人工平動點附近混合推進航天器編隊滑?？刂票３?/h1>
2023-06-10 03:21賀京九袁長清龔勝平趙磊
北京航空航天大學學報 2023年5期
賀京九，袁長清，龔勝平，趙磊
(1.空軍航空大學 航空作戰勤務學院，長春 130011；2.空軍航空大學 航空基礎學院，長春 130011；3.北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191)
在深空探測領域，日地系共線平動點由于其獨特的位置及動力學特性而備受關注，目前已有任務也多圍繞其展開。隨著這一領域的快速發展，傳統的單體大航天器已不足以滿足日益復雜的任務需求，且其存在制造難度大、項目周期長、所需成本高等劣勢。在此背景下，航天器編隊飛行[1]技術應運而生。將該技術與平動點任務相結合，可以實現傳統單體航天器難以實現的深空軌道任務。
在平動點編隊飛行控制方面，部分學者采用近似線性化方法，對編隊非線性動力學方程進行適當簡化，以此為基礎設計編隊控制器。如Wang 等[2]利用多項式特征結構配置方法對L2 點處編隊進行控制；Peng 等[3]對時變線性二次型調節器(linear quadratic requlator, LQR)方法加以改進，設計了最優周期控制器用于編隊構型保持；Bando 和Ichikawa[4]提出了一種基于輸出調節理論的新控制策略，對于不同頻率的Halo 軌道具有較好的適用性,簡化后雖然減弱了控制難度，但是不可避免地導致控制精度和通用性降低。部分學者以編隊非線性動力學方程為基礎設計控制器，其優勢在于較好的魯棒性和更接近實際情況。Rouzegar 等[5]采用開關SDRE 方法，以較低的能耗實現了在L2 點的高精度編隊控制；姜春生等[6]采用自抗擾控制方法，利用非線性誤差反饋對動力學未知部分進行補償，具有較好的魯棒性；Xu 等[7]考慮平動點附近的非線性擾動，采用HSP 方法實現了L1 點附近準周期軌道上的穩定編隊；Wang 等[8]針對多體編隊飛行速度不確定因素，提出了一種分布式自適應控制律，保證了系統的全局漸進收斂；He 和Yao[9]通過改進的逐次逼近方法實現L2 點編隊的控制；龔勝平等[10]研究了編隊基線與所需推力的關系，設計了離散控制策略。
以上研究雖然都取得了較為理想的控制效果，但仍是基于傳統的消耗工質獲得控制力的方法，或者只給出所需控制力，回避討論具體如何實現的問題。而深空長航時任務的一個重要問題便是推進系統能量來源，傳統的消耗工質的推進方法則從根本上制約了航天器所能到達的位置和有效工作時間。為此，需要發展一種無工質消耗的編隊飛行控制技術。太陽帆推進是近年來新興的一種連續小推力技術，可以在平動點軌道實現傳統離散大推力軌控方式難以實現的高精度軌控[11]。其工作原理是：利用太陽光子撞擊大尺寸薄膜帆面與航天器產生動量交換，進而產生作用力推動航天器，實現光壓力加速飛行。其最大優勢在于：整個過程能量來源全部為太陽，自身無需攜帶推進劑，在長時間作用后能獲得很大加速度，非常適合用于長期空間觀測。同時由于太陽光壓力的引入，航天器能夠被放置在距離太陽更近的人工平動點處，這樣既緩解了緊張的天然平動點空間資源壓力，又能滿足更多的任務需求。目前，航天工程界提出了許多太陽帆深空任務的概念[12]，如利用太陽帆執行日心懸浮軌道任務[13]、日地人工平動點任務[14]、近地小行星觀測任務[15]等。
由于太陽帆面相對太陽光矢量只有2 個姿態角，若僅依靠太陽帆進行控制，則會存在欠驅動問題，且無法產生指向日心的推進力分量。樓張鵬[16]和朱敏[17]采用RCD 型太陽帆，將反射率作為第3 個控制量；龔勝平[11]通過多片帆解決這一問題；陳弈澄等[18]將電推進與太陽帆相結合，通過混合推進實現日心懸浮軌道的位置保持。但RCD 方案的反射率控制設備十分復雜，對制造工藝和控制策略的設計有較高要求；而多片帆方案在空間中不同方向展開也是一大挑戰，且增加了控制難度；電推進則仍然受到推進劑數量的限制。目前，已有平動點編隊的研究成果中大尺度編隊較多，編隊間距從幾千米到上千千米不等[17,19]，對于極近距離編隊（百米以下）的研究相對較少。一方面由于極近距離編隊要求更高的控制精度，稍有不慎可能導致構型喪失乃至碰撞損壞等后果；另一方面，大尺度編隊較常用的離子推進和化學推進等技術由于羽流污染問題無法用于極近距離編隊。
