對數Bloch空間上的乘子和循環元

周智慧,葉善力

(浙江科技學院 理學院,浙江杭州 310023)

§1 引言

令D表示復平面上的單位開圓盤,H(D)表示D上的所有解析函數構成的集合.

對于α>0,如果f ∈H(D),且滿足

對于α ∈R,如果f ∈H(D)且滿足

假設X和Y均為解析函數空間,若存在解析函數g使得對所有的f ∈X,均有fg ∈Y,則稱g是從X到Y上的點乘子.用M(X,Y)表示從X到Y上所有點乘子構成的集合,特別記M(X)=M(X,X).用Mg表示由乘子g確定的算子,即對于任意f ∈X,Mgf=gf.由閉圖像定理可得,Mg是從X到Y上的有界線性算子,即‖Mg‖<∞.

令X為H(D)上的一個Banach空間且滿足多項式是X上的范數稠密(或者弱?稠密)子集.若函數f ∈X使得多項式乘子與f的乘積生成的閉空間與X一致,那么就稱f為X的(弱?)循環元.Beurling[8]于1949年給出了Hardy空間H2上循環元的一個完整刻劃,這引起了諸多學者對循環元問題的廣泛研究.其中,Brown和Shields[9]討論了Dirichlet空間上的循環元,他們得到了大量結果并提出了許多開放性問題.一些學者針對這些問題做了許多相關研究,見[6-7,10-17].在2021年,Bekker和Cimasuch[18]證明了某些函數族的導數是Bergman空間A2的循環元.本文的第二個作者關于循環元問題也做了諸多工作,分別在[5],[19]中得到了α-Bloch空間Bα上循環元的一些充分條件以及上循環元的一個充要條件.更多關于Hardy空間和Bergman空間的理論知識可分別參見[20]和[21].假設f ∈由對偶討論可知f是的循環元當且僅當f是BLα的弱?循環元.§4討論了BLα上的循環元的一些性質.

在本文中,定義C為一個僅依賴于無關變量的正常數,且在不同情景下可以取不同值.記號a ～b表示存在常數C>0使得a/C ≤b ≤Ca.

§2 預備知識

本節給出一些在后續工作中所需要的預備知識.

由定義可驗證f ∈BLα,這就說明該必要條件在一定意義下是最優的.

引理2.4假設α>0,

(i) 如果α>1,則BLα ?A,其中A表示在D上解析且連續到邊界的函數構成的集合.

(ii) 如果1/2<α ≤1,則BLα ?VMOA?∩0

(iii) 如果0<α ≤1/2,則對任意p>0,有BLαHp.

證(i) 該證明與文[20]中定理5.1類似,在此忽略.

(ii) 該證明與文[5]中命題3.5類似,在此忽略.

(iii) 首先回顧一下缺項級數的定義.如果

證(i) 利用積分公式直接計算可得.(ii) 利用三角不等式及引理2.4可得.

引理2.7假設α>0,

(i) 如果{fn}?BLα,那么fn弱?收斂于0當且僅當對任意z ∈D,有

(ii) 如果{ft} ?BLα,0

證文[4]證明了BLα同構于一個共軛Banach空間.利用[9]的命題2即可證(i).利用(i)可以推出(ii).

引理2.8(見[19]) 如果f ∈A,那么f關于范數拓撲成為A的循環元當且僅當f在單位閉圓盤上沒有零點.

§3 α-對數Bloch空間上的點乘子

將分別從下面三種情況進行討論.

情形1α<β<1.由于β<1,由(1)和不等式

因此當|z0|→1-時,|g(z0)|→0.由最大模原則即可得證.

情形2 1<α<β.注意到BLβ ?BLα,利用定理3.1,則

于是BLβ ?M(BLα,BLβ).

§4 α-對數Bloch空間上的循環元

由三角不等式易得supI1≤2‖f‖Lα.為證supI2≤C,考慮α>1,α=1兩種情況.

定理4.1設α>1且f ∈BLα.則f是BLα的循環元當且僅當f在單位閉圓盤上沒有零點.

證假設α>1且f是BLα的循環元.利用命題2.2,有BLα ?A.由[9,命題6]知f是A的循環元.進而,利用引理2.8可知f在單位閉圓盤上沒有零點.

另一方面,因為f在單位閉圓盤上連續且沒有零點,故存在C>0使得對任意z ∈D,有|f(z)|≥C.由命題4.2可得f是BLα的循環元.

由定理4.1,可以得到下面兩個推論.

推論4.1假設α>1.如果f,f-1∈BLα,那么f和f-1均是BLα的循環元.

推論4.2假設α>1,f,g ∈BLα.如果對任意z ∈D,|f(z)|≥|g(z)|且g是BLα的循環元,那么f是BLα的循環元.

定理4.2如果1/2<α ≤1且f是BLα的循環元.那么f是一個外函數.

證由引理2.4知,當1/2<α ≤1時BLα ?H2.Beurling[8]證明了如果g ∈H2,那么g是H2的循環元當且僅當g沒有內函數因子.因此由[9,命題6]知f是外函數.