李其祥,李永祥
(西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070)
非線性項含梯度項的橢圓邊值問題
其中,Ω={x∈RN|r1< ||x <r2} 為RN中以0 為中心,r1,r2為半徑的環形區域,N ≥3,0<r1<r2<∞,f:[r1,r2]×R×R+→R 為非線性連續函數。對于非線性項f 不含梯度項的簡單橢圓邊值問題
徑向解的存在性已有不少研究[1-9]。如文獻[2]運用分歧理論得到徑向解具有多解性的結論。文獻[3]運用Schaeffer 不動點定理證明了徑向解的存在性。文獻[4-6]在非線性項f 超線性增長的情形下,證明了徑向解的存在性。文獻[9]在f 變號的情形下,應用錐上的不動點指數理論給出了徑向解的存在性與不存在性條件。
對于非線性項f 含梯度項的橢圓邊值問題,文獻[10]在f (r,u,η)非負且關于u,η 超線性增長或次線性增長的情形下,運用錐上的不動點指數理論證明了邊值問題
正徑向解的存在性。文獻[11]應用Schauder 不動點定理和壓縮映射原理,證明了式(3)至少存在一個徑向解。文獻[12]通過Leray-Schauder 不動點定理,證明了當非線性項f (r,u,η)一邊超線性增長,且關于η 滿足Nagumo 型條件時,式(1)至少存在一個徑向解。
本文的目的是,在無假定非線性項f 非負時,討論式(1)徑向解的存在性與唯一性。當非線性項f (r,u,η)關于η 滿足Nagumo 型條件時,運用上下解方法和截斷函數技巧,證明式(1)徑向解的存在性,并在此基礎上,運用微分中值定理證明式(1)徑向解的唯一性。
易驗證u=u(|x|)為式(1)的徑向解當且僅當u(r)為常微分方程邊值問題
的解。因此,只需討論式(4)解的存在性與唯一性。
記I=[r1,r2],R+=[0,+∞),C(I)為由I 上的全體連續函數按范數構成的Banach 空間。對n∈N,Cn(I)為由I 上的全體n 階連續可微函數按范數構成的Banach 空間。
為討論式(4),首先考慮相應的線性邊值問題
其中,h∈C(I)。
引理1[10]對任意的h∈C(I),式(5)存在唯一解u:=Sh∈C2(I),且解算子S:C(I)→C1(I)為線性全連續算子。
引理2對任意的h∈C(I),式(5)的解u∈C2(I)滿足:
證明對任意的h∈C(I),設u∈C2(I)為式(5)的解,則
故結論(i)成立。
由微分中值定理,知存在ξ∈[r1,r2],使得u'(ξ)=0。對任意的r∈I,有
故結論(ii)成立。
引理3設f:[r1,r2]×R×R+→R 連續。若存在常數a,b ≥0 及C >0,滿足
則式(4)有解。
證明對任意的u∈C1(I),令
F(u)(r):=rN-1f (r,u(r),|u'(r)|),r∈I,則F:C1(I)→C(I)連續,且將有界集映為有界集。定義映射A=S °F,由引理1,知S:C (I)→ C1(I)為線性全連續算子,因此算子A:C1(I)→ C1(I)為線性全連續算子。由S 的定義,式(4)的解等價于算子A 的不動點。對A 應用Leray-Schauder 不動點定理[13],需證明同倫簇方程
的解集在C1(I)中有界。設u∈C1(I)為當λ∈(0,1)時式(8)的解,則u=S(λF(u))。
令h=λF(u),由S 的定義,u=Sh 為式(5)的解,因此,u∈C2(I)滿足
由式(7)和式(9),有
兩邊取‖·‖C,由引理2,知
結合引理2(i),知式(8)的解集在C1(I)中有界,由Leray-Schauder 不動點定理,A 在C1(I)中有不動點,該不動點為式(4)的解。
定義1設v0(r),w0(r)∈C2(I),若v0(r)滿足
則稱v0(r)為式(4)的下解;若w0(r)滿足
則稱w0(r)為式(4)的上解。
定理1設f:[r1,r2]×R×R+→R 連續。式(4)存在下解 v0(r) 與上解 w0(r),且v0(r)≤w0(r)。若f 滿足條件
(H1)對任意的M >0,存在單調連續增函數gM:R+→(0,+∞),且
則式(1)至少存在一個徑向解u=u(|x|)∈C2(I),且v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。
證明由條件(H1),存在M >0,使得
則η(r,u):I×R →R 連續。作f (r,u,η) 的截斷函數
則f*連續有界。因此,由引理3,修改后的邊值問題
有解u0(r)∈C2(I)。
下證u0(r)為式(4)的解。
先證v0≤u0≤w0。反設v0≤u0不成立??疾楹瘮郸?r)=u0(r)-v0(r),r∈I。因為Φ(r1)≥0,Φ(r2)≥0,且 Φ(r)≥0 不成立,所以存在r0∈(r1,r2),使得。由極小值點的性質,有
由式(18),有
根據截斷函數的定義及定義1,有
僅需證明(i),(ii)~(iv)類似可證。令
由截斷函數的定義及式(13)和式(17),有
故u0(r)為式(4)的解,即u0(|x|)為式(1)的徑向解,且滿足v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。
定理2設f:[r1,r2]×R×R+→R 連續。式(4)存在下解 v0(r) 與上解 w0(r),且v0(r)≤w0(r)。若f (r,u,η)在u∈R,η∈R+上關于變量u,η 連續可微,且滿足定理1 的條件(H1)和
(H2)若f (r,u,η)關于u,η 的偏導數存在,且當 r∈I,v0(r) ≤u0(r) ≤w0(r),η∈R+時,有fu(r,u,η)<0,則式(1)存在唯一徑向解u=u(|x|)∈ C2(I),且v0(|x|)≤u0(|x|)≤ w0(||x)。
證明由定理1,式(1)至少存在一個徑向解。下證唯一性。設u1,u2∈C2(I)為式(4)的解,記u(r)=u1(r)-u2(r)。由微分中值定理,u(r)∈C2(I)為
的解,其中a(r)=fu(r,ξ,ζ),b(r)=fη(r,ξ,ζ),ξ=u1+θ(u2-u1),ζ=u1'+θ(u2'-u1'),θ∈(0,1)。
因為f (r,u,η)連續,且關于u,η 連續可微,故a(r)和b(r)有意義。由條件(H2),得a(r)<0。
下證u ≡0。反設u ≡0 不成立,則存在K >0,使得,即存在r*∈(r1,r2),使得。
由式(21)及式(22)第1 式,有
故u ≡0。因此,式(4)存在唯一解,即式(1)存在唯一徑向解。
相應的非線性項為
所以w0(r)=r 為式(24)的上解。易見f (r,u,η)關于η 二次增長,滿足條件(H1)。由定理1,式(24)至少存在1 個徑向解。易驗證,式(25)滿足條件(H2),由定理2,式(24)存在唯一徑向解。