針對以上不足，本文考慮引入航天器間庫侖力與太陽帆推進技術相結合，采用混合推進方案控制編隊。庫侖力編隊飛行[20]的基本思想是：通過某種手段使得航天器帶電（如電子槍發射電子使航天器帶正電），在編隊內各航天器間形成庫侖力，再設計合適的控制策略，通過控制各航天器所帶電荷調整庫侖力大小和方向，使編隊能夠以特定的構型完成預定任務。與傳統的編隊技術相比，庫侖編隊技術的優勢主要在于控制精度高、所需能耗低、無羽流污染等方面[21]，這使得其十分適合用于間距在百米尺度乃至更小的極近距離編隊。但庫侖編隊的不足之處在于：庫侖力為編隊內部力，只能作用于航天器連線方向，無法改變航天器角動量用于轉向。二者結合，庫侖力可提供指向日心的推進力分量，解決僅依靠太陽帆控制存在的欠驅動問題；太陽帆則可提供連線方向以外的推進力用于轉向，改善庫侖編隊的可控性。
本文研究了日地系人工L1 點附近的極近距離航天器編隊的飛行控制問題，提出了一種無工質消耗的控制方法，即將太陽帆推進技術與庫侖力編隊技術結合組成混合推進編隊。推導了混合推進航天器編隊在人工平動點附近的相對運動方程，以從航天器太陽帆的2 個姿態角和主從間電荷積作為控制量，設計了編隊固定時間滑?？刂撇呗院蚅QR 控制策略，實現對預設編隊構型的展開并保持，通過數值仿真和對比分析驗證了設計的有效性。
1 編隊相對運動動力學模型
1.1 太陽帆圓形限制性三體問題
建立如圖1 所示日地系統質心旋轉坐標系Oxyz，坐標原點O為日地公共質心，x軸由太陽質心指向地球質心，z軸與黃道面垂直，指向日地系旋轉角速度ω方向，y軸與x、z軸構成右手坐標系。記太陽質量為m1，地球質量為m2，航天器質量與二者相比可忽略不計。
圖1 相關坐標系Fig.1 Relevant coordinate systems
記航天器在旋轉系Oxyz下位置矢量R=(x,y,z)，R1和R2分別為航天器相對太陽和地球的位置矢量，理想太陽帆受到的光壓加速度定義為[22]
式中：β為航天器攜帶太陽帆光壓因子；G為萬有引力常數；n為帆面法向量。
由牛頓運動定律和萬有引力定律可得
為分析問題和計算簡便，采用歸一化單位處理[17]，考慮旋轉離心加速度和科氏加速度影響，將式（2）在三軸展開，得到太陽帆圓形限制性三體問題(solar sail circular restricted three-body problem, SSCRTBP)動力學方程：
式中：aS=(aSX,aSY,aSZ)；μ為歸一化單位制下地球的質量。建立圖1 中所示航天器本體坐標系Oijk，原點在航天器質心，三軸方向與旋轉系Oxyz相同。記航天器攜帶太陽帆面俯仰角為α，偏航角為γ，則帆面法向量n表示為
由于航天器到太陽的距離遠大于到人工平動點的距離，可將航天器附近太陽光入射矢量即R1的方向向量近似看作與i軸平行，即=。
將n、R1表達式代入式（1），得到歸一化單位下光壓加速度在三軸相應分量：
1.2 共線人工平動點及周期軌道
由于太陽光壓力的存在，導致航天器在空間中受力平衡發生變化，產生新的人工平動點[8]，與天然平動點相比，人工平動點距離太陽更近，這使得航天器在完成諸如對日觀測、深空通信中繼等任務上具有更優的性能。根據平動點定義，假設太陽光入射方向與帆面垂直，令式（3）中滿足：
可得共線人工平動點位置XLi滿足：
以人工L1 點為例，由式（7）得到坐標后，以其為原點建立人工平動點局部坐標系L1-ijk，坐標軸方向與旋轉系Oxyz一致，如圖1 所示。采用Richardson方法[23]構造三階Halo 軌道，作為編隊主航天器的參考軌道。
1.3 編隊飛行動力學模型
圖2 為主從式航天器編隊。記主航天器為Leader，其相對于坐標原點和兩中心天體的位置矢量分別為RL=(XL,YL,ZL)T，R1L=(XL+μ,YL,ZL)T，R2L=(XL?1+μ,YL,ZL)T；從航天器為Follower，其相對于坐標原點和兩中心天體位置矢量分別為RF=(XF,YF,ZF)T，R1F=(XF+μ,YF,ZF)T，R2F=(XF?1+μ,YF,ZF)T。在 旋 轉 系Oxyz下，主、從航天器運動均可由式（2）描述，主航天器通過軌控實現在參考軌道穩定運行，從航天器通過編隊控制器實現對預設構型的展開并保持。
圖2 主從式航天器編隊Fig.2 Leader-follower spacecraft formations
從航天器相對主航天器位置矢量為
聯立式（8）～式（10），整理得到編隊相對運動動力學方程：
