循序漸進重探究 巧用變式促提升

張詩逸

一、教學內容分析

比例線段作為滬教版九年級第一冊“相似三角形”章節中的重要知識點，不僅是探究相似三角形基本理論及應用的出發點，更是中考綜合題的高頻考點。本課為初三專題復習課，比例線段特別是平行線分線段成比例定理在知識內容上困難不大。通過習題練習，學生對解決含有平行線的圖形中比例線段問題具有一定的熟練度。然而，比例線段并不作為單一考點出現，常常與函數或幾何圖形相結合，許多學生感到很難找到思路，無法做到融會貫通。本文的專題教學針對以上情況，由簡單圖形入手，與學生共同探索圖形的本質結構，合理引入添加輔助線轉化問題的思想。同時結合2020中考壓軸題，并巧妙運用變式練習讓學生在類比中得到啟發，加深學生對比例線段的理解。

二、學情分析

本堂課在兩個班進行授課，兩個班的數學基礎一般，解題時簡單題目可以解決，但對大題有畏懼心理?！断嗨迫切巍氛鹿潈热菀咽谡n完畢，進入本章的復習階段，“A”字型與“8”字型等基本圖形在平時授課已提及，學生對此有一定認識和運用，然而當本章知識點與其他題目相融合，學生不易識別出基本圖形，解題較無頭緒。

三、教學目標

知識與技能：復習鞏固平行線分線段成比例定理，并能熟練構造“A”字型和“8”字型基本圖形處理比例線段問題，解決綜合題中線段長度以及線段之比等計算。

過程與方法：學生經歷解決幾何或函數綜合題中含有比例線段，總結輔助線常見添法的過程，培養與發展學生分析和解決問題能力，對比和概括的邏輯思維能力，體會類比、轉化、方程、分類討論等數學思想。

情感態度價值觀：學生經歷操作、觀察、討論等數學活動，進一步體會數學的價值以及解題過程中的思維方法，樹立解決綜合題的信心。

教學重難點：對幾何圖形或函數中給定的條件進行分析，添加輔助線求出比例線段相關問題。在知識的生成過程中達到培養學生觀察、類比的能力，確定比例線段綜合題的解決思路。

四、課程實錄

本節課在兩個班進行了教學，完成第一個班級試講后，針對課堂實際出現的問題對教學設計進行了修改，之后在第二個班級完成了教學?，F將兩次授課中的一些片段重現，并對此進行反思和評析。

教法一：

（一）復習舊知，引入課題

1.平行線分線段成比例定理復習

師：課前練習1的圖中DE∥BC，請列出圖中所有的比例線段。

大部分學生都能回答全面。

師：大家觀察一下這兩個平行相似模型，根據圖形特征我們可以稱作什么型？

生：這兩個常見的平行相似模型，我們可以根據圖形特征稱為“A”字型與“8”字型。

2.課前練習2

師：請大家看課前練習2，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于點D，點E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長交AC于點F，則線段AF長為_____。

師：線段AF為線段AC上的一段，線段AC長度已知，若能求出線段AC上各線段之比，線段AF長度可求。運用什么方法可以將邊AC各段之比表示出來？

生：利用平行相似模型求線段比值。（只有少數幾個同學作答）

師：找一找圖中有基本圖形嗎？

生：沒有，需要自己構造。

師：我們如何添加輔助線構造基本圖形呢？

生沉默了較長一段時間，考慮到時間關系，師只能先提出并演示圖4這種方法。

師：除了老師的這種方法，你還有其他構造方法嗎？

少數學生提出可以過點D往另一邊作平行線，但基本沒有學生想到過其他節點作平行線。老師粗略地提示了其他輔助線作法后，進入例題講解。

（二）師生互動，講解例題

1.例題1：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D。

（1）求證：∠BAC=2∠ABD；

（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大??；

（3）當AD=2，CD=3時，求邊BC的長。

老師分析：第（1）問考查圓與等腰三角形的基本性質，第（2）問需對等腰三角形情況進行分類討論，前兩問由學生獨立完成，老師給出了解析并評價。前兩問上學生所花時間比預期更長，格式也沒有詳細地書寫與強調。

