三軸磁強計的空間立體校正

趙育良，黃婧麗*，毛日升

（1.海軍航空大學青島校區，山東 青島 266041；2.91911 部隊，海南 三亞 572000）

三軸磁強計［1］（Three Axis Magnetometer，TAM）是測量磁場強度的傳感器，可以提供精確和可靠的近地磁場向量信息，并且不會隨時間產生漂移，還可以和陀螺儀等其他傳感器一起提供位置信息。因此，廣泛應用于導航系統等領域。然而，由于受制造工藝的限制，TAM 的輸出有著固有誤差（如非正交誤差、尺度因素誤差、零位偏差）［2］，并且經常受各種干擾磁場［3］（如軟磁、硬磁、測量噪聲）影響。因此，在應用之前進行校正具有重要意義，校正是當前三軸磁強計研究的重點、難點以及亟需解決的關鍵問題。

磁強計校正經典方法為搖擺算法（swing algorithm）［4］。在已知航向角的情況下，水平儀繞著唯一垂直方向的軸旋轉。這種方法雖然簡單易操作，但需要外部獨立航向測量信息。與此同時，該方法是航向校正方法，不適合除航向確定以外的其他校正。針對這一情況，文獻［5-6］提出了一種旋轉校正方法，該方法不需要外部獨立航向信息，并且能提供多種誤差源的校正。球形校正都是基于一個事實，即在補償地點，無論傳感器處于什么方向，地磁場幅值應相同。在這種情況下，通過旋轉設備的3 個軸得到的測量值應該在一個球面上，其中球面半徑為地磁場強度。

然而由于固有誤差和干擾磁場的存在，測量值生成的是橢球而不是標準的球［7］。因此，通過經典的最小二乘法以代數擬合的方式極小化測量值與橢球體之間的誤差，計算簡便，不需要迭代，是應用最廣泛的方法之一［8］。但是直接擬合有可能得到任意二次曲面，并不符合實際的物理意義［9］。

針對以上這些情況，本文在建立了較完整的誤差校正模型基礎上，提出采用最小二乘法對校正模型參數進行最優估計，并加入了更符合實際物理意義的橢球約束，使得結果不是任意二次曲面，通過這種方式更完整地校正了誤差源。

1 TAM誤差校正模型

磁強計的測量誤差包括：傳感器零位偏差、尺度因素誤差、非正交誤差、測量噪聲誤差、硬磁干擾誤差和軟磁干擾誤差，下面分別加以分析。

受制造工藝限制，各個傳感器特性不一致，不同的TAM 具有不同的零位偏差chi和不同的尺度因子。尺度因素誤差矩陣Dsf可以表示為

其中，sx、sy、sz為3個軸的尺度因子。

TAM 的敏感軸不能完全正交，從而導致非正交誤差，誤差矩陣Dno為

其中，ρ為實際ys軸與理想軸的夾角；?為實際zs軸與理想軸的夾角在xsOszs平面的投影；λ為實際zs軸和理想軸的夾角在ysOszs平面的投影。

受熱特性和電路測量因素的影響，磁強計輸出不可避免地具有測量噪聲，可建模為高斯白噪聲為ε、服從均值為0、方差為σ2的正態分布。

由于飛行器的結構件或電子設備中包含磁鐵性材料，所以TAM 的測量值會受到除地球磁場外的其他磁場干擾。如果干擾磁場為永久的不變磁場，則稱為硬磁干擾。硬磁干擾在磁強計的輸出中表現為固定零位偏移c0。如果干擾磁場是隨載體姿態變化的，則為軟磁干擾。軟磁干擾在TAM 的輸出中表現為變化的零位偏差，軟磁干擾誤差矩陣Dsi為

