小學生分數概念學習路徑的重構

【摘? ?要】分數概念是小學數學的重要內容。分數起源于分物與測量，擴展于計數，歸根于運算。對分數概念的教學要體現與整數、小數和分數認識上的一致性，實現學生認知過程與分數演變過程的一致性。教師可利用“分一分1、分一分2、比一比、數一數、算一算、化一化”等數學活動，對學生的分數概念學習路徑進行重構，以實現學生對分數概念的理解水平與學生認知水平的和諧發展。

【關鍵詞】分數概念；學習路徑；除法；計數單位

分數概念是小學數學的重要內容。在小學數學課程中，其教學通過兩個階段完成。然而，從教學效果看，學生常存在以下困惑：一是感受不到分數是一個具體數量，二是認識不到分數可以利用計數單位“數”出來，三是體會不到分數與除法的關系。為解答學生的這些困惑，筆者以人教版教材為例，聚焦“如何重組教學內容體現分數與整數、小數認識上的一致性”“如何重構學習路徑實現學生認知過程與分數演變過程的一致性”兩大問題，對分數概念進行整體分析，從而幫助學生建立能體現數學本質、對他們未來學習有支撐意義的結構化知識體系。

一、重構分數概念的學習路徑

分數的產生與發展經歷了漫長的歷程。分數起源于分物與測量，擴展于計數，歸根于運算。分數概念的教學要體現與整數、小數和分數認識上的一致性，實現學生認知過程與分數演變過程的一致性。為此，筆者重組了人教版教材三年級上冊“分數的初步認識”單元和五年級下冊“分數的意義和性質”單元的分數概念教學內容，進而形成6個數學活動，如表1所示。

基于對上述6個數學活動及其教學內容的分析，筆者對學生的分數概念學習路徑進行了重構（如圖1），以實現學生對分數概念的理解水平與學生認知水平的和諧發展?？傮w而言，重構后的學習路徑增加了分數的“度量意義”和“比值意義”的教學內容，從而豐富了各種意義（方法）之間的聯系與溝通。

具體思路如下：

首先，分數源于自然數除法的推廣。從自然數除法看，分數是不能整除而得到的結果?！胺忠环?”和“分一分2”是利用等分除法模型理解分數概念，“比一比”是利用倍比除法模型理解分數概念?；诖?，可建構分數與除法的關系。因此，教師可以讓學生在“算一算”活動中，借助之前在“分一分”“比一比”活動中積累的基本活動經驗，建立除法過程與分數結果的關系，從而突出“分數是一個商”的概念。

其次，分數是基于計數單位建構的。在初步認識階段，教師可以讓學生通過直觀圖式來積累“m個[1n]是[mn]”的基本活動經驗。接著在深入理解階段，讓學生在理解分數單位的基礎上，使用“m個[1n]是[mn]”在數線上數出分數，從而把分數從真分數拓展至假分數，并構造出新的分數單位[1n]（1÷n=[1n）]，然后運用“m個[1n]是[mn]”，幫助學生理解分數與除法的關系。

最后，分數具有份數、比值、度量、運算和集合等意義。在“分一分1”“分一分2”“比一比”和“數一數”的活動中，分數分別從等分、倍比和度量的過程中產生，體現出分數產生的必要性，也讓學生學會了用份數來表征分數的意義?！八阋凰恪睆牡确趾捅侗葍煞N數量關系，幫助學生理解分數是除法運算的過程，也是除法運算的結果，從而建構“被除數÷除數=[被除數除數]”這一基本模型?！盎换眲t通過研究“相等的分數，分數單位不同，數值大小相等”的特點，幫助學生發現分數的基本性質，即“形變而值不變”。

二、數學活動的設計與教學策略

學習分數概念的數學活動，以教學任務為驅動，體現教學策略的有效性。

（一）“分一分1”數學活動

◇教學任務1：用幾分之一表示等分一個物體的結果

把9塊月餅平均分給4人，每人分得幾塊？

學生根據已有的知識經驗，容易得到“每人分到2塊月餅，還多1塊”的結論。這時教師提問：剩下的這1塊月餅還能繼續分嗎？每人能分到這塊月餅的多少？引導學生用1÷4來表示這個分的過程。學生的疑惑之處在于：分到的部分應該用怎樣一個數來表示？對學生而言，這是一個“發明”的過程。

◇教學任務2：幾分之幾的產生

觀察圖形，填上合適的分數，并說明理由。

把一個物體平均分成若干份，每份可以表示成[1□]，那么2份、3份……又該怎么表示呢？前者的本質是分數單位，反映了樸素的分數計數單位；后者則擴展了分數的份數意義，為學生進一步學習分數概念奠定基礎。

（二）“分一分2”數學活動

◇教學任務1：用幾分之一表示等分一群物體的結果

把圖形平均分成3份，陰影部分表示總數的幾分之幾？

本任務通過已有經驗與新知識的對比，為學生的認識從“用分數表示等分一個物體的結果”向“用分數表示等分一群物體的結果”遷移創造條件，同時使學生認識到，除了可以用份數理解分數，還可以用數量展示分數。

