基于“兩個過程”合理性理念，構建高中數學優質高效教學

李桃

［摘? 要］ 文章以“等差數列的前n項和”教學為例，踐行章建躍博士提出的“兩個過程”合理性理念，即數學知識發生發展過程的合理性以及學生認知過程的合理性，設計出知識生成環節的多條教學活動路線，與同行專家探討.

［關鍵詞］ 兩個過程；合理性；優效教學；等差數列求和

問題緣起

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，教師要為“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”提供優質的、可供學生多樣選擇的數學學習資源［1］. 換言之，優質高效的教學應確保不同水平的學生都能學到數學知識、都能領悟數學思想、都能提高數學素養.章建躍博士提出的“兩個過程”合理性理念，正好體現并落實新課程標準的基本理念和育人目標要求. 具體來說，在教學中做到“兩個過程”合理性，即在數學知識發生發展過程的合理性以及學生認知過程的合理性上加強思考，這是讓不同層次的學生都能發展數學核心素養的關鍵點. 鑒于新課程新課標新高考背景下，高中學校實施學科分層教學的現狀，筆者基于“兩個過程”合理性理念，對等差數列的前n項和公式的生成過程進行了多樣化教學設計.

教學內容的認識

前n項和公式是等差數列的又一重要性質，是進一步認識等差數列函數特性的又一重要角度，是感受等差數列與一次函數、一元二次函數的關系，體會數學整體性的又一重要載體.等差數列的前n項和公式不僅是等差數列定義、通項公式和有關性質的延續，而且為后面類比等比數列的前n項和公式提供了學習內容、思維方法，是數列單元承上啟下的重要內容［2］.

尋找合適的算理、算法是推導公式的基本線索. 推導過程可以從簡單到復雜、從特殊到一般，歷史與現實有機結合，算法與性質交融并進. 怎樣讓等差數列前n項和公式的推導過程能夠自然地呈現出來，是學生理解公式推導過程合理性的關鍵.

設計路線的思考

對于人教A版（2019年）教材的設計，筆者認為：（1）教材以高斯巧算1到100的連續整數之和為基本問題，這是四年級就出現的題目，可想而知，這并不符合大部分學生的認知水平. （2）在推導過程中，教材從特殊（1到100的連續整數求和）到一般（1到n的前n個連續整數求和），再讓學生思考如何避免討論n是奇數還是偶數，在此引出“倒序相加法”. 該推導路徑冗長、跨度大，有待優化. 既然已經完成1到n的前n個連續整數求和，可以自然地推導公式S=na+d.足見，教材所設計的知識發生發展過程是否合理有待商榷. 鑒于此，筆者從“直面難點”“淡化難點”“回避難點”這三個層次對等差數列前項n和公式的生成階段進行了教學新設計.

1. “直面難點”的技術路線

采用問題解決型命題教學模式，其基本思想是把命題還原為一個抽象的數學問題，通過解決問題而得到命題. 解題過程對發展學生的直覺思維，提高學生的邏輯推理能力，培養學生的創新意識有積極作用［3］.

環節1 提出數學問題.

如圖3所示，設想有另外一堆同樣的草，將其倒置，并和原來的草堆拼在一起，這樣草堆就共有8×9=72（束），因此原來的草堆共有36束.

環節2 探究算理：請學生分析此巧妙算法的應用前提和推廣價值.

教師鼓勵學生各抒己見，明確關鍵因素是各行的數量構成等差數列，即可以采用“平行倒置”的策略.

環節3 遷移應用：請學生自行推導等差數列的前n項和公式，易得S=. 教師指出這種方法叫做倒序相加法.

5. “回避難點”的技術路線

采用呈現型命題教學模式，教師直接給出公式S=，然后要求學生證明公式.

這就回避了“公式發現”，降低了問題的難度，但還留有“公式證明”的時間和空間. 學生可以采用分析法、綜合法進行證明，在證明的過程中運用等差數列的性質進行分析，體會“倒序相加法”，依然能夠滲透數學運算和邏輯推理等核心素養.

以上基于學生的起點能力、認知特點不盡相同，構建了不同的技術路線和知識生成過程. 課堂教學的流程雖然不同，但都能讓學生達到課程的目標和要求，能夠有效發展學生的數學核心素養.

結束語

高中數學優質高效教學要求教師正視學生知識水平和認知能力的差異性，注重因材施教，致力于學生的“可持續發展”，強調學生理性思維、核心素養以及創新意識的培養和發展，關注學生數學思維方式的形成以及數學基本活動經驗的獲得，關注課堂教學的預設與生成，追求課堂教學的優質高效［4］. 因此，一方面，教師要基于對數學及學生的理解和認識，著眼于“兩個過程”合理性，設計適合學生的教學方案；另一方面，教師要做好充分的教學預設，才能根據課堂教學的生成情況及時調整優化教學方案，確保不同水平的學生都能學到數學知識、都能領悟數學思想、都能提高數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書（數學選擇性必修第二冊）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 喻平. 數學教學心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2018.

［4］ 肖凌戇. 高中數學“優效教學”的十年探索［J］，中國數學教育，2020（10）：20-25.