一類免碰撞編隊集群模型

肖宏琪,肖其珍,劉宏亮

(南華大學 數理學院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

(1)

f:(d0,∞)→[0,∞)滿足局部利普希茨連續條件,且

(2)f(r)=0,r≥d1,

其中d0,d1為常數。而φ具有如下形式

是否存在滿足某種條件的k將決定系統(1)能否形成目標編隊。本文受到參考文獻[10]的啟發,考慮一類非線性多智能體系統的免碰撞編隊問題。

1 模型介紹和預備知識

1.1 模型介紹

(2)

定義1 對于初值(x0,v0),系統(2)形成了免碰撞集群指的是

存在C1,C2>0,使得

1.2 圖論知識

一般多智能體系統的拓撲結構可以由代數圖來刻畫,用點表示智能體,而連線表示智能體之間的通信。本文中考慮的所有圖均是有限的簡單圖,其他未說明的概念和術語參見參考文獻[11]。

圖是指一個有序三元組(V(G),E(G),ψ(G))。集合V(G)表示圖G的點集,其中元素稱為圖G的點或頂點;集合E(G)表示圖G的邊集,其中元素稱為圖G的邊;ψ(G)是關聯函數,它使G的每條邊對應于G的無序頂點對。若兩個頂點是一條邊的兩個端點,則稱這兩個點是相鄰的。若一個點是一條邊的某個端點,則稱這個點與這條邊相關聯。若以兩個點為端點的邊的數目大于兩條,則稱這些邊為重邊。不含重邊的圖稱為簡單圖。

圖G中的一條途徑是指有限的相關聯的點邊序列v0e1v1e2v2e3v3…vk-1ekvk。若途徑中出現的邊均不相同,頂點也不相同,則稱這條跡為路。若圖G中任意兩個點之間總有一條路連接這兩個點,則稱圖G是連通的。頂點vi的相鄰頂點集合記為Ni,本文用j∈Ni表示vj是vi的鄰居。對于相關聯的點邊序列vieivj在本文中直接用(i,j)表示邊ei。在本文中,無向圖G中當(i,j)∈E(G)時,(j,i)∈E(G)。

1.3 幾個引理

對系統

(3)

有如下結論

引理2[13]在系統(3)中,f(t,x)關于t分段連續,關于x滿足局部利普希茨條件即對任意x,y∈B={x∈Rn|‖x-x0‖≤r},任意t∈[t0,t1],存在常數L有

‖f(t,x)-f(t,y)‖≤L‖x-y‖,

那么存在ω>0,使得系統(3)在[t0,t0+ω]存在唯一解。

引理3[13]假設W為D?Rn的一個緊子集,對任意的x∈D和t>t0,f(t,x)關于t都是分段連續的,關于x都滿足局部利普希茨條件。若當x0∈W時,系統(3)的解都位于W內,則系統(3)在t>t0上存在唯一解。

2 主要結論

本小節,給出主要結論。

(a)先考慮

(4)

此時,有

記

于是,系統(2)取控制器(4)可改寫成

(5)

此時取能量函數

(6)

為了證明定理1先給出以下引理,即對于系統(2)取控制器(4)來說,E(x(t),v(t))是一個關于t的單調減函數。

引理4 假設(x(t),v(t))在t∈[0,T)上是系統(2)取控制器(4)的一個解,其中0

即E(x(t),v(t))是一個關于t的單調遞減函數。

證明:對于0≤t

聯立式(6),有

‖vi-vj‖2。

證畢。

下面給出定理1的證明。

否則與fij性質(f1),(f2),(f3),(f4)矛盾。

所以當0≤t≤T時,fij(‖xi-xj‖2)有界。且存在一個正數φ0使得

0<φ0≤φ(‖xi-xj‖)<∞。

(7)

同時有:

這表明

即‖vi‖有界,那么‖vi-vj‖有界,故存在M>0使得

(8)

表明T=+∞。對于系統(2)取控制器(4)的解(x(t),v(t))(0

注意到系統(2)取控制器(4)的右端部分在開集D中連續(D∶={(x,v)∈RmN×RmN:d0<‖Xi-Xj‖,i≠j}),顯然Ω?D。根據引理3知道系統(2)取控制器(4)的解在T=+∞時存在且唯一。

接下來證明各智能體速度趨于一致。由引理4有

‖vi-vj‖2ds≤E(0)。

聯立式(7),同時E(x(0),v(0))≥0,又由于G是連通圖,則對于i,j∈V(G)有

從而

(b)當m=1時,控制輸入ui分別取

(9)

其中fij定義與(a)中fij定義一致。

此時,有

證明:對于系統(2)取控制器(9),假設,x1(0)>…>xN(0)(或者x1(0)<…

u1=f12((x1-x2)2)(x1-x2),

ui=fi(i-1)((xi-xi-1)2)(xi-xi-1)+

fi(i+1)((xi-xi+1)2)(xi-xi+1)(1

uN=fN(N-1)((xN-xN-1)2)(xN-xN-1),

3 舉例和仿真

在本節使用matlab給出仿真實例驗證理論結果。

(10)

對于系統(10),取9個二維中的粒子,各個維度對應的連接矩陣均為如下

圖1有4張分圖,圖1(a)表示各智能體初始位置;圖1(b)表示t=15時,各智能體位置;圖1(c)表示t=30,各智能體位置;圖1(d)表示t=300,各智能體位置,并且此時智能體形成了一個“中”字形。

圖1 智能體的位移

從圖2中可以看到所有的時間t都有d(t)>0;即智能體之間不會發生碰撞。

圖2 粒子的最小位移差

圖3有2張圖,圖3(a)表示各智能體x維度上速度變化;圖3(b)表示各智能體y維度上速度變化,可以看出來各智能體速度趨于一致。

圖3 智能體的速度

4 結 論

在滿足一定條件下,一類粒子間鍵合力(a)將使得多智能體系統達到免碰撞集群,在此基礎上,得到了在滿足一定條件下,一類粒子間作用力(b)將使得智能體在1維空間內避免碰撞,同時形成特定編隊。也就是說如果智能體系統在各個維度均有此類作用力,那么將在多維形成特定編隊。