大學物理中“靜電場的高斯定理”教學探討

李莉 張論 王桂英 曹吉花

摘 要：電磁學是大學物理的重要組成部分，正確理解和運用高斯定理是學習電磁學的關鍵。在高斯定理的學習中，需要掌握高斯定理的內容及數學表達公式，高斯定理的數學證明以及應用，如何選擇和確定合適的高斯面運用到高斯定理中是至關重要的環節。本文通過舉例說明應用高斯定理求解某些特殊分布電荷的電場強度的思路和方法。

關鍵詞：高斯定理；高斯面；電通量；對稱

中圖分類號：Ｏ441；G642 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2023）07-0091-05

靜電場的高斯定理是大學物理教學中的重點和難點內容，是電磁場中的一個非常重要的基本定理，它反映了在靜電場中穿過任一封閉曲面的電通量與包圍該曲面的電荷之間的定量關系。很多理工科大學生在學習該內容時有很多困難和錯誤認識，對于如何運用高斯求解電場強度更是無從下手。因此，本文首先給出高斯定理的內容和數學證明，其次對三種常見的帶電體對稱性特點進行總結，最后通過應用舉例說明選取合適的高斯面求解電場強度的方法。

1 高斯定理的表達式

根據給定電荷的分布，運用庫侖定律，可以求空間電場強度的分布，但只適用于靜止電荷產生的電場。而高斯定理是電場普遍遵循的基本定律，當空間電場強度已知時，由高斯定理求任何區域內的電荷；當電荷分布具有對稱分布時，也可以由高斯定理計算電場。因此，靜電場的高斯定理是求解靜電場的另外一種有效的方法。

要注意電通量只與包圍在曲面里的電荷代數和有關，與曲面外的電荷是無關的，這并不意味著曲面外的電荷對該曲面不產生電通量，而是它在曲面的某些地方電通量為正時，一定會在曲面的其它地方電通量為負，因為電通量是代數量，這個正負電通量相互抵消而為零。但是要特別注意高斯面上任意一點的電場不僅是閉合曲面內的電荷所產生的，曲面外的電荷也會對它有影響，所以高斯面上電場是空間所有電荷產生的一個合電場強度，這個要區分開來并思考一下為什么會產生兩種不同的結論。

1.2.3 電荷連續分布體系電場的高斯定理

2 高斯定理解決對稱性電場的問題

運用高斯定理具體求解電場強度的思路和方法，基本如下：

第一，滿足具有對稱性電荷分布，比如點電荷、帶電球面、帶電球體，它們是球對稱性分布；軸對稱性的有無限長的帶電細棒、帶電圓柱面和帶電圓柱體。

第二，根據電荷對稱性分布得到電場分布的對稱性，比如球對稱性，電場強度沿半徑方向；軸對稱性，電場強度垂直于軸線。

第三，高斯面的選取，通常選球面或圓柱面，要求面上各點的場強相等，或者部分電場已知或者為零[5]。

基于以上幾點可以用高斯定理來求電場強度。

例1 計算均勻帶電球體電場分布。已知球體半徑為R，所帶總的電荷量為q（q>>0）。

解 （1）電荷和場強分布具有對稱性，方向沿徑向。作一個與帶電球體同心，半徑為r（r

例2 一個球形均勻帶電體，電荷體密度為？籽，內部有一個偏心球星空腔（如圖7所示），證明空腔內部為均勻電場。

解 空腔的電場，帶正電大球體，它電荷密度為？籽，可以把它兩個球疊在一起產生效果，即一個為帶電密度為？籽的球，然后在把它加上一個帶負電荷密度為？籽的球共同疊加產生的情況（如圖8所示），用這兩個球來計算球內電場強度的大小。

空腔中任意一點P的電場強度，等于兩個球在該點產生的電場強度的矢量疊加。

例3 有一無限大均勻帶電平板，單位面積上所帶電量為？滓（電荷面密度），求距平板r處的某點的電場強度[6]。

解 （1）對稱性分析：空間各點的場強只能垂直于平板，與平板等距離的各點場強E相等，對稱點的E大小相等，方向相反。

（2）選高斯面

作一個垂直于帶電平面的圓柱面（如圖9所示），且兩底面關于該帶電平面對稱。穿過閉合曲面的電通量可以計算的。

（3）計算通過S的電通量

可見，兩無限大均勻帶等量異號電荷的平行板（平行板電容器近似此類情況），其電場都集中在板間，且板間的電場是均勻電場，而板外的電場為零。

3 結論

高斯定理是電場的普遍基本定律，它揭示出靜電場是一個非常重要的特征，靜電場起自正電荷、終于無窮遠或負電荷，正電荷是電場的源頭、負電荷是尾閭，因此靜電場是有源場。對于庫侖定律已知電荷的分布，可以求出空間電場強度的分布，它適用于靜止電荷產生的電場。而高斯定理是已知空間電場強度求任何區域內的電荷；或者說電荷分布具有高度的對稱性，可以運用高斯定理來求電場強度，可以把電場強度和電荷聯系在一起。

一般情況下用高斯定理直接計算電場強度是比較困難的，但是當某一個帶電體電荷分布具有對稱性，我們就可以根據對稱性場強分布選取合適的閉合曲面即高斯面，利用高斯定理來計算電場強度。我們用高斯定理來解決對稱性分布電荷的電場時需要注意：（1）求哪一點的電場強度，就把高斯面建在哪里；（2）指的是高斯面內包圍的電荷量；（3）高斯面的建立盡量與電場線垂直；（4）位于閉合曲面外的電荷對閉合曲面內的電通量沒有貢獻[7]。

參考文獻：

〔1〕彭婷，吳維寧，蔡亞璇.電磁學高斯定理學習狀況的研究[J].教育教學論壇，2020，6（26）：334-335.

〔2〕梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版，2012.14-25.

〔3〕江軍.關于大學物理“高斯定理內容”教學的探討[J].教育教學論壇，2016，19（26）：189-190.

〔4〕李儒頌，徐芹，葉文江.有關引力場高斯定理的探討[J].物理通報，2015，32（12）：103-105.

〔5〕劉斌.關于高斯定理和環路定理的一些探討[J].課程教育研究，2017，7（43）：157-158.

〔6〕高景霞，張洋洋，張金平，李慧，孫彩霞.關于大學物理中“靜電場的高斯定理”教學設計[J].科技視界，2018，8（15）：46-48.

〔7〕路俊哲，武盼盼，柏云鳳，熱孜宛古麗，閔夢婷.淺談高斯定理中高斯面的確定方法[J].喀什大學學報，2016，21（06）：23-25.