典型艙段結構高頻振動仿真分析方法

陳 洋，蔣 剛，梁 山，王肇喜

（上海航天精密機械研究所，上海 201600）

0 引 言

隨機振動試驗是防空導彈、飛機、高速列車、船舶及電力工程等領域研制過程中的一個重要環節，對于結構可靠性的驗證有著至關重要的作用。數值仿真方法可以在研制階段代替部分實物試驗，節省成本，縮短研制周期。目前常用的動力學數值計算方法是建立結構的有限元模型，進行隨機振動仿真分析，并結合試驗數據修正仿真模型［1］。采用有限元方法可以分析隨機振動環境下結構連接可靠性、疲勞壽命、應力應變等［2-4］。對于小于500 Hz 的低頻振動，由于其結構的模態較為稀疏，使用有限元單元離散技術的方法能取得較為精確的結果［5］。隨著結構振動頻段的升高，有限元方法的單元網格需要不斷加密，導致系統自由度和計算量急劇增加。高頻模態分析和響應計算結果對各種不確定性因素非常敏感，結構模態密集，隨機特性影響突出，因此高頻振動的有限元仿真精度難以滿足工程需要。

對于高頻振動問題，統計能量法（statistical energy analysis，SEA）是目前主流的分析方法［6-8］。由于統計能量法從全局出發得到結構或子結構響應在空間上的統計均值，無須關注結構具體位置的響應情況，因此適用于高頻振動問題［9-11］。但是僅當每個子系統的模態密度＞5，并且模態重疊因子＞1時，統計能量法才有效，模態稀疏的低頻段往往無法滿足該要求［10-11］。

對于包含低、中、高頻的寬頻隨機振動問題，單獨采用有限元（finite element，FE）或者統計能量分析（statistical energy analysis，SEA）方法均無法獲得精確的結果。為了解決現有仿真方法無法滿足包含從低頻到高頻的寬頻域隨機振動問題，有研究人員提出一種思路，即根據結構模態分析的結果，將系統劃分為確定性子系統和統計性子系統兩類，分別采用有限元建模和統計能量法建模，并將兩種子系統耦合起來［12-13］。FE-SEA 混合方法結合了有限元方法和統計能量分析方法各自在低頻與高頻段的優勢，有望成為連接低頻與高頻問題的橋梁，實現結構全頻域的寬頻隨機振動高效、高精度仿真分析［14-15］。

防空導彈、運載火箭等航天器服役過程中，低頻響應和高頻振動響應均對機電系統穩定性、結構可靠性有顯著影響［16］，但目前仿真還存在困難。為突破防空導彈系統隨機振動的高頻耦合建模難題，本文以典型艙體結構為研究對象，采用基于波動耦合理論的FE-SEA分析方法，確定結構子系統劃分原則，研究艙體結構在5～2 000 Hz頻率范圍內典型隨機振動條件下的響應，通過實物試驗修正并驗證仿真結果，以期為防空導彈艙體結構隨機振動試驗建立一套有效的仿真分析模型。

1 FE-SEA混合分析方法

1.1 基于波動耦合的FE-SEA基本理論

基于波動耦合的混合建模方法，其基本原理為，基于能量守恒推導各SEA 子系統能量響應方程，并從統計的角度建立FE子系統的位移響應與SEA子系統的能量響應之間的關系，從而達到耦合FE 子系統和SEA子系統的目的。

一般而言，對于確定性子系統其總體動力學方程表示為

式中：N為SEA 子系統的總數目；u為FE 子系統的總自由度數；fre(k)為FE 子系統邊界處的混響場載荷（上標k表示第k個SEA 子系統）；fex為作用于FE 子系統的外部激勵；Dtou為FE子系統總體動剛度。

Dtou可以表示為

式中：Dd為在邊界處FE 子系統的動剛度；為第k個SEA子系統對于FE子系統的直接動剛度。

通過式（2）可以求得FE子系統的自由度數為

當SEA 子系統中有足夠參數為不確定性時，耦合邊界上的混響力則可由擴散場互易表示為

式中：為混響力的互譜矩陣；Ek為第k個SEA子系統能量響應；Im{ }為取虛部；nk為第k個SEA 子系統模態密度；ω為圓頻率。

式（4）建立了SEA 子系統能量響應與SEA 子系統耦合邊界上作用于FE 子系統載荷之間的關系，提供了計算的方法。通過式（3）與式（4）可得到FE子系統自由度u的互譜矩陣如下：

