Rabi和Ramsey原子光譜最優測量點的選取

吳嘉瑜，張秀榮，李衛東

（1.山西大學 理論物理研究所，山西 太原 030006；2.山西大學 物理電子工程學院，山西 太原 030006；3.深圳技術大學 工程物理學院，先進材料診斷技術中心，超強激光與先進材料技術深圳重點實驗室，廣東 深圳 518118；4.廣東省量子科學技術與工程重點實驗室（南方科技大學），廣東 深圳 518055）

0 引言

原子鐘在全球定位系統、精確打擊武器、信息高速公路等方面起著關鍵的作用［1-4］。它的精度是反映國家戰略競爭力的重要標志之一［5］。目前，最先進的原子鐘利用單離子的光躍遷［6］或者是光晶格中原子云的躍遷譜線［7］，其不確定度可達10-18至10-19量級［8-9］。而各種原子鐘一般是通過Rabi 或Ramsey 過程，將本地振蕩器的頻率鎖定到量子參考體系（通常是兩能級原子）的躍遷頻率上［10］。在不考慮其他因素的條件下，參考體系躍遷譜線的線寬越窄，原子鐘的性能越好［11-14］。但是在實際的光譜測量中，由于實驗條件的限制和外界因素的干擾，一般會根據光譜的對稱性，測量失諧量大小相同的兩點處原子的躍遷幾率，來確定躍遷頻率。這樣往往不能測量得到完整Rabi 光譜，因而不能準確地反映光譜的半高全寬，導致量子參考體系的品質因數降低，因此光譜測量點的選取決定了原子鐘的精度［11］，而Fisher 信息值的大小與最佳測量點有關。

在測量中，通常認為測量結果僅能提供被測量事件的近似情況，即僅能無限接近真值［15］。變量的統計估計存在一個最低的極限，這個極限就是Cramer-Rao 下界（CRB），其與Fisher 早些年提出的Fisher 信息有直接關系——Cramer-Rao 下界至少大于Fisher 信息的倒數［13］。在量子測量中，如果人們考慮所有可能的量子測量條件，此時的Fisher 信息的最大值被稱為量子Fisher 信息［16］。Fisher 信息被公認為是一種標度測量精度的有效物理量，廣泛地應用于精密測量領域，利用量子Fisher 信息對于重力加速度測量精度的評估、對于弱測量參數的評估等都取得較為滿意的結果［16-20］。因此，我們將量子Fisher 信息引入Rabi 光譜和Ramsey 光譜最優測量條件的研究，以提高原子鐘的精度。

本文首先介紹二能級原子模型、Rabi 振蕩和Ramsey 過程以及Rabi 和Ramsey 光譜；接著介紹量子投影方式下的量子Fisher 信息，以及利用Rabi 光譜和Ramsey 光譜，討論系統參數對量子Fisher 信息的影響，得到最優測量條件；最后一部分是總結。

1 Rabi光譜和Ramsey光譜

1.1 Rabi振蕩和Rabi光譜

c1(t)，c2(t)是任意時刻體系處于的幾率幅，在電偶極近似和旋波近似下，體系的哈密頓量可表示為

其中2b為Rabi 頻率，代表電磁場和系統的耦合強度，ω是電磁場頻率。通過解析求解關于c1(t)，c2(t)的微分方程可以得到波函數的通解

其中，A和B為待定參數，由初態條件決定；，失諧量Δ=ω0-ω是原子頻率和振蕩場頻率的差值。

如果體系的初態為基態，則系統在任意時刻的波函數為

其中，cosθ=Δ/a，sinθ=2b/a。我們可以知道任意時刻體系處于態的概率為

由（4）式可知，布居率P2隨時間做周期振蕩，此即Rabi 振蕩。在圖1（a）中，我們展示了不同失諧時的Rabi 振蕩，其振蕩幅度和周期均不相同，共振時（Δ=0）Rabi 振蕩的幅度最大，周期最長。

圖1 （a）Rabi振蕩；（b）Rabi譜Fig.1 (a) Rabi oscillation;(b) Rabi spectrum

對于確定的時間t，布居率P2隨失諧量Δ 變化的圖像稱為Rabi 光譜，如圖1（b）所示，選取了一些特定時刻的Rabi 光譜（所選時刻在圖1（a）中用虛線標記）。在t＜π/(2b)的范圍內，所有Rabi 譜線均在共振處占據率P2取得最大值，同時t越大與之對應的Rabi 光譜在共振處的幅度越大。若在t＞π/(2b) 的某些時刻測量，則最大峰值不在共振處取得，共振峰幅度低于其他峰，但譜線仍是對稱的。測量時我們需要確保最大峰值出現在共振處，因此，最佳測量時刻是在π/(2b)前，且時刻愈晚愈佳。

1.2 Ramsey技術和Ramsey光譜

原子鐘參考體系的制備除了Rabi 激發，還有Ramsey 干涉儀。Ramsey 干涉儀的過程也被稱為分離振蕩場技術［21-22］，具體過程可分為三個階段：（1）對原子體系施加π/2 脈沖，即電磁場作用時長為τ=π/(4b)；（2）關閉電磁場，讓體系自由演化一段時間，稱為間歇時間T；（3）再次施加電磁場，持續時間τ以后測量躍遷譜線。當系統的初態是基態，即c1(0)=1、c2(0)=0，根據式（2）可以得到系統在任意時刻的波函數。在t=T+2τ時刻，系統處于態的概率為