式中：a=aSF?aSL=(ax,ay,az)T表示從航天器相對主航天器的太陽光壓差；fc=fCF?fCL=(fcx,fcy,fcz)T為庫侖力產生相對加速度。
2 編隊控制器設計
控制目標為設計一個滑模編隊控制器，以主從間電荷積Q和從航天器太陽帆的2 個姿態角α、γ作為控制輸入，從航天器關于主航天器的相對位置為輸出，通過調節輸入使得從航天器能夠跟蹤主航天器并保持期望編隊構型。
定義狀態變量：
將式（11）改寫為如下形式：
式中：
令航天器在期望編隊構型下相對主航天器的位置矢量為xd，則位置誤差為e=x1?xd=(ex,ey,ez)T，求二階導數并與式（13）聯立得到
且m1、n1、p1、q1為奇數。
選擇如下趨近律：
且m2、n2、p2、q2為奇數。
對式（15）求導并與式（14）聯立得到
將式（19）與式（17）聯立并添加飽和函數，修改得到最終控制輸入：
此處飽和函數的作用為防止出現奇異點，具體構造如下：
式中：ζ為消抖界寬。
此時得到的是從航天器應產生的相對主航天器的控制加速度，該加速度由太陽帆光壓力與庫侖力共同產生，為得到直接控制量電荷積和姿態角，將u改寫為如下形式：
故系統為全局穩定且在有限時間T內收斂，T滿足：
系統控制結構如圖3 所示。
圖3 系統固定時間滑?？刂平Y構Fig.3 Structure of fixed-time sliding mode control
3 數值仿真
為驗證本文所設計編隊控制器的有效性，在MATLAB/Simulink 環境中進行數值仿真?？紤]圖2所示主從式航天器編隊，任務開始前二者組合在一起，此時從航天器關于主航天器的相對位置和速度都為零。任務開始時刻二者分離，主航天器在自身軌控作用下沿構造的三階Halo 軌道運行，從航天器在編隊控制器作用下進行編隊構型展開并保持。
編隊期望構型為從航天器位于主航天器在x軸正 方 向50 m 處 保 持 相 對 靜 止，即||r||=50 m，r=||r||(1,0,0)T，mL=mF=2 000 kg，ζ=0.005，控制參數選取 如 下：① δ1=φ1=7，m1=9,n1=7，p1=9,q1=11；②δ2=11,φ2=9，m2=9,n2=5，p2=7,q2=13。靜電常數kc=8.988×109(N·m2)/C2，取徳拜長度λd=60 m，主航天器運行在z軸幅值為2×105km 的Halo 軌道上，主航天器太陽帆光壓因子β=0.035，任務時長為3 年。
同時為進一步體現該滑?？刂破鞯膬炘叫阅?，對式（11）作線性化處理[27]，并設計LQR 控制器，控制參數選取如下：Q=diag[5×106,5×106,5×106,1,1,1],R=diag[100,100,100]，Q、R為控制過程中的加權矩陣。
圖4 和圖5 分別給出主航天器在旋轉系Oxyz中的絕對軌跡和從航天器的相對運動軌跡。由圖5可以看出，在編隊展開的過程中，滑?？刂撇呗韵聫暮教炱鞑⒉皇茄刂本€運動到期望位置再與主航天器保持相對靜止，而是伴隨著偏移與轉向，最后在期望位置附近作小范圍周期運動，y、z軸誤差為厘米量級。
圖4 主航天器參考軌道 (AZ=2×105 km)Fig.4 Reference orbit of leader craft (AZ=2×105 km)
圖5 相對運動軌跡Fig.5 Relative motion trajectory
圖5 中藍色線為采用線性化動力學方程和LQR 控制器的相對運動軌跡?？梢钥闯?，編隊在展開期間有較大偏差，從航天器y軸方向最大誤差達到米級，且與滑?？刂凭徛郎p速靠近期望位置不同，從航天器是先越過了期望位置，隨后再有一個比較劇烈的轉向和后退，最后在期望位置附近周期運動。穩定狀態下y軸誤差在?0.25～0.05 m 范圍內波動，z軸誤差在?0.03～0.11 m 范圍內波動。
圖6 為從航天器x軸相對位置誤差曲線?？芍?，任務開始后，滑?？刂撇呗韵聫暮教炱餮杆僬归_，在0.4 [TU]（[TU]為歸一化條件定義的時間單位，約23 天）左右的時間里基本到達指定位置，隨后編隊進入保持構型狀態。x軸最大誤差略小于0.4 m。LQR 控制策略下編隊展開速度相比滑?？刂茰p慢，約在0.6 [TU]時進入穩定保持狀態，且展開過程中出現了明顯的超調，最大值約為3 m，隨后從航天器后退靠近期望位置，穩態位置誤差約為1 m。
圖6 x 軸相對位置誤差Fig.6 Relative position error of x axis