師：請大家先獨立思考完成第（3）問，給大家5分鐘的小組討論時間，同組之間交流一下不同的解法。

學生進行討論，巡視過程中發現大部分小組探討并不激烈，沒有思路的情況較多，需要老師點撥才能動起來。

師根據課堂情況再次提示：大家觀察一下這一問的圖形與課前練習2的圖形有什么關聯嗎？

部分學生：這一問就是把課前練習的三角形放到了圓當中，圖形是類似的。

師：討論時間到，現在小組代表為我們解說一下輔助線及做法。

兩個小組較為積極，匯報了多種情況。然而其余小組反應不積極，只是聽同學匯報。

師：無論是哪種方法，根本出發點是什么？

生：添加平行線促成分線段成比例。

師：通常我們能構造什么基本圖形？

生：通常是構造“A”與“8”字型。

2.例題2：矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點M，N，求MN的長.

師：要求MN的長度，我們可以首先通過求什么得到？

生：線段AF的長度容易求，只需要知道線段AF各段之比就可以了。

師：那么我們就把問題轉化成比例線段問題了。圖中的矩形有什么特征？

生：矩形的對邊是互相平行的，可以構造平行相似模型求比例線段。

師：請同學們在學案上完成，一名同學展示結果。

師在巡視過程中發現大部分同學在輔助線添法上就被困住了，獨立完成較為困難。大部分同學基本完成后，師挑選一名同學的結果進行多媒體展示。

師：例題2將例題1中的圖形與矩形相結合了，你能說一說這種類型題的解題思路嗎？

生：求線段比值或長度等比例線段問題，可以通過添加平行線構造基本圖形。

鞏固練習與課堂小結等環節略。

教法二：

（一）復習舊知，引入課題

1.平行線分線段成比例定理復習

此部分與教法一相同。

2.課前練習2：已知：點E在平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上，AE交BD于點F，交DC于點G；求證：AF2=FE·FG。

3.課前練習3：已知：E是正方形ABCD的邊AB延長線上的一點，DE交BC于F，FG∥DC交EC于G；求證：FG= FB。

通過兩道含有平行線的簡單習題，大部分學生都能運用基本圖形解決。

師：這兩道習題中包含了什么基本圖形？

生：課前練習2中包含了“8”字型，課前練習3中包含了“A”字型。

（二）例題精講

1.例題1：△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于點D，點E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長交AC于點F。

（1）求AF：FC的比值；（2）求AF的長度。

師：線段AD與BD上各段之比已知，如何將這些比例轉化到線段AC上？

生：可以利用相似模型求出線段比值。

師：尋找一下圖中有我們常見的相似基本圖形嗎？

生：沒有，需要自己構造。

師：如何構造基本圖形呢？想一想我們課前練習是如何完成的？

生：課前練習的圖中都包含平行線，可以添加平行線構成相似基本圖形。

師：我們過什么點作平行線比較合適？觀察圖中哪個點比較特殊？

生：點D是線段BC的中點，過這個點作平行線不會破壞比例關系。

師：根據同學們的想法，老師過點D作BF的平行線，接下去怎么完成？

絕大多數學生都有思路，請一名學生進行作答，并板書詳細過程。

師：除了這種方法，還有其他輔助線作法嗎？試一試過其他點作平行線可行嗎？

學生根據提示發掘出多種輔助線作法，學生交流展示思考結果，鼓勵一題多解。

2.例題2：（中考鏈接—2020中考卷25題）：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D，當AD=2，CD=3時，求邊BC的長。

