基于虛擬激勵法的多激勵振動試驗數值分析

王肇喜，翟師慧，趙 凡，王者藍，謝夏陽

（上海航天精密機械研究所，上海 201600）

0 引 言

振動環境試驗是目前航天產品可靠性和環境適應性最主要的檢驗手段，用于發現產品設計上的缺陷、工藝上的不成熟及可靠性的薄弱環節，為產品設計及工藝上的改進與優化指明方向［1］。

細長型飛行器的振動環境試驗為工程中的一大難題，由于此類飛行器外形細長，振動試驗中其超出振動臺面的懸臂部位過多，振動響應懸臂端低頻放大、高頻衰減，使試驗室狀態下飛行器的振動環境較之飛行狀態有較大失真，飛行器各部位的過試驗、欠試驗現象異常嚴重。

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）振動試驗技術采用兩（多）個振動臺提供激振力，使試件不同部位產生不同的振動響應。這種試驗方式能夠更加準確地模擬細長型飛行器各種飛行狀態下的振動環境，有效地避免傳統單振動臺試驗方法中振動應力集中的現象，為力學環境試驗技術的重大進步和未來發展趨勢［1］。

目前，國內少數航空、航天單位已經開始應用MIMO振動試驗方法。但由于我國現有的試驗標準對該類型試驗的描述較為籠統，并且國內對互譜的作用、雙振動臺模擬互譜的可實現性及其效果的研究不夠透徹［1-2］，加之此項技術的軍事背景，使得國外相關的技術資料難以獲得，因此，我國工程人員在進行MIMO振動試驗時，面對控制參數的選取和試驗條件的制定等問題，大多憑借工程經驗，采用試驗中不斷變換、試探、摸索的方法，這將會走很多彎路，造成大量人力、物力、財力的浪費，而最終的試驗效果也難以達到最優。

本文基于虛擬激勵法、逆虛擬激勵法原理［3-5］，研究MIMO 隨機振動試驗中控制譜矩陣設置的可實現性，并對某一細長型飛行器模擬件在不同控制點數量、控制參數設置情況下的振動試驗進行數值模擬，分析控制點數量及控制互功率譜對雙臺振動試驗的影響。

應用此方法，在正式試驗前對各種試驗方案進行預試驗，使試驗人員提前了解振動試驗中不同控制點位置、參數設置所產生的效果，提前知曉試件在試驗過程中各部位振動響應情況，提前評判所選用的試驗儀器設備能否順利完成試驗，避免在試驗條件定制過程中的盲目性，由此可降低大型復雜試件振動試驗的風險，獲取最優的試驗設計方案。

1 隨機振動問題的分析方法

1.1 隨機振動基本理論

對于多輸入多輸出振動系統，其輸入、輸出譜密度矩陣為［5-6］

式中：ω為圓頻率；n為系統的輸入或輸出個數。

對角線元素為各點的自功率譜，它表述隨機振動在頻域的能量分布，非對角線元素為兩點間的互功率譜，它含有相干系數和相位這兩個參數的信息，表達式為

式中：γxixj為相干系數；φxixj為相位差；i，j為公式索引變量。

激勵與響應的功率譜密度矩陣的關系式為［6-7］

1.2 虛擬激勵法理論

直接使用式（3）計算MIMO 隨機振動問題，計算量太大，因此林家浩等［8］提出虛擬激勵法，這種方法在不降低計算精度的前提下，大大降低了求解該類問題的計算量。

虛擬激勵法［3-4］基本手段為矩陣的對角化變換，MIMO 系統的輸入、輸出功率譜密度矩陣Sxx(ω)為Hermite 矩陣，根據矩陣理論，Hermite 矩陣一定酉相似于對角形矩陣，且其特征值為實數。

則功率譜密度矩陣可轉化為

式中：λ1(ω)～λk(ω)為矩陣Sxx(ω)的特征值；k為矩陣Sxx(ω)的秩；U1(ω)～Un(ω)為酉矩陣的列向量；Ui*(ω)為Ui(ω)的共軛轉置。

式（4）可轉化為

1） 各激振力相互之間完全相干時，Sxx(ω)的秩k=1，式（6）可改寫為

2） 各激振力相互之間完全不相干時，Sxx(ω)為對角線矩陣，式（6）可改寫為

3） 激振力部分相干時，Sxx(ω)的秩為k（k≤n），式（6）可改寫為

由于xi(ω)為列向量，且相互正交，則可將MIMO隨機振動系統的輸入項視為幾個相互正交的虛擬簡諧激勵力xi(ω)eiωt疊加的效果。

將式（6）代入式（3）得：

則

其中

同理，根據式（11），可將MIMO 系統的振動響應視為虛擬簡諧激勵xi(ω)eiωt產生的虛擬簡諧響應yi(ω)eiωt疊加的效果，其虛擬激勵與虛擬響應的關系見式（12）。應用虛擬激勵法，求解MIMO 系統隨機振動響應的基本流程為：① 將輸入的譜密度矩陣分解為式（6）的形式，構造虛擬激勵xi(ω)；② 由式（12）得出虛擬響應yi(ω)；③ 由式（11）輸出功率譜密度矩陣。