◇教學任務2：用幾分之幾表示等分一群物體的結果

（1）照樣子，分一分，涂一涂，表示出各圖的[23]。

（2）三幅圖都是把物體平均分成（? ）份，然后涂出其中的（? ）份。

（3）第一個[23]代表（? ）個圓，第二個[23]代表（? ）個圓，第三個[23]代表（? ）個圓。

與等分一個物體不同，把一群物體等分后，每份的數量從1到n不等。本任務中，第（1）題和第（2）題著重體現“只要分的份數與涂的份數相同，就可以用同樣的分數表示”，第（3）題則是幫助學生感悟“用分數表示數量之間的關系”。

（三）“比一比”數學活動

◇教學任務1：用分數表示倍比的結果

請你用一個數表示三角形個數與正方形個數的關系。

本任務通過研究兩個量的關系完善表示率的分數。先借助兩個量的倍數關系和分數的部分與整體關系得出兩個量的比值，再比較“數量比”與“份數比”，體會它們之間的聯系與區別，積累“相等分數”的基本活動經驗。

◇教學任務2：用份數意義解構兩個量的比值

已知三角形個數是正方形個數的[23]，請據此把圖形補充完整。

相較于“數量比”，“份數比”能更簡約地表示分數。本任務在表示率的分數的基礎上，引導學生逆向解構分數，通過不同圖式的表征方式，幫助學生理解分數的比值意義。

（四）“數一數”數學活動

◇教學任務1：用分數表示度量的結果

張大伯有一塊地，他用步長量了一下，發現這塊地的長度大約比30步多（? ? ）步。

……

當度量的結果不能用整數來表示時，可以把度量單位分為n等份，取其中的1份作為新的度量單位去量剩余部分。假如剛好m次量盡，那剩余部分就可用[mn]來表示。本任務引導學生通過度量過程體驗分數的產生，為學生“用分數單位數出分數”積累基本活動經驗。

◇教學任務2：數出大于1的分數

如圖，你能數出更多分數嗎？

有了用分數單位數出小于等于1的分數的經驗，學生基本掌握了“m個[1n]是[mn]”的分數計數方法。在此基礎上，本任務引導學生先按兩條線索數出大于1的分數：一是4個[13]是[43]，5個[13]是[53]……二是比1多1個[13]是[113]，比1多2個[13]是[123]……再區分真分數與假分數。

（五）“算一算”數學活動

◇教學任務1：認識分數與除法的關系

請根據題目中的數量關系寫出算式，并用分數表示結果。

（1）把3塊月餅平均分給4人，每人分得幾塊月餅？

（2）小新家有4只雞和3只鴨，雞的只數是鴨的只數的多少？

分數源于自然數除法的推廣。學生在“分一分1”和“分一分2”活動中理解了“等分除的結果可以用分數表示”，在“比一比”活動中理解了“倍比除的結果也可以用分數表示”。本任務在此基礎上，通過解決問題中的數量關系，建構分數與除法的關系，從而幫助學生理解分數的“商意義”，同時建立真分數與假分數之間的關系。

◇教學任務2：整體建構“分數與除法的關系”

先觀察前面四個除法等式的特點，再試著寫出字母算式的商。

3÷4=[34]? ?4÷3=[43]? ?3÷2=[32]? ?4÷5=[45]? ?ɑ÷b=（? ）

本任務可以較好地幫助學生理解“分數”與“除法”之間存在著一般性的關系，即“被除數”“除數”和“分子”“分母”的關系，構建“被除數÷除數=[被除數除數]”的模型，從而完善“分數的商意義”。

（六）“化一化”數學活動

◇教學任務1：研究相等分數

請你從分數墻中至少找出3對相等分數，并研究一下它們的特點。

相等分數就是值相等的分數的集合，如[12=24=48=]……學生在“分一分1”“分一分2”“比一比”“數一數”等數學活動的學習中，通過對“數量比”“份數比”的比較認識，已經積累了一些對相等分數的認識。但是，學生還沒有脫離情境去探究這些相等分數是否有規律，有什么規律。這個集合中的分數雖然表征同一事件，卻呈現出不同的結果。本教學任務的目的就是要將相等分數變化的特點顯性化。

◇教學任務2：構造相等分數

請你根據分數的基本性質，找出已知分數的相等分數。

（1）[13=2×? 3×5=? 15]

（2） [1024=10÷? 24÷? =? 12]

（3） [23=2+43+? ]

第（1）題和第（2）題是對分數基本性質的直接應用，第（3）題則是對分數基本性質的應用的變式，需要把“同時加不同數”轉化為“同時乘相同數”來思考。

小學生分數概念學習路徑的重構，充分滿足了“像學習自然數那樣學習分數”“像整數、小數那樣計數和運算”等學習需求，緊扣“分數源于自然數除法的推廣”，深挖“分數是基于計數單位建構的”，體現了分數的份數、比值、度量、運算和集合等意義。同時，確保學生對分數概念的理解水平與學生的認知水平相統一，使學生的學習更加科學與高效。

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（浙江省海寧市長安鎮中心小學）