論旋轉思想在初中數學解題中的妙用

摘 要：文章對旋轉思想在初中數學解題中如何妙用進行討論，同時分享部分解題實例.

關鍵詞：旋轉思想；初中數學；解題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）23-0024-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：林艷娜（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學解題教學中，教師需指引學生結合具體題目巧妙應用旋轉思想，使其盡快找到解題的切入點，簡化解題過程，使學生高效解答試題.

1 合理運用旋轉思想，解決線段長度問題

教師在平常的解題教學中應當指引學生合理運用旋轉思想，對題目中的圖形進行旋轉和變形，使其明確旋轉后的變化情況，讓他們快速確定解題方案，解決線段長度問題^［1］.

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，AE＝10，求CE的長度為多少？

分析 利用旋轉思想，把△BCE圍繞點B進行順時針旋轉90°，剛好可以得到一個正方形，如圖2所示，然后根據三角形全等的性質找到邊與邊之間的關系，即可求出CE的長度.

解 將△BCE圍繞點B順時針旋轉90°得到△BGM，這兩個直角三角形是全等關系，C、E兩點分別旋轉至G、M點處，BC、CE、BE分別旋轉至BG、GM、BM，∠CBG＝∠BGD＝90°，由此得到正方形BCDG，∠ABE＝∠ABM＝45°，△ABE≌△ABM，那么AM＝AE＝10，設CE是x，則有AG＝10-x，AD＝12-（10-x）＝2＋x，DE＝12-x在直角三角形ADE中，AE²＝AD²＋DE²，代入相關數據后得到10²＝（2＋x）²＋（12-x）²，解之得x₁＝4，x₂＝6，故CE的長度是4或6.

2 利用旋轉思想，解決線段最值問題

通過對初中數學計算線段最值類問題的研究與梳理，發現利用旋轉思想往往能夠起到意想不到的效果，學生運用旋轉思想以后找到點的特殊位置，根據圖形形式與勾股定理進行求解，讓他們順利解決線段最值問題^［2］.

例2 如圖3所示，以邊長是4的正方形ABCD的C點為圓心，半徑是2畫圓，點P是圓C上面的任意一點，讓點P圍繞點D逆時針旋轉90°得到點Q，把BQ連接起來，那么BQ的最大值是什么？

分析 在本題中，線段圍繞一個點進行逆時針旋轉90°，根據圖形可知∠CDP＝∠ADQ，可得出△AQD≌△CPD，把CP與AQ連接起來，可得AQ的長是定值2，點Q的軌跡是一個圓，即可求出BQ的最大值.

解 將CP與AQ連接起來，根據旋轉可知∠QDP＝∠QDC＋∠CDP＝90°，根據正方形的性質可得AD＝DC，∠ADQ＋∠QDC＝90°，則∠CDP＝∠ADQ，△AQD≌△CPD，AQ＝CP＝2，點P在圓C上運動時，Q點也會隨之運動，不過AQ保持2的定值始終不變，據此可知點Q的運動軌跡是以點A為圓心的圓，當BQ有最大值時，點Q、A、B共線，且點A位于點B與Q之間，這時BQ＝AB＋AQ＝4＋2＝6.

3 利用旋轉思想，解決線段比值問題

處理一些涉及圖形旋轉類的初中數學題目時，教師可引導學生利用旋轉思想，找到旋轉前后圖形線段、角度之間的內在聯系，以此確定解題思路，從而求出線段比值^［3］.

例3 如圖4所示，四邊形ABCD是一個邊長為2的菱形，已知一個內角是72°，該菱形圍繞點D旋轉得到菱形A′B′C′D′，AB與B′C′相交于點P，把BB′連接起來，當五邊形A′B′BCD′是正五邊形時，求BP：AP的值.

分析 因為旋轉以后得到的是一個正五邊形，可知內角是108°，旋轉后線段長度與首尾順序均不發生變化，結合菱形、等腰三角形以及相似三角形的性質進行解題.

4 利用旋轉思想，解決角度計算問題

針對角度計算類試題，初中數學教師應指導學生巧用旋轉思想，通過對原圖形的旋轉與變化把一些條件整合到一起，分析圖形的特殊角度及位置，使學生結合有關公式進行計算，從而把復雜、陌生的問題變得簡單與熟悉^［4］.

例4 如圖5所示，點P是等邊三角形ABC內的一