對于Ramsey 過程，布居率P2隨失諧量Δ 變化的圖像稱為Ramsey 光譜，如圖2 所示，（a）、（b）分別為T=5/(2b)，T=10/(2b) 時的Ramsey 譜。通過對比圖1（b）和圖2，可見在相同外場條件時，Ramsey 光譜比Rabi 光譜的線寬更窄，而且間歇時間越長，Ramsey 譜線線寬越窄。

圖2 Ramsey譜線 （a） T=5/（2b）； （b） T=10/（2b）Fig.2 Ramsey spectrum (a) T=5/(2b); (b) T=10/(2b)

2 量子Fisher信息在光譜中的應用

2.1 量子Fisher信息在Rabi光譜中的應用

在利用Rabi 光譜和Ramsey 光譜進行測量時，實驗系統的躍遷譜線半高寬越窄，原子鐘系統的穩定度越高。如前所述，實驗在失諧量大小相同的兩點處測量原子的躍遷幾率時，我們希望用量子Fisher 信息指出最佳測量點。由于系統是一個二能級原子體系，符合量子投影測量，此條件下的Fisher 信息值公式為［18，23］

量子Fisher 信息是Fisher 信息的最大值，實驗精度是量子Fisher 信息值的倒數，所以量子Fisher信息值越大，測量精度越高。

依據公式（6），在Rabi 譜中Fisher 信息公式的具體形式為

不同時刻Rabi 光譜的Fisher 信息隨失諧量的變化如圖3 所示，隨著時間的推移，量子Fisher 信息值越來越大，測量精度越來越高，因此與分析線寬得到的結論一致，相互作用時間越接近π/(2b)，測量精度越高。

圖3 不同t時，Fisher信息隨失諧量變化曲線Fig.3 Variation curve of Fisher information with detuning at different time

從圖3 中可以看到，最大Fisher 信息值即量子Fisher 信息出現在共振峰的側腰位置，其位置在圖1（b）中用箭頭標出，此時對應的失諧量是實際光譜測量時的最佳位置。量子Fisher 信息對應失諧量隨時間的變化趨勢，從圖4 可以更直觀地觀察到，有助于實驗時更快找到最佳測量位置。

圖4 Rabi光譜量子Fisher信息對應失諧量與時間關系Fig.4 Relationship between the detuning and time corresponding to quantum Fisher information of Rabi spectrum

因此，通過分析Rabi 光譜的量子Fisher 信息，能夠得出Rabi 光譜的最優探測條件是相互作用時間接近π/(2b)，并且可以確定出最優測量位置。

2.2 量子Fisher信息在Ramsey光譜中的應用

我們將圖2 中Ramsey 光譜的共振峰單獨取出，如圖5 所示，隨著間歇時間的增大，可以更直觀地看到Ramsey 光譜共振峰的線寬是逐漸減小的，意味著可以由間歇時間控制Ramsey 光譜譜線的精度。對于Ramsey 光譜，由于共振處占據率恒等于1，所以此時不再是一個兩輸出測量，公式（6）失效；但是對于Ramsey 光譜的其余部分，仍然符合投影測量的條件，所以可用（6）式計算共振峰半高寬處的Fisher 信息，此時公式（6）變為

圖5 不同T時，Ramsey光譜的共振峰Fig.5 Various curves of resonance peak of Ramsey spectrum with different interval time T

其中d/2 是半高寬。不同T的Ramsey 光譜共振峰半高寬處的Fisher 信息值F(d/2)如表1 所示，隨著T的增大，半高寬處的Fisher 信息值也逐漸增加。與圖3 對比可知，Ramsey 光譜半高寬處的Fisher 信息值比Rabi 光譜的量子Fisher 信息值更大，代表著Ramsey 光譜具有更高的測量精度。

表1 不同間歇時間，Ramsey光譜共振峰半寬處與斜率最大處Fisher信息比較Table 1 Comparison of Fisher information at the half width of the resonance peak and the maximum slope of Ramsey spectrum at different interval time

在表1 中，我們還依次求取不同T時共振峰斜率最大處（表中用kmax表示斜率最大）的Fisher 信息值，與半高寬處的相應數據比較，斜率最大處Fisher 信息比半高寬處大，但是隨著T的增加，二者差距越來越小。所以可以認為Ramsey 譜線半高寬處的Fisher 信息近似為量子Fisher 信息，其失諧量就是最佳測量位置。

通過上述分析可知，在相同外場條件下，測量Ramsey 光譜可以獲得比Rabi 光譜更高的實驗精度，且間歇時間越大，精度越高；對于Ramsey 光譜，半高寬處可作為最佳測量點。

3 結論

本文通過解析求解與電磁場作用的二能級原子體系，基于Rabi 光譜和Ramsey 光譜計算了量子投影方式下的量子Fisher 信息值。由量子Fisher 信息可以得到，測量Rabi 譜時，最佳測量時間接近π/(2b)，并且指出最佳測量位置與作用時間的關系。在相同條件下，Ramsey 光譜通過延長兩腔之間的間歇時間，較Rabi 光譜進一步增加了場和原子的作用時間，譜線的Fisher信息值更大，精度更高，且可以將共振峰半高寬處選作最佳測量位置。所以，將量子Fisher信息引入光譜測量，為原子鐘精度的提高提供一種新的思路和方法，具有實用價值和進一步研究的意義。