圖7 給出滑?？刂撇呗韵戮庩犛烧归_到保持過程中從航天器需要產生的相對加速度曲線。根據推進力的變化特點，可將任務過程分為3 個階段：任務開始到0.05 [TU]為展開前段，0.05～0.4 [TU]為展開后段，0.4 [TU]以后為保持段，分別代表從航天器加速遠離主航天器、減速靠近期望位置和穩定保持編隊構型。起步階段由于需要使主從迅速分離，產生的加速度較大，達到10?5m/s2量級，對應推力大小約為幾十毫牛；在展開后段減速靠近期望位置過程中，加速度較小而作用時間相對較長，能有效提高控制精度；保持段加速度穩定在10?7m/s2量級，在附近小范圍波動。
圖7 三軸相對加速度Fig.7 Relative acceleration of 3 axes
圖8 給出主從間電荷積的變化曲線。在展開前段為正值，主從間庫侖力表現為排斥力，表明本階段庫侖力與光壓力在x軸分量方向相同，共同將從航天器推離。在展開后段，電荷積由正轉負，庫侖力由斥力變為吸引力，方向與光壓力在x軸分量相反，從航天器由短暫有力的加速狀態轉為緩慢平穩的減速狀態。由于庫侖力與距離平方成反比，隨著主從距離增大，電荷積的數量級相比展開前段顯著上升。整個任務階段電荷積變化連續平穩，庫侖力沒有間斷和突變，有利于編隊整體的穩定性和提高控制精度。
圖8 主從間電荷積Fig.8 Charge product between leader and follower
相比滑?？刂?，LQR 控制下電荷積有顯著增大，這是由于展開時從航天器在Y軸方向有較大偏差，穩定狀態下電荷積略大。
圖9 給出從航天器太陽帆姿態角變化曲線。對于滑?？刂撇呗?，在整個展開段，姿態角各自向單一方向發展，帆面法向量持續偏離入射光方向，光壓力逐漸減小，由偏離方向推斷出從航天器運動方向與仿真結果一致。觀察圖4 軌跡可以發現，由于從航天器經側方進入保持段過程中在Y方向上未發生轉向，姿態角γ在展開段是單調增加的，且主航天器參考軌道關于x-z平面對稱，因此姿態角γ的波動范圍也是正負對稱的。姿態角α在0.04 rad時轉向，這是由于在展開段從航天器向期望位置靠近時是先向上偏移的，0.4 [TU]時z軸位置為2 cm，隨后開始向下轉。且z軸方向上下相對位置誤差不同，正方向誤差值小，對應所需控制加速度小，則所需姿態角大，負方向誤差值大則所需姿態角小，因此姿態角α在正方向上的波動大于負方向。
圖9 從航天器太陽帆姿態角Fig.9 Attitude angle of follower’s solar sail
LQR 控制策略條件下，在展開初期姿態角γ偏轉接近?π/2 rad，太陽光壓在X軸正方向能提供的加速度顯著減小，這一部分需要庫侖力補充，這一過程中姿態角γ也經歷較為劇烈的變化。穩定狀態下姿態角α與滑?？刂葡啾扔休^小的相位差和幅值差，姿態角γ在?0.02～0.6 rad 范圍內波動，這意味著LQR 控制所需的能耗要高于滑?？刂?。
此外,本文將固定時間滑?？刂婆c孫炳磊等[28]設計的最優滑?？刂七M行了比較，限于篇幅原因此處只給出結果，如表1 所示?？梢?，最優滑?？刂齐m然使編隊更快展開，但是其代價是穩態位置誤差較大和更大的控制力，且該方法在控制過程中會使得太陽帆的姿態角γ偏轉角超過π/2 rad，這將導致從航天器失去一個方向的轉向力，顯然是不可取的。
表1 兩種控制方法性能指標Table 1 Performance indicators of two control strategies
4 結 論
本文主要研究了近距離混合推進航天器編隊在共線人工平動點附近的控制問題，通過數值仿真可以得到以下結論：
1）太陽帆-庫侖力混合推進方法配合較好，二者結合能有效取長補短，既解決單太陽帆的欠驅動問題，又改善了庫侖編隊的可控性。
2）相比于線性化條件下的LQR 控制，非線性條件下的滑?？刂圃诳刂凭?、所需時間、能量消耗和編隊展開路徑的合理性等方面都更優。
3）在時長3 年的編隊任務中，從航天器在滑?？刂茥l件下僅用約23 天到達指定位置，這表明該方法能實現編隊的快速展開?；€誤差在任務要求的1%以內，可認為具有較高精度，有效維持了編隊構型。
4）從航天器太陽帆姿態角及主從電荷積波動都處于較低水平，維持編隊構型能耗很低。
5）編隊正常工作所需能量全部來自于太陽，擺脫了深空長航時任務所面臨的燃料限制，具有重要意義。
