數學文化融入高中數學課堂的實踐與思考

【摘 要】 ?《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》從課程性質、課程內容、教學建議等多個方面對數學文化在數學教學中的融入做出了重點要求.以“三角恒等變換”第一課時的教學為例，闡述在教學中滲透數學文化的具體過程，并做必要的反思與總結.

【關鍵詞】 ?三角恒等變換；數學文化；數學應用

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對數學文化在數學課堂中的融入提出如下要求：

在課程性質方面，課程標準要求課程的實施方式必須得到優化，重點培養學生在運用數學知識解決實際問題方面的能力，并且特別提出數學文化在課程中的滲透，讓學生可以在學習數學的過程中體會到數學知識的文化價值、應用價值、審美價值.

在課程內容方面，強調教師應當在必修、選擇性必修以及選修內容中滲透數學文化，注重組織學生開展數學文化的收集和閱讀活動，讓學生學會正確地解讀數學文化中的信息.

在教學建議方面，指出在數學日常教學中，教師要注重做好數學文化的滲透，從而達到拓展學生文化視野的目的，全面提升學生的綜合素養［1］.

不難發現，新教材高度重視數學文化和教學內容之間的融合，提倡將數學的最新研究成果納入到教材中，注重引導學生探索數學的實用性價值，從而提升教學效果.

通過上述分析，足以說明將數學文化融入到數學教學中的重要性. 因此，筆者在“三角恒等變換”第一課時的教學中采取了滲透數學文化的教學手段，以供參考. 1 ??學情教材分析 “三角恒等變換”是人教A版（2019）高中數學必修一的內容，對于高一的學生來說，學生在初中階段已經學習過代數變換的知識，在本單元，學生會繼續對兩角和與差、二倍角的正弦等公式進行深入的探索.利用熟悉的知識來實現三角變換，有助于學生邏輯推理以及數學運算素養的有效發展.同時，學生在初中階段學習了銳角三角函數的知識，也就具備了學習這節課內容的先決條件.但是學生的抽象概括能力還沒有獲得較好的發展，并且學習主動性也不強，需要教師進一步激發學生的學習興趣.

2 ??教學目標分析

本節課的教學，主要是通過數學文化的滲透來幫助學生串聯起知識形成的過程，從而讓學生能夠對相關知識建立起結構化的認識.具體地說，本節課要達成以下的目標：

①讓學生通過探究的方式來掌握兩角差余弦公式的基礎知識，并且可以使用相關的知識來解決實際問題.

②加強學生對數學思想方法的理解，重點引導學生了解數形結合的思想，幫助學生正確應用數形結合思想去解決問題.

③通過在課堂上滲透數學故事，激活學生對數學的探索興趣，讓學生切身感受數學家的探究過程，樹立正確的數學學習目標，培養學生堅韌不拔的意志品質. 3 ??教學環節分析

3.1 滲透文化，引入課題

我們在這節課的學習中要去了解兩角差余弦公式，那么大家請想一想，我們可以怎樣使用數學符號的形式來表示出結果？

實際上，我們可以選擇任意兩個字母來代表兩個角，比方A和B，那么兩個角的差就可以表示為A－B或B-A，大家是不是就能夠順勢得出，兩角之差的余弦怎么表示了？沒錯，就是cos（A－B）.接下來，我們就是要去研究cos（A－B）還可以寫成什么！

在學習這節課之前，實際上大家在初中就已經學習過正弦、余弦這些基礎的三角函數知識了，大家當時使用的主要數學思想是什么？（學生能正確回答出數形結合思想這一答案）

實際上，三角函數是十分受數學家們青睞的一種函數，而且很久以前，數學家們就發現，在研究三角函數時，任一銳角對應直角三角形三邊是成比例的，在發現了這個規律之后，數學家們便想到使用符號的方式來表達這種關系，從而讓這種關系的普遍性得到體現，于是我們現在就有了正弦、余弦的概念，并且在對這些關系的不斷深入研究中，數學家們逐漸歸納總結出了當前我們經常使用的三角函數.而數學探究是永無止境的，數學家們很快發現，在他們研究出了一層關系之后，后面還有更多的關系等待挖掘，于是又有人提出了質疑，對于兩個確定的角A和B，cos（A－B）是不是確定的？

德國著名數學家黎曼有一句名言：每個數學公式背后，都有一個反映其本質的幾何模型.圖1來自深圳中學朱華偉校長編寫的《無字證明集錦》，你發現了什么［2］？

設計意圖 ?首先使用簡單的問題調動起學生的學習興趣，并且喚醒學生的已有知識經驗.和直接告訴學生這節課要學習什么知識相比，這種形式的導入可以取得更好的效果.接下來，再引導學生去了解三角函數中的數形結合思想和其中蘊含的數學故事，讓學生意識到數學的發展是不斷深入的，并且讓學生自然而然地將自己的角色變換到數學家的位置上去，聯系數學家之前的探索經歷，將“cos（A－B）是確定的”這一觀念傳遞給學生，讓學生帶著驗證的態度參與到接下來的學習中去.