1.3 逆虛擬激勵法理論

逆虛擬激勵法［5］多用于隨機振動載荷識別問題領域，即已知結構的隨機振動響應和結構的固有特性（頻響函數矩陣），反推結構所受的激振力。逆虛擬激勵法的計算流程為：① 將Syy(ω)改寫為式（11）的形式，構造虛擬響應yi(ω)；② 由式（12）構造方程，求解xi(ω)；③ 由式（6）得出激振力的功率譜密度矩陣。

2 雙振動臺試驗模型分析

兩個振動臺組成的雙臺振動試驗系統如圖1 所示，其中加速度傳感器、電荷放大器、計算機、功率放大器、振動臺構成一個閉環反饋控制系統。試驗過程中閉環控制系統不斷反饋修正，調整兩振動臺輸出的激振力，使試件上控制測點的振動響應功率譜與預設值相等。

圖1 雙臺振動試驗系統Fig.1 The system of double vibration test

不同廠家的振動控制系統，其控制器的控制迭代算法各有不同，但經反饋修正，最終穩定時，兩個振動臺輸出的激振力都使控制點實際振動響應與預設值相等或者偏差最小。根據此原理，假設控制器性能理想，對細長型飛行器雙振動臺試驗建立力學模型，并進行分析。

2.1 雙振動臺試驗分析模型的建立

由于球頭（見圖1）的作用，將試件與振動臺連接處的轉動自由度釋放，且彈簧繩的拉力與試件的重力相抵消，則試件的邊界條件可視為自由狀態，其受力模型如圖2所示，圖中fi、fj分別為i、j位置點所受的力。

圖2 細長型飛行器的受力模型Fig.2 The mechanical model of slender aircraft

該受力模型的動力學方程為［9-10］

式中：M、C、K、F分別為飛行器的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、所受的力矩陣。

式（13）經傅里葉變換表示為

即

其中，F(ω)為

式中：fi(ω)、fj(ω)分別為圖2 中i、j位置點所受的力譜。

結構的整個傳遞函數矩陣，可由模態測試的結果，根據模態疊加法［11-12］近似得到：

式中：ωi為第i階固有頻率；ξi為第i階模態阻尼比；Φi為關于質量陣歸一化的第i階模態陣型。

2.2 雙振動臺試驗控制譜矩陣可實現性分析

對于雙振動臺試驗系統，可視為一個兩輸入多輸出的系統，輸入的譜密度矩陣為2×2的矩陣。

若控制點的個數為m時，則控制譜密度矩陣Syy(ω)的維數為m×m，將Syy(ω)分解為式（11）的形式，yi(ω)為m維列向量。雙臺振動試驗系統下，逆虛擬激勵法中式（12）為

1） 當控制點的個數=2 時，H(ω)m×2為方陣，在H(ω)非奇異的情況下有唯一解（若矩陣H(ω)奇異，則有無窮多解），由式（20）可直接求出xi(ω)，解得使控制測點的實際振動響應與預設的譜值完全一致的兩激振力。

2） 當控制點的個數＞2 時，H(ω)m×2為長方振，此時式（20）理論上無解，只能求其最小二乘解，即試驗控制系統經反復修正迭代后，產生的最優激振力，只能保證控制測點的實際振動響應值與預設的值差異最小，不能實現真實響應值與預設值完全一致。

因此，采用多點（控制點數＞2）控制方式，一般情況下無法使各控制測點的實際振動響應值與預設值完全一致；雙振動臺試驗系統采用兩點控制方法，輸入完整的控制譜矩陣，無論控制測點互功率譜的相干系數與相角為多少，理論上都可以使測點的實際振動響應與預設的功率譜密度矩陣完全一致。

3 不同試驗條件下雙臺振動試驗的數值模擬

工程中，雙振動臺試驗主要分為兩點和多點（大于兩點）兩大類控制方式，控制測點的相干性又分為完全相干、完全不相干及部分相干等情況。針對工程中常用的控制方式，選取具有代表性的情況進行數值模擬。

研究對象為某細長型飛行器模擬件，其長3 100 mm、外徑200 mm、壁厚65 mm，為鋁質結構。該試件的模態參數由有限元分析軟件MSC.Nastran計算得到，計算時將試件劃分為20 個梁單元、21 個節點，約束其縱向自由度。飛行器模擬件有限元離散后模型如圖3 所示，飛行器模擬件前十階固有頻率見表1，其中前兩階為剛體模態。

表1 試件固有頻率Tab.1 The inherent frequency of analog sample

圖3 試件的有限元模型Fig.3 The finite element model of the test specimen

應用Matlab 軟件編程計算，模擬各種控制方式下的試驗結果，計算流程如下：

1） 取模態阻尼比為0.03，由前十階模態參數，根據式（17）—式（19）得整個結構的頻響函數矩陣；

2） 由控制點的控制譜密度矩陣，采用1.3 節逆虛擬激勵法計算流程，計算控制點位置振動響應達到控制譜值時，兩激振力的自、互功率譜密度；

3） 由計算得到的激振力的自、互功率譜密度，采用1.2 節虛擬激勵法計算流程，計算得到試件各點的振動響應。

3.1 兩點控制方式的模擬

取試件上點1、21 為控制點（見圖3），兩個控制點的自功率譜密度如圖4所示?？刂茰y點的互功率譜分別采用3種控制方式［13-15］：① 控制點全相干，兩控制點的相干系數為1，相角為零；② 控制點完全不相干，兩控制點的相干系數為零；③ 控制點部分相干，兩控制點的相干系數為0.5，相位差45°。