師：觀察例題2與例題1的圖形和條件，可以通過什么方法求出線段長度？

生：例題2的圖形，就是例題1的三角形放入了圓中。仍舊可以構造平行相似基本模型得到線段比值和長度。

師：請大家先獨立思考，之后給大家3分鐘時間小組討論，交流不同的解法。

老師巡視完成情況，基本每名學生都能有2種及以上的方法，小組討論過程中氣氛比較熱烈。討論結束后，師代表匯報輔助線及做法，并給予肯定的評價。

師：大家的方法非常豐富，無論哪種方法，我們解決這類問題的根本出發點是什么？

生：添加平行線促成分線段成比例，且通常是構造“A”與“8”字型。

五、課程反思與評析

（一）教學反思

通過兩堂課的對比，不難發現第一堂課是失敗的，針對問題進行修改完善之后，第二堂課才達到了一定的效果。經過這兩節課的教學，我對教學設計和課堂環節進行了如下反思。

首先，第一次試講的課前引入環節，只是回顧了兩個平行相似基本模型，就急于讓學生直接進入添加輔助線的解題中，沒有過渡習題，學生很難將基本圖形與實際運用結合到一起，間接影響到后面的上課效果與進度。第二次授課我在課前引入中增加了兩道相關習題，讓學生逐漸進入狀態，不再是突兀地引出輔助線作法。

第二，第一次試講中的課前練習2這道習題放在引入環節中不合適，講解得太過倉促并且不夠細致，導致學生聽得也稀里糊涂，無法感受這道題的意義所在。因此第二次授課時，我將此題放入到例題講解中，引導學生充分剖析圖形，為引出“2020上海中考壓軸題”解法做鋪墊。同時鼓勵學生不拘泥于一種解法，從交流成果中體會“一題多解”的樂趣，激發學生學習的興趣和欲望。相比第一次試講，第二堂課在這道題上花了更多的時間，然而根據課堂效果來看，這道題的探索為后面的授課達到了事半功倍的效果。

第三，第二次授課時刪除了中考鏈接題中的前兩問，由于前兩問與本堂課的重難點關聯不大，因此主要將重心側重于第三問的解答中。值得注意的是，通過例題1的分析，大部分學生能馬上反應過來例題1與例題 2的關聯性，教學過程比第一次試講更加順暢，課堂氛圍更加熱烈。

最后，第二堂課中增加了一道例題，且此題是中考鏈接題的變式練習，在進一步對比歸納，揭示解題思路的同時，還引導學生尋找做題過程中的問題，共同探索解題技巧，優化做題方法，提升數學核心素養。

（二）課程價值

1.思維引導

數學復習課是教學重要環節之一，如果只對單一習題進行講解而不幫助學生建立知識之間的聯系，達不到在復習中吃透知識點并舉一反三的效果，學生在題海戰術中的積極性無法被調動起來，甚至會對綜合題產生畏怯心理。第二次授課的設計不急于直接引入中考壓軸題，為了讓學生更好地感知比例線段與其他知識點整合時的解題思路，由淺入深層層遞進，從例題1的簡單圖形入手，注重思維引導而非直接給出輔助線添法。與此同時，鼓勵學生自主探索和合作交流，在互動中體會一題多解的樂趣，真正做到“新課標”所要求的“讓學生成為課堂的主人”?；趯A圖形的深層次分析，例題2的中考鏈接題就迎刃而解，學生進一步體會比例線段應用中添加平行線構造基本圖形的規律，增強學生學習的自信。

2.巧用變式訓練，提高核心素養

第二次課時旨在通過變式練習這一有效的教學方式，讓學生掌握比例線段應用中的數學方法以及解決問題的策略。例題1與例題2在圖形與條件上有不變也有變，利用類比可得出結論，讓學生在“變”中總結解題方法；例題2變式以及鞏固練習將圖形與函數或幾何相結合，是比例線段與等腰三角形、勾股定理的綜合運用，逐步把問題引向深處。學生通過變式訓練不僅掌握了比例線段問題中靈活解題的方法，在探究過程中還培養了學生類比歸納的邏輯推理能力，核心素養的提升將影響學生今后學習或生活的方方面面。