本文所提出的混合推進方法可用于日地共線人工平動點附近的近距離航天器編隊，后續會進一步改進控制策略，以期使編隊能夠更快展開且精度更高。
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在深空探測領域，日地系共線平動點由于其獨特的位置及動力學特性而備受關注，目前已有任務也多圍繞其展開。隨著這一領域的快速發展，傳統的單體大航天器已不足以滿足日益復雜的任務需求，且其存在制造難度大、項目周期長、所需成本高等劣勢。在此背景下，航天器編隊飛行[1]技術應運而生。將該技術與平動點任務相結合，可以實現傳統單體航天器難以實現的深空軌道任務。
在平動點編隊飛行控制方面，部分學者采用近似線性化方法，對編隊非線性動力學方程進行適當簡化，以此為基礎設計編隊控制器。如Wang 等[2]利用多項式特征結構配置方法對L2 點處編隊進行控制；Peng 等[3]對時變線性二次型調節器(linear quadratic requlator, LQR)方法加以改進，設計了最優周期控制器用于編隊構型保持；Bando 和Ichikawa[4]提出了一種基于輸出調節理論的新控制策略，對于不同頻率的Halo 軌道具有較好的適用性,簡化后雖然減弱了控制難度，但是不可避免地導致控制精度和通用性降低。部分學者以編隊非線性動力學方程為基礎設計控制器，其優勢在于較好的魯棒性和更接近實際情況。Rouzegar 等[5]采用開關SDRE 方法，以較低的能耗實現了在L2 點的高精度編隊控制；姜春生等[6]采用自抗擾控制方法，利用非線性誤差反饋對動力學未知部分進行補償，具有較好的魯棒性；Xu 等[7]考慮平動點附近的非線性擾動，采用HSP 方法實現了L1 點附近準周期軌道上的穩定編隊；Wang 等[8]針對多體編隊飛行速度不確定因素，提出了一種分布式自適應控制律，保證了系統的全局漸進收斂；He 和Yao[9]通過改進的逐次逼近方法實現L2 點編隊的控制；龔勝平等[10]研究了編隊基線與所需推力的關系，設計了離散控制策略。
以上研究雖然都取得了較為理想的控制效果，但仍是基于傳統的消耗工質獲得控制力的方法，或者只給出所需控制力，回避討論具體如何實現的問題。而深空長航時任務的一個重要問題便是推進系統能量來源，傳統的消耗工質的推進方法則從根本上制約了航天器所能到達的位置和有效工作時間。為此，需要發展一種無工質消耗的編隊飛行控制技術。太陽帆推進是近年來新興的一種連續小推力技術，可以在平動點軌道實現傳統離散大推力軌控方式難以實現的高精度軌控[11]。其工作原理是：利用太陽光子撞擊大尺寸薄膜帆面與航天器產生動量交換，進而產生作用力推動航天器，實現光壓力加速飛行。其最大優勢在于：整個過程能量來源全部為太陽，自身無需攜帶推進劑，在長時間作用后能獲得很大加速度，非常適合用于長期空間觀測。同時由于太陽光壓力的引入，航天器能夠被放置在距離太陽更近的人工平動點處，這樣既緩解了緊張的天然平動點空間資源壓力，又能滿足更多的任務需求。目前，航天工程界提出了許多太陽帆深空任務的概念[12]，如利用太陽帆執行日心懸浮軌道任務[13]、日地人工平動點任務[14]、近地小行星觀測任務[15]等。
由于太陽帆面相對太陽光矢量只有2 個姿態角，若僅依靠太陽帆進行控制，則會存在欠驅動問題，且無法產生指向日心的推進力分量。樓張鵬[16]和朱敏[17]采用RCD 型太陽帆，將反射率作為第3 個控制量；龔勝平[11]通過多片帆解決這一問題；陳弈澄等[18]將電推進與太陽帆相結合，通過混合推進實現日心懸浮軌道的位置保持。但RCD 方案的反射率控制設備十分復雜，對制造工藝和控制策略的設計有較高要求；而多片帆方案在空間中不同方向展開也是一大挑戰，且增加了控制難度；電推進則仍然受到推進劑數量的限制。目前，已有平動點編隊的研究成果中大尺度編隊較多，編隊間距從幾千米到上千千米不等[17,19]，對于極近距離編隊（百米以下）的研究相對較少。一方面由于極近距離編隊要求更高的控制精度，稍有不慎可能導致構型喪失乃至碰撞損壞等后果；另一方面，大尺度編隊較常用的離子推進和化學推進等技術由于羽流污染問題無法用于極近距離編隊。