3.2 實踐探索，加深理解現在，結合A和B都是確定的這一條件，我們也產生了共同的想法，那就是當A和B確定時，cos（A－B）也是確定的.那么我們是否可以使用已經學習過的知識，用兩個角的正弦值、余弦值來表示出cos（A－B）？你認為有哪些種可能？下面就請大家使用已經學習過的知識來進行探索吧！

（給學生留出大概十五分鐘的時間，讓學生用合作的方式來進行研究.）

老師剛才對課堂進行了觀察，發現全班有將近一半的學生能夠得到正確的結論，還有一部分學生遇到了困難，那就請成功得到結論的同學來幫助那些遇到困難的同學吧！

（邀請一些學生上臺來介紹自己的推導方法）

需要注意的是，在推導cos（A－B）的過程中，我們這里的角并不是任意的角，而是要根據直角三角形的實際背景，確保A是大于B的.那么對于兩個角是任意角時，大家的推導是否還成立，因為課堂上的時間有限，大家可以在課后進行自主的探索，之后再來幫助其他人解惑，告訴我們你的答案.

設計意圖 ?在這一環節中，學生找到了兩種解決問題的方法，一種是使用坐標法，在平面直角坐標系中畫出單位圓，利用圓的旋轉對稱性，最終得到結論；另一種是利用“猜想—證明”法，可惜在使用這種方法時，很多學生都出現了半途而廢的情況，大多數的學生只有特殊值的驗證，沒有一般性的論證.通過給定學生充足的時間，讓學生去進行自主探索，能夠讓學生感受到學習的成就感，有助于學生綜合素質的提升.

3.3 挖掘文化，深化思維

其實cos（A－B）=cosAcosB+sinAsinB的證明自古以來就備受數學家的青睞.

在古代，古埃及天文學家托勒密在三角函數弦表中利用圖2給出了證明；數學家帕普斯在《數學匯編》中利用圖3給出了證明.

在近代，美國數學家麥克肖恩應用三角形全等以及兩點間的距離公式進行推導與證明，如圖4．

不僅如此，我國著名數學家、中國科學院院士張景中先生用面積法巧妙地解決了這一問題，如圖5.該證明不僅圖形簡單，便于觀察，而且推理自然，易于接受，妙不可言［2］.

設計意圖 ?教師通過介紹古今中外數學家對公式的不同證明方法，幫助學生尋求知識的源頭，感受其發展歷程，體會知識傳播的魅力，激發學生的學習熱情，無形中滲透數學史，傳播數學文化，同時增強民族自信心與自豪感.

3.4 借助文化，激勵學生

在剛剛的探究中，無論是同學們所使用的方法，還是數學家的奇思妙想，無不輕而易舉地解決了問題. 然而，數學的真實歷史卻沒有這么簡單，現在看似簡單的一個結論都是數學家們歷經千辛萬苦才得到的.

我們都知道，解析幾何的創立者是士兵數學家笛卡爾，大家現在對這個名字很熟悉，知道他是一個偉大的數學家，但是你知道嗎，實際上笛卡爾在23歲的時候加入了軍隊，但是他對數學的喜愛卻沒有消失，在軍隊里面仍然堅持探索數學，在一次受傷之后，笛卡爾正躺在床上養傷，這個時候仍然在掛念著數學，他在思索中發現了窗戶上的一只蜘蛛，將這只蜘蛛和墻角聯系在了一起，由此創立了空間直角坐標系.這個小故事流傳到現在，已經有了很多的版本，大家可以在課后查閱有關資料，了解更多關于笛卡爾的故事.

設計意圖 ?在本節課的探究活動中，很多學生的學習過程和成果不盡完美，通過這個小故事的講述，可以讓學生意識到很多事情是不會一帆風順的，即便是數學家也不例外，從而讓學生學會對事物的兩面性產生深刻的思考，提升學生學習的自信心和忍耐力，優化學生的思維品質和學習態度.

