性質.Cabrera等(2020)[12]提出了隨機變量序列基于{ank}的B-統計一致可積的概念(簡稱BUI).在B-統計一致可積條件下,得到了兩兩獨立的隨機變量序列的加權和ank(Xk-EXk)的統計意義上平均收斂的大數定律.

雖然從統計意義上對可積性進行推廣的研究有著重要的意義,但關于B-統計的可積性還未見討論,這里“B”是一個非負正則可和矩陣.眾所周知,可和性理論可以使非收斂級數或序列在更一般的意義上收斂.因此,它在概率論極限理論中有著廣泛的應用(具體可見Cabrera等(2022)[13];ünver等(2017)[14]).本文中,引入了一個非負正則可和矩陣“B”來定義一類新的概念:基于{ani}的B-統計-α-可積(BI(α)),基于{ani}的殘差B-統計-α-可積(RBI(α))和基于{ani}的殘差B-統計-(α,p)-可積(RBI(α,p)).這些概念都要比基于{ank}的B-統計一致可積(見Cabrera等(2020)[12])和Cesàroα-可積(見Chandra和Goswami(2003)[9])更一般.此外,還得到了ani(Xi-EXi)和aniXi的B-統計p階平均收斂定理,這是對Cabrera等(2020)[12]的結果的推廣.

本文結構如下:§2給出了一些符號的含義,基本的定義和所需要的引理;§3給出了本文的主要結果和證明,包括B-統計平均收斂的大數定律及一些推論.

§2 預備知識

實數M稱為序列{xk}的一個B-統計上界,如果δB({k ∈N :xk>M})=0.且{xk}稱為B-統計有上界的序列.所有B-統計上界構成的集合的下確界稱為{xk}的B-統計上確界,記為

如果對任意的ε>0,有

則稱序列{xk}是B-統計收斂到實數α的,記為stB-limk→∞xk=α.

定義2.2[12]稱隨機變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統計一致可積(BUI)的,如果

現在給出一些新的可積性的定義,這些可積比BUI更具有一般性.

定義2.3令α ∈(0,∞),稱隨機變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統計-α-可積(BI(α))的,如果以下兩個條件成立:

注2.1顯然對β>α>0,若序列是BI(α)的,則一定也是BI(β)的.

在定理3.1中,證明了BI(α)(α>0)的條件比BUI弱,也就是說對所有的α>0,滿足BUI的隨機變量序列一定是BI(α)的.

定義2.4令α ∈(0,∞),稱隨機變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的殘差B-統計-α-可積(RBI(α))的,如果以下兩個條件成立:

定義2.5令α ∈(0,∞)p ∈(0,∞),稱隨機變量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-統計-(α,p)-可積(RBI(α,p))的,如果以下兩個條件成立:

注2.3不難看出,當p=1時,RBI(α,1)與RBI(α)等價.此外,若隨機變量序列{|Xi|p,i ∈N}是BI(β)的,則{Xi,i ∈N}一定是RBI(α,p)的,其中α=β/p.

在給出下列引理之前,先介紹一下B-統計p階平均收斂的概念.設p ≥1,稱隨機變量序列{Xi,i ∈N}是B-統計p階平均收斂于隨機變量X的,如果

§3 主要結果

定理3.1若隨機變量序列{Xi,i ∈N}是BUI的,則對任意的α>0,它都是BI(α)的.

證如果{Xi,i ∈N}是BUI的,則存在λ,0<λ<∞,使得

由引理2.2可知存在一個Borel可測函數φ:(0,∞)→(0,∞),使得

定理3.2假設兩兩獨立的隨機變量序列{Xi,i ∈N}是BI(α)的.令實數陣列{ani}滿足

由序列的兩兩獨立性可得

推論3.1如果定理3.2中的條件BI(α)替換為較弱的RBI(α),結論仍然成立.

注意到{Zi,i ∈N}也是一個鞅差序列且

因此對任意的ε>0有

注3.1若非負正則可和矩陣B是單位矩陣,則由定理3.5可立即推得[10]中的定理3.1.這說明定理3.5是其定理3.1的推廣.