式中：上標“H”為“Hermitian轉置”。

同時，由式（1）—式（5）可以推導得到混合FESEA系統的功率平衡方程如下：

式中：ηj，k為子系統j和子系統k的耦合損耗因子；ηj為SEA 子系統與FE 子系統j之間的阻尼損耗因子；Pj為由外界輸入SEA 子系統j中的功率；為第j個SEA子系統接收的輸入功率，其來源是作用在FE 子系統上的外部激勵；Sff為施加到FE 子系統的載荷力的互譜矩陣。

在建立FE-SEA 混合后，SEA 子系統的平均振動能量可以通過式（6）求解得到。根據SEA 子系統能量響應與FE子系統荷載之間的關系，求解式（5）得到FE子系統振動速度、加速度。

1.2 基于波動理論的FE-SEA混合方法分析

基于波動理論的FE-SEA 混合方法的基本流程如圖1 所示。具體分析過程如下：① 劃分系統；②獲取邊界連接處的動剛度陣；③ 分析確定性子系統的參數；④ 分析與隨機子系統相關的參數；⑤ 隨機子系統響應的求解；⑥ 確定性子系統響應的求解；⑦ 重復步驟②～⑥，計算下一個頻段響應的平均集合。

圖1 FE-SEA混合方法分析流程Fig.1 Analysis flow chart of the FE-SEA method

2 艙體結構隨機振動試驗的FE-SEA仿真分析

2.1 建立振動試驗系統模型

為了反映導彈艙體結構在隨機振動試驗中真實的響應情況，建立振動臺動圈、滑臺以及艙體結構的聯合模型，如圖2 所示。已知振動臺及滑臺部件在500～2 000 Hz 的模態數＜5，因此仿真分析中振動臺與滑臺都采用有限元模型。

圖2 振動臺動圈、滑臺以及艙體結構的聯合模型Fig.2 Joint model combined by moving coil of vibration table，sliding table and cabin

振動臺動圈、滑臺與艙體之間通過螺栓連接，在HyperMesh 軟件中通過梁單元和節點耦合方式模擬螺栓功能實現3個部分的連接。振動臺動圈和滑臺由AZ31鎂合金制成，艙體為6061鋁合金結構件，各部分的材料參數見表1。

表1 振動臺動圈、滑臺和艙體的材料參數Tab.1 Material parameters of moving coil of vibration table，sliding and cabin

2.2 艙體結構的子系統劃分

仿真分析工作中對艙體結構進行了簡化，忽略了艙體上的細小附件以及內部設備，填補對計算分析結果影響不大的孔洞，對艙體結構存在的其他影響計算精度的部分進行簡化與修正處理，最終得到簡化過后的艙體結構模型，如圖3所示。艙體結構主要分為5個部件：前圈、后圈、中間半圓柱板1、半圓柱板2及4個加強板，4個加強版厚度分別為5.5、5.5、1.5和8 mm。

圖3 艙體結構模型Fig.3 Model of cabin structure

對艙體結構劃分有限元網格并進行模態分析，計算頻率500～2 000 Hz，各個部件所對應的模態數如圖4所示。

圖4 艙體各部件對應模態數Fig.4 Model order of each component

由圖4 可見，500～2 000 Hz 時兩個半圓柱板所對應的模態數均＞3，800 Hz 左右時均＞5，因此這兩個部分采用統計能量分析模型精度是足夠的。剩余的前圈、后圈以及加強板部分對應的模態數較小，無法達到使用統計能量模型的要求，因此在分析中應當采用有限元模型。最終艙體子系統劃分方式及各部分能量傳遞關系如圖5 所示，其中紅色箭頭為SEA 子系統之間的能量傳遞，藍色箭頭為FE 子系統和SEA 子系統之間的能量傳遞。

圖5 艙體有限元-統計能量子系統劃分及能量傳遞方式Fig.5 Subsystem division and energy transfer path on cabin structure