3.5 歸納總結，整體認知

通過本節課的學習，我們學習到了什么知識？是怎樣構建出知識的？你還有什么困惑？在課后還想去探索哪些知識？我們都使用了哪些方法來驗證這個公式？

設計意圖 ?在學生回答這些問題的過程中，可以發現學生們對于公式的推導已經有了基本的認識，可以記住公式，從而為學生后續推導更多公式奠定了良好的基礎.

4 ??反思啟示分析

在這節課的教學中，我采用了對比的研究方法，即在其中一個班級的教學中講述數學文化，在另一個班級的教學中則不涉及數學文化.結果顯示，接觸到數學文化的班級的學生在課堂上表現出了更大的積極性，而且學生課后作業的完成情況更加理想.由此可以看出，數學文化的使用能夠有效地調動起學生的學習興趣，并且讓學生的學習成績得到提升，使學生對學到的知識產生更加深刻的理解.

因此，在新課程標準的背景下，我們要對教學內容進行精心的處理，加強對數學文化的滲透.

4.1 陳列數學歷史

數學歷史是數學文化的重要傳播載體，在高中數學教學中使用數學史資源，可以讓學生接觸到數學的獨特魅力，讓學生了解數學知識發展的全過程，體會到數學知識傳播的重要性.通過講述數學歷史，還可以增強數學教育的思想教育價值，讓學生去學習數學家辛苦鉆研的精神，意識到成功的來之不易，從而讓學生去思考學習數學的價值，體會到數學學習的成就感.教師可以使用兩種方式來陳列數學歷史，一種是使用數學歷史來幫助學生了解數學知識的產生，另外一種是借助數學歷史來激發學生的學習興趣，讓學生獲得學習數學知識的動機.

4.2 欣賞數學之美

數學的美感具有一定的抽象性，需要教師在引導學生進行內心感受的同時，使用直觀性的手段來幫助學生進行直接的感受，從而讓學生更好地了解數學的魅力.數學之美有很多的表現形式，包括數學圖形的對稱之美、數學語言的簡潔之美、數學表達的統一之美等等.教師要帶領學生在現實生活中的各個領域去感受數學的美，從而逐漸地改變學生對數學學習枯燥乏味的印象，讓學生帶著欣賞的態度去學習數學知識.

4.3 運用數學思想

數學思想是數學文化的精華，不僅可以應用在數學領域，在物理、生物等學科領域也有著廣泛的應用價值.因此，教師要注重加強對數學思想多維度、多方面的滲透.同時，由于數學思想是一種隱性的教育內容，因此，教師要注重使用具體的案例將數學思想充分體現出來，引導學生構建完備的邏輯思維體系，確保學生的數學學習能力得到穩定的提升.通過對高中數學教學內容進行分析，教師在教學中要重點加強數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想、轉化思想等思想的滲透，讓學生解決問題的能力獲得提高.

4.4 感悟數學應用

由于數學是一門工具性很強的學科，因此和其他學科之間的關系更加密切，在生活中也隨處可見，故而在生活中處處彰顯數學文化.比如在學習勾股定理時，教師可以引導學生將所學知識應用到工程建筑方面，還可以在教學中向學生介紹黃金分割在雕塑、繪畫中的應用等等，從而讓學生的視野得到拓展，獲得綜合實踐能力上的提升.

5 ??結束語 誠然，數學文化融入高中數學課堂絕非一朝一夕之事，依靠個人力量更是難以實現，這就需要我們廣大教育工作者在思想上保持高度統一，認識到數學文化對高中數學教學的重要作用與意義；同時在行動上，主動收集教學中所能夠涉及的數學文化知識，明確數學文化在教學中滲透的形式與方法，做到在課堂教學中有意識、有目的、有策略地滲透數學文化，力爭課課有數學文化，人人講數學文化.

參考文獻

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?劉正章.追溯數學文化氣息 提升學生數學素養——基于“兩角差的余弦公式”的教材分析與教學思考[J].中學數學雜志，2018（09）：1-5.

作者簡介 ?魯賢龍（1988—） ，男，本科，安徽當涂人，中學一級教師；全國高中數學聯合競賽“優秀教練員”、安徽省“高考優秀評卷教師”、安徽省優質課評選團體賽一等獎、蕪湖市優質課評選一等獎、蕪湖市“教壇新星”、無為市優秀共青團干部；主要研究高中數學教學與試題分析；發表論文多篇.