式（3）中，αij(i，j=x，y，z)為由j軸外部磁場誘導產生的磁場在i軸上的投影。軟磁干擾誤差可等效為尺度因素誤差、非正交誤差和非對準誤差的綜合效應。

綜合這幾種誤差，TAM校正數學模型可以表示為

其中，Bm和Bb為載體坐標系下TAM 的實際輸出值與無誤差源干擾的理論真實值，它們都包含xs、ys、zs3 個軸的分量，即

令DE=DsfDnoDsi，c=DEchi+c0，則TAM 誤差校正數學模型可表示為

接下來的任務即為通過一系列已知實際的測量點求解校正模型中的未知參數DE和c，以便能夠補償磁強計輸出受誤差源干擾的部分。

2 空間旋轉立體校正

忽略ε，設

為了求解橢球參數，用代數法表示理想測量點與待求橢球之間的距離，則代價函數可以寫為

3 校正模型參數的求解

如果沒有約束存在，式（11）可求解出任意二次曲面，而在實際情況中，可能只關心某種具體類型的二次函數。由于磁強計校正模型最終形式為橢球體，因此本文加入橢球約束，使得擬合結果為嚴格的橢球體。這樣做雖然有可能犧牲了精度，但結果符合實際物理意義，更有價值。根據上文的分析，磁強計校正問題就可以轉化成下面帶橢球約束的最小二乘問題，即

這就是一個廣義特征值問題，即

矩陣T代表約束。在約束矩陣T中只涉及x2、y2、z2、xy、yz、xz這幾個非線性項，而與線性項x、y、z無關。也可以說T中的大部分元素為0。式（13）中的向量和矩陣可以分解為

其中，T1代表可以確定二次曲面為橢球的約束矩陣。則式（11）可以寫為

通過上述分析，現可以通過求解Ypol滿足約束1β1=const 的特征向量β1來估計磁強計誤差校正參數，求解如下廣義特征值問題：

對于橢球擬合的約束，可選擇為

當4βJ?>0時，參數β代表橢球體。同時，橢球體短半徑長度是長半徑一半以上時，可以得到4βJ?>0，即k=4。但不是所有橢球體都滿足這個充分條件，長瘦和扁的橢球體不滿足4βJ?>0 的條件。對于任意橢球體來說，總是存在k使得kβJ?>0?？梢钥闯霎敊E球體短半徑至少是長半徑的倍時，可得到kβJ?>0。為了保證擬合結果為橢球，可以設計一種迭代方法，使k從一個較大的值開始設定T(k)，估計參數向量β，直到估計的參數向量β可以得到橢球體，這樣就可以保證擬合的是橢球體。

4 仿真驗證

為了驗證上文方法的有效性，下文進行數值仿真實驗 。假設測量地點的地磁場為[10 000 18 000 15 000]TnT；測量噪聲為高斯白噪聲，均值為0，方差=0.94；測量點數量n=1 000；真實誤差校正模型參數如表1-2所示。

表1 誤差參數Tab.1 The error parameters

表2 軟磁干擾誤差參數Tab.2 The soft iron parameters

仿真實驗流程如下：

step 1：設定噪聲方差幅值，通過以上仿真參數及TAM誤差校正模型（11）模擬校正前的實際測量值；

step 2：由帶橢球約束的最小二乘法解得橢球參數，即可擬合出橢球體；

step 3：由橢球體求解出校正后的磁場測量強度，并與真實值B0進行比較。

當噪聲方差幅值μ=1 000時，進行仿真實驗流程step 1，結果如圖1所示。

圖1中，直線表示當地磁場強度的真實值，星型線表示受到誤差干擾的實際磁場強度測量值?，F利用這些測量值進行橢球參數的求解。橢球擬合結果如圖2所示。

其中離散點表示當地磁場實際測量值，通過擬合可以得到圖中的橢球體。在橢球體參數得到之后，即可按照上文第三部分對磁場測量值進行誤差補償，補償后的磁場強度結果如圖3所示。

圖3 磁場強度補償結果Fig.3 Compensation result of magnetic field density

圖3中橫坐標表示測量值序號，Line 1表示當地磁場強度真實值B0，Line 2 表示未校正的TAM 強度測量值，Line 3 表示校正后的TAM 強度測量值。從圖3 中可以看出，未進行校正的磁強計輸出不穩定且偏離真實值較多。校正后的磁強計測量值更接近真實值，消除了測量值偏差，基本可以穩定在真實值周圍，誤差有了較大的減小。

5 結論

針對大噪聲未知環境下三軸磁強計校正問題，提出一種基于立體空間約束的校正方法。實驗結果表明，較補償前，噪聲補償后模型參數估計精度有了較大提高。