針對以上不足，本文考慮引入航天器間庫侖力與太陽帆推進技術相結合，采用混合推進方案控制編隊。庫侖力編隊飛行[20]的基本思想是：通過某種手段使得航天器帶電（如電子槍發射電子使航天器帶正電），在編隊內各航天器間形成庫侖力，再設計合適的控制策略，通過控制各航天器所帶電荷調整庫侖力大小和方向，使編隊能夠以特定的構型完成預定任務。與傳統的編隊技術相比，庫侖編隊技術的優勢主要在于控制精度高、所需能耗低、無羽流污染等方面[21]，這使得其十分適合用于間距在百米尺度乃至更小的極近距離編隊。但庫侖編隊的不足之處在于：庫侖力為編隊內部力，只能作用于航天器連線方向，無法改變航天器角動量用于轉向。二者結合，庫侖力可提供指向日心的推進力分量，解決僅依靠太陽帆控制存在的欠驅動問題；太陽帆則可提供連線方向以外的推進力用于轉向，改善庫侖編隊的可控性。
本文研究了日地系人工L1 點附近的極近距離航天器編隊的飛行控制問題，提出了一種無工質消耗的控制方法，即將太陽帆推進技術與庫侖力編隊技術結合組成混合推進編隊。推導了混合推進航天器編隊在人工平動點附近的相對運動方程，以從航天器太陽帆的2 個姿態角和主從間電荷積作為控制量，設計了編隊固定時間滑?？刂撇呗院蚅QR 控制策略，實現對預設編隊構型的展開并保持，通過數值仿真和對比分析驗證了設計的有效性。
1 編隊相對運動動力學模型
1.1 太陽帆圓形限制性三體問題
建立如圖1 所示日地系統質心旋轉坐標系Oxyz，坐標原點O為日地公共質心，x軸由太陽質心指向地球質心，z軸與黃道面垂直，指向日地系旋轉角速度ω方向，y軸與x、z軸構成右手坐標系。記太陽質量為m1，地球質量為m2，航天器質量與二者相比可忽略不計。
圖1 相關坐標系Fig.1 Relevant coordinate systems
記航天器在旋轉系Oxyz下位置矢量R=(x,y,z)，R1和R2分別為航天器相對太陽和地球的位置矢量，理想太陽帆受到的光壓加速度定義為[22]
式中：β為航天器攜帶太陽帆光壓因子；G為萬有引力常數；n為帆面法向量。
由牛頓運動定律和萬有引力定律可得
為分析問題和計算簡便，采用歸一化單位處理[17]，考慮旋轉離心加速度和科氏加速度影響，將式（2）在三軸展開，得到太陽帆圓形限制性三體問題(solar sail circular restricted three-body problem, SSCRTBP)動力學方程：
式中：aS=(aSX,aSY,aSZ)；μ為歸一化單位制下地球的質量。建立圖1 中所示航天器本體坐標系Oijk，原點在航天器質心，三軸方向與旋轉系Oxyz相同。記航天器攜帶太陽帆面俯仰角為α，偏航角為γ，則帆面法向量n表示為
由于航天器到太陽的距離遠大于到人工平動點的距離，可將航天器附近太陽光入射矢量即R1的方向向量近似看作與i軸平行，即
將n、R1表達式代入式（1），得到歸一化單位下光壓加速度在三軸相應分量：
1.2 共線人工平動點及周期軌道
由于太陽光壓力的存在，導致航天器在空間中受力平衡發生變化，產生新的人工平動點[8]，與天然平動點相比，人工平動點距離太陽更近，這使得航天器在完成諸如對日觀測、深空通信中繼等任務上具有更優的性能。根據平動點定義，假設太陽光入射方向與帆面垂直，令式（3）中滿足：
可得共線人工平動點位置XLi滿足：
以人工L1 點為例，由式（7）得到坐標后，以其為原點建立人工平動點局部坐標系L1-ijk，坐標軸方向與旋轉系Oxyz一致，如圖1 所示。采用Richardson方法[23]構造三階Halo 軌道，作為編隊主航天器的參考軌道。
1.3 編隊飛行動力學模型
圖2 為主從式航天器編隊。記主航天器為Leader，其相對于坐標原點和兩中心天體的位置矢量分別為RL=(XL,YL,ZL)T，R1L=(XL+μ,YL,ZL)T，R2L=(XL?1+μ,YL,ZL)T；從航天器為Follower，其相對于坐標原點和兩中心天體位置矢量分別為RF=(XF,YF,ZF)T，R1F=(XF+μ,YF,ZF)T，R2F=(XF?1+μ,YF,ZF)T。在 旋 轉 系Oxyz下，主、從航天器運動均可由式（2）描述，主航天器通過軌控實現在參考軌道穩定運行，從航天器通過編隊控制器實現對預設構型的展開并保持。
圖2 主從式航天器編隊Fig.2 Leader-follower spacecraft formations
從航天器相對主航天器位置矢量為
聯立式（8）～式（10），整理得到編隊相對運動動力學方程：
式中：a=aSF?aSL=(ax,ay,az)T表示從航天器相對主航天器的太陽光壓差；fc=fCF?fCL=(fcx,fcy,fcz)T為庫侖力產生相對加速度。
2 編隊控制器設計
