圖2
g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解, 務必確保f(x) ≥g(x),由f(x) ≥g(x)在區間D內解出一個區間C,在區間C求g(x)的最小值g(x)min和f(x)的最大值f(x)max. 否則,x的取值區間有可能就被放大了,從而導致g(x)的最小值可能被縮小,f(x)的最大值可能被放大.
通過上面的研究,便得到解決“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內有解”這類題型的一般步驟如下:
第一步,控制區間: 在區間D內解不等式f(x) ≥g(x),設其解集為C;
第二步,求出最值: 在區間C內,如果g(x)存在最小值,f(x)存在最大值,那么求g(x)的最小值g(x)min和f(x)的最大值f(x)max;
第三步,得出結論:g(x)min≤a≤f(x)max.
對于f(x)和g(x)在區間內最值不存在的情況,一般可以考慮趨向于某個常數或者無窮大來處理此類問題. 后文碰到此類情況,類似處理,不再贅述.
現在回到前面的題目,便可以得到此題的另一種正確解法:
解法2x2?2ax>4?a2?(x?a)2>4?ax+2,由題意知ax+2 在區間[0,1]內恒成立,其否定形式為:x?2 ≤a≤x+2 在區間[0,1]內有解,由得0 ≤x≤1,在區間[0,1]內,(x?2)min= ?2,(x+2)max= 3,所以當x?2 ≤a≤x+2在區間[0,1]內有解時,?2 ≤a≤3,因此原題中a的取值范圍是(?∞,?2)∪(3,+∞).
上面在由條件f(x) ≥g(x)控制的區間C內去求g(x)的最小值和f(x)的最大值,其實都是在區間C是連續區間的情況下探討的. 如果區間C是多個連續小區間的并集,那么只要在每個小區間上分別去求參數a的取值范圍,最后將它們取并集即為所求.
直到現在, 估計大家還有一個疑問, 既然“af(x)在區間D內恒成立”不一定等價于“af(x)在區間D內恒成立”,那為什么那位同學算到的最終結果又是正確的呢?
此時,再來一題,看計算的結果是否一樣.
例1若a<6x?2 或a>x+2 在x∈[0,1]內恒成立,則實數a的取值范圍是____.
錯解因為a< 6x?2 或a>x+ 2 在x∈[0,1]內恒成立, 所以a< 6x?2 區間x∈[0,1] 內恒成立或a>x+2 區間x∈[0,1]內恒成立,所以a< (6x?2)min=?2 或a> (x+2)max= 3, 因此實數a的取值范圍為(?∞,?2)∪(3,+∞).
3 拓展延伸
上面已經探討了“af(x) 在區間D內恒成立”問題和“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解”問題, 接下來在上面的基礎上, 將問題延伸到“a≤g(x) 或a≥f(x)在區間D內有解”和“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內恒成立”繼續探究, 以期解決“a≤g(x) 或a≥f(x)”和“g(x) ≤a≤f(x)”這兩類含參數的不等式有解與恒成立問題.
3.1 g(x)≤a≤f(x)在區間D內恒成立
類似于解決“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內有解”問題,很多學生容易得出“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內恒成立”的解題步驟:
第一步,控制區間: 在區間D內解不等式f(x) ≥g(x),設其解集為C;
第二步,求出最值: 在區間C內,如果g(x)存在最大值,f(x)存在最小值,那么求g(x)的最大值g(x)max和f(x)的最小值f(x)min;
第三步,得出結論:g(x)max≤a≤f(x)min.
從正確與否的角度來看, 這種解題步驟是沒有問題的. 但從解題步驟的簡潔性來說, 這種解題步驟還有待簡化. “g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內恒成立”已經確保了“f(x) ≥g(x) 在區間D內恒成立”. 所以, 第一步在區間D內不等式f(x) ≥g(x) 的解集C毫無疑問就等于D. 因此,在區間D內,若f(x)存在最小值,g(x)存在最大值, 則“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內恒成立”直接等價于“g(x)max≤a≤f(x)min”,無需由f(x) ≥g(x)在區間D內重新控制一個約束區間,給計算帶來沒有必要的麻煩.
例2若關于x的不等式|a?3x?1| ≤2x2在區間[1,2]內恒成立,則實數a的取值范圍是____.
解|a?3x?1| ≤2x2??2x2+ 3x+ 1 ≤a≤2x2+ 3x+ 1. 在區間[1,2] 內,(?2x2+3x+1)max= 2,(2x2+3x+1)min=6. 因此a的取值范圍是[2,6].
3.2 a≤g(x)或a≥f(x)在區間D內有解