2.3 振動臺 夾具 艙體結構FE-SEA 分析模型建立

在艙體隨機振動試驗仿真分析中，將振動臺動圈和滑臺作為虛擬振動試驗系統，建立有限元模型，將艙體結構通過螺栓連接安裝在滑臺上，如圖6 所示。通過虛擬振動試驗系統對艙體施加激勵，整個過程類似于實物試驗。所建立的振動臺-夾具-艙體結構FE-SEA 分析模型及各部分能量傳遞方式如圖7 所示。FE-SEA 分析過程采用VA one 軟件進行計算。在航空航天領域，鋁板的內損耗因子約為0.02，因此采用該值作為內損耗因子的大小。耦合損耗因子表征了兩個子系統之間的耦合程度，決定兩個子系統之間能量傳輸的能力，耦合損耗因子由軟件計算得到。

圖6 振動臺-夾具-艙體結構FE-SEA模型Fig.6 FE-SEA model of the joint model

圖7 聯合模型有限元-統計能量子系統劃分及能量傳遞方式Fig.7 Subsystem division and energy transfer path on a joint model

2.4 隨機振動試驗仿真計算結果

研究艙體結構在振動臺提供隨機振動條件時的響應，選擇一個典型的隨機激勵載荷，見表2。其功率譜密度值隨著頻率變化的曲線如圖8所示。

表2 給定隨機激勵載荷Tab.2 Random excitation load spectrum

圖8 隨機振動載荷Fig.8 Curve of random excitation load spectrum

計算獲得艙體各部件的振動加速度響應如圖9所示，模型各部分之間能量傳遞關系如圖10所示。由圖9 可見，半圓柱板2 的加速度響應略大于半圓柱板1 的響應，說明其響應大小由于各板連接之間存在耗散而不同，能量由半圓柱板2 傳至半圓柱板1 時有部分能量耗散。由圖10 可見半圓柱板1 的能量大部分由半圓柱板2 傳來，少部分能量由動圈通過有限元部分傳來。

圖9 振動響應曲線Fig.9 Curve of vibration response

圖10 能量傳遞曲線Fig.10 Curve of energy transfer

2.5 試驗結果及仿實一致性分析

根據2.4 節中模擬試驗方案設計隨機振動試驗方案。如圖11（a）所示，將某型號電子艙通過夾具以及轉接工裝安裝于振動臺臺面，按照如圖11（b）所示方式布置振動傳感器測點，以CH1、CH2、CH3、CH4 為控制點進行隨機振動試驗，監測點A1～A4 和A5～A8分別監測半圓板1 和半圓板2 上的振動響應。試驗控制曲線及艙體響應結果如圖12所示。

圖11 艙體隨機振動試驗Fig.11 Random vibration test of cabin

圖12 艙體隨機振動試驗數據Fig.12 Random vibration test data of cabin

根據所劃分的艙體統計能量子系統，將兩個子系統上的測點響應平均處理，按1/12倍頻程帶寬計算各頻段中的振動響應均方根（root mean square，RMS）值，試驗與仿真結果的對比如圖13 所示，仿真數據與試驗數據吻合較好。

圖13 仿真與試驗的振動響應RMS數據對比Fig.13 Comparison between simulation and test of vibratory response RMS

計算得到子系統1 在500～2 000 Hz 的試驗結果，總振動響應RMS 值為15.4g，仿真結果總振動響應RMS 值為18.7g，子系統1 振動響應有效值誤差約為1.6 dB。計算得到子系統2在500～2 000 Hz的試驗結果，總振動響應RMS值為17.3g，仿真結果總振動響應RMS 值為22.1g，子系統2 振動響應有效值誤差約為2.1 dB。兩個子系統振動響應有效值誤差均小于3 dB，反映出導彈模擬艙體的高頻隨機響應仿真結果與試驗結果具有較好的一致性。

3 結束語

本文完成了典型艙體結構的統計能量分析建模方法，通過開展頻率特性分析，將艙體結構上模態數＞5 的部分作為統計能量分析子系統，建立艙體結構的統計能量分析模型；討論了基于波動理論的FE-SEA 混合方法分析過程，基于有限元-統計能量分析對典型艙體結構進行隨機振動試驗仿真分析，得到艙體部件的加速度響應。仿真數據與實物試驗數據對比，振動響應有效值誤差均＜3 dB，說明采用FESEA 混合方法的仿真結果與試驗結果具有較好的一致性。