控制目標為設計一個滑模編隊控制器，以主從間電荷積Q和從航天器太陽帆的2 個姿態角α、γ作為控制輸入，從航天器關于主航天器的相對位置為輸出，通過調節輸入使得從航天器能夠跟蹤主航天器并保持期望編隊構型。
定義狀態變量：
將式（11）改寫為如下形式：
式中：
令航天器在期望編隊構型下相對主航天器的位置矢量為xd，則位置誤差為e=x1?xd=(ex,ey,ez)T，求二階導數并與式（13）聯立得到
且m1、n1、p1、q1為奇數。
選擇如下趨近律：
且m2、n2、p2、q2為奇數。
對式（15）求導并與式（14）聯立得到
將式（19）與式（17）聯立并添加飽和函數，修改得到最終控制輸入：
此處飽和函數的作用為防止出現奇異點，具體構造如下：
式中：ζ為消抖界寬。
此時得到的是從航天器應產生的相對主航天器的控制加速度，該加速度由太陽帆光壓力與庫侖力共同產生，為得到直接控制量電荷積和姿態角，將u改寫為如下形式：
故系統為全局穩定且在有限時間T內收斂，T滿足：
系統控制結構如圖3 所示。
圖3 系統固定時間滑?？刂平Y構Fig.3 Structure of fixed-time sliding mode control
3 數值仿真
為驗證本文所設計編隊控制器的有效性，在MATLAB/Simulink 環境中進行數值仿真?？紤]圖2所示主從式航天器編隊，任務開始前二者組合在一起，此時從航天器關于主航天器的相對位置和速度都為零。任務開始時刻二者分離，主航天器在自身軌控作用下沿構造的三階Halo 軌道運行，從航天器在編隊控制器作用下進行編隊構型展開并保持。
編隊期望構型為從航天器位于主航天器在x軸正 方 向50 m 處 保 持 相 對 靜 止，即||r||=50 m，r=||r||(1,0,0)T，mL=mF=2 000 kg，ζ=0.005，控制參數選取 如 下：① δ1=φ1=7，m1=9,n1=7，p1=9,q1=11；②δ2=11,φ2=9，m2=9,n2=5，p2=7,q2=13。靜電常數kc=8.988×109(N·m2)/C2，取徳拜長度λd=60 m，主航天器運行在z軸幅值為2×105km 的Halo 軌道上，主航天器太陽帆光壓因子β=0.035，任務時長為3 年。
同時為進一步體現該滑?？刂破鞯膬炘叫阅?，對式（11）作線性化處理[27]，并設計LQR 控制器，控制參數選取如下：Q=diag[5×106,5×106,5×106,1,1,1],R=diag[100,100,100]，Q、R為控制過程中的加權矩陣。
圖4 和圖5 分別給出主航天器在旋轉系Oxyz中的絕對軌跡和從航天器的相對運動軌跡。由圖5可以看出，在編隊展開的過程中，滑?？刂撇呗韵聫暮教炱鞑⒉皇茄刂本€運動到期望位置再與主航天器保持相對靜止，而是伴隨著偏移與轉向，最后在期望位置附近作小范圍周期運動，y、z軸誤差為厘米量級。
圖4 主航天器參考軌道 (AZ=2×105 km)Fig.4 Reference orbit of leader craft (AZ=2×105 km)
圖5 相對運動軌跡Fig.5 Relative motion trajectory
圖5 中藍色線為采用線性化動力學方程和LQR 控制器的相對運動軌跡?？梢钥闯?，編隊在展開期間有較大偏差，從航天器y軸方向最大誤差達到米級，且與滑?？刂凭徛郎p速靠近期望位置不同，從航天器是先越過了期望位置，隨后再有一個比較劇烈的轉向和后退，最后在期望位置附近周期運動。穩定狀態下y軸誤差在?0.25～0.05 m 范圍內波動，z軸誤差在?0.03～0.11 m 范圍內波動。
圖6 為從航天器x軸相對位置誤差曲線?？芍?，任務開始后，滑?？刂撇呗韵聫暮教炱餮杆僬归_，在0.4 [TU]（[TU]為歸一化條件定義的時間單位，約23 天）左右的時間里基本到達指定位置，隨后編隊進入保持構型狀態。x軸最大誤差略小于0.4 m。LQR 控制策略下編隊展開速度相比滑?？刂茰p慢，約在0.6 [TU]時進入穩定保持狀態，且展開過程中出現了明顯的超調，最大值約為3 m，隨后從航天器后退靠近期望位置，穩態位置誤差約為1 m。
圖6 x 軸相對位置誤差Fig.6 Relative position error of x axis