圖4 控制點的振動譜Fig.4 The vibration spectral of the control points

3 種控制方式的自功率譜相同，互功率譜各異。3 種控制方式下，試件上各點振動響應的自功率譜密度、加速度均方根值分別如圖5 和圖6 所示?？刂茰y點的互功率譜值，對試件振動響應的影響顯著。

圖5 各種控制條件下試件上各點振動響應的自功率譜Fig.5 The auto-power spectral density of various response points under different control conditions

圖6 各種控制條件下試件上各點振動響應的加速度均方根值（RMS）Fig.6 The acceleration RMS of various response points under different control conditions

各種控制方式下，控制點位置振動響應達到控制譜時，試件所受激振力的自功率譜密度、相干系數、相位差如圖7—圖9 所示。其中，控制點完全相干時，兩激振力也完全相干，如圖8（a）所示；當控制點不完全相干時，兩激振力在頻域內的相干系數起伏變化，如圖8（b）、圖8（c）所示。

圖7 各種控制條件下試件所受激振力的自功率譜Fig.7 The auto-power spectral density of the exciting force under different control conditions

圖8 各種控制條件下試件所受兩激振力的相干系數Fig.8 The coherence coefficient of the exciting force under different control conditions

圖9 各種控制條件下試件所受兩激振力的相位差Fig.9 The phase difference of the exciting force under different control conditions

3.2 多點（三點）控制方式的模擬

多點控制方式：取試件上點1、10、21為控制點（見圖3），各點的自功率譜密度如圖10所示。點1、點21的相干系數為0.2，相位差為0，點10 與1、21 的相干系數為0.5，相位差為90°。該種控制方式下，控制測點處的實際振動響應無法與預設值完全一致，如圖11所示。

圖10 控制點控制譜Fig.10 Reference Auto-power spectral density

圖11 試件上各點的振動響應Fig.11 Auto-power spectral density of the simulated sample

試件各點振動響應的均方根值如圖12 所示。由圖可見，這種控制方式各控制測點無法與控制譜完全一致，但可使試件各點振動響應分布比較均勻。

圖12 試件各點振動響應的加速度均方根值（RMS）Fig.12 Acceleration RMS of the simulated sample

試件所受的激振力的自譜、相干系數、相角如圖13—圖15所示。

圖13 試件所受激振力的自功率譜Fig.13 Auto-power spectral density of the exciting force

圖14 試件所受激振力的相干系數Fig.14 Coherence coefficient of the exciting force

圖15 試件所受激振力的相位差Fig.15 Phase-difference of the exciting force

3.3 分析總結

由3.1 節與3.2 節的算例可知，兩點控制方法可以使控制點位置的振動響應與預設值完全一致（圖5中，點1、點21的實際振動響應），多點（控制點數＞2）控制方式無法使控制測點的實際振動響應值與預設值完全一致（圖11）。

在振動試驗前，可對各種控制方式進行預試驗模擬分析，根據試件各點的振動響應自功率譜及加速度均方根值，選擇合適的控制方式。除此之外，還需考慮激振力的因素，如圖7（a）所示，這種控制方式下所需的激振力自功率譜密度跳變較大，有可能超出試驗硬件設備的允許范圍，使控制效果變差。因此，應盡可能選擇所需的激振力自功率譜變化相對緩和的控制方式，如圖7（b）、圖7（c）所示。

受激振點位置距離的影響，實際試驗時激振力之間相互干擾，兩激振力在低頻段的相干系數較大，受這一因素的制約，應盡量避免選擇所需的激振力低頻段相干系數過小的控制方式，如圖8（b）所示，該種控制方式所需激振力在20～50 Hz 之間的相干系數約為0.55，實際試驗有可能無法實現，使控制效果變差。

4 結束語

通過針對細長型飛行器開展基于虛擬激勵法的多點激勵振動仿真分析，可得到如下結論：

1） 虛擬激勵法、逆虛擬激勵法的應用可有效確保細長型飛行器MIMO 隨機振動試驗的數值模擬計算精度，大大降低了問題的計算量，使試驗前對各種試驗條件的預試驗分析成為可能。

2） 雙臺振動試驗系統在采用兩點控制方法時，輸入完整的控制譜矩陣后，理論上控制點的實際振動響應與預設的功率譜密度矩陣完全一致。

3） 采用多點（控制點數大于激勵點數）控制方法時，一般情況下各控制測點的實際振動響應值無法與預設值一致，輸出的激振力只能保證控制測點實際的振動響應與預設值的偏差盡可能小。