圖7 給出滑?？刂撇呗韵戮庩犛烧归_到保持過程中從航天器需要產生的相對加速度曲線。根據推進力的變化特點，可將任務過程分為3 個階段：任務開始到0.05 [TU]為展開前段，0.05～0.4 [TU]為展開后段，0.4 [TU]以后為保持段，分別代表從航天器加速遠離主航天器、減速靠近期望位置和穩定保持編隊構型。起步階段由于需要使主從迅速分離，產生的加速度較大，達到10?5m/s2量級，對應推力大小約為幾十毫牛；在展開后段減速靠近期望位置過程中，加速度較小而作用時間相對較長，能有效提高控制精度；保持段加速度穩定在10?7m/s2量級，在附近小范圍波動。
圖7 三軸相對加速度Fig.7 Relative acceleration of 3 axes
圖8 給出主從間電荷積的變化曲線。在展開前段為正值，主從間庫侖力表現為排斥力，表明本階段庫侖力與光壓力在x軸分量方向相同，共同將從航天器推離。在展開后段，電荷積由正轉負，庫侖力由斥力變為吸引力，方向與光壓力在x軸分量相反，從航天器由短暫有力的加速狀態轉為緩慢平穩的減速狀態。由于庫侖力與距離平方成反比，隨著主從距離增大，電荷積的數量級相比展開前段顯著上升。整個任務階段電荷積變化連續平穩，庫侖力沒有間斷和突變，有利于編隊整體的穩定性和提高控制精度。
圖8 主從間電荷積Fig.8 Charge product between leader and follower
相比滑?？刂?，LQR 控制下電荷積有顯著增大，這是由于展開時從航天器在Y軸方向有較大偏差，穩定狀態下電荷積略大。
圖9 給出從航天器太陽帆姿態角變化曲線。對于滑?？刂撇呗?，在整個展開段，姿態角各自向單一方向發展，帆面法向量持續偏離入射光方向，光壓力逐漸減小，由偏離方向推斷出從航天器運動方向與仿真結果一致。觀察圖4 軌跡可以發現，由于從航天器經側方進入保持段過程中在Y方向上未發生轉向，姿態角γ在展開段是單調增加的，且主航天器參考軌道關于x-z平面對稱，因此姿態角γ的波動范圍也是正負對稱的。姿態角α在0.04 rad時轉向，這是由于在展開段從航天器向期望位置靠近時是先向上偏移的，0.4 [TU]時z軸位置為2 cm，隨后開始向下轉。且z軸方向上下相對位置誤差不同，正方向誤差值小，對應所需控制加速度小，則所需姿態角大，負方向誤差值大則所需姿態角小，因此姿態角α在正方向上的波動大于負方向。
圖9 從航天器太陽帆姿態角Fig.9 Attitude angle of follower’s solar sail
LQR 控制策略條件下，在展開初期姿態角γ偏轉接近?π/2 rad，太陽光壓在X軸正方向能提供的加速度顯著減小，這一部分需要庫侖力補充，這一過程中姿態角γ也經歷較為劇烈的變化。穩定狀態下姿態角α與滑?？刂葡啾扔休^小的相位差和幅值差，姿態角γ在?0.02～0.6 rad 范圍內波動，這意味著LQR 控制所需的能耗要高于滑?？刂?。
此外,本文將固定時間滑?？刂婆c孫炳磊等[28]設計的最優滑?？刂七M行了比較，限于篇幅原因此處只給出結果，如表1 所示?？梢?，最優滑?？刂齐m然使編隊更快展開，但是其代價是穩態位置誤差較大和更大的控制力，且該方法在控制過程中會使得太陽帆的姿態角γ偏轉角超過π/2 rad，這將導致從航天器失去一個方向的轉向力，顯然是不可取的。
表1 兩種控制方法性能指標Table 1 Performance indicators of two control strategies
4 結 論
本文主要研究了近距離混合推進航天器編隊在共線人工平動點附近的控制問題，通過數值仿真可以得到以下結論：
1）太陽帆-庫侖力混合推進方法配合較好，二者結合能有效取長補短，既解決單太陽帆的欠驅動問題，又改善了庫侖編隊的可控性。
2）相比于線性化條件下的LQR 控制，非線性條件下的滑?？刂圃诳刂凭?、所需時間、能量消耗和編隊展開路徑的合理性等方面都更優。
3）在時長3 年的編隊任務中，從航天器在滑?？刂茥l件下僅用約23 天到達指定位置，這表明該方法能實現編隊的快速展開?；€誤差在任務要求的1%以內，可認為具有較高精度，有效維持了編隊構型。
4）從航天器太陽帆姿態角及主從電荷積波動都處于較低水平，維持編隊構型能耗很低。
5）編隊正常工作所需能量全部來自于太陽，擺脫了深空長航時任務所面臨的燃料限制，具有重要意義。
本文所提出的混合推進方法可用于日地共線人工平動點附近的近距離航天器編隊，后續會進一步改進控制策略，以期使編隊能夠更快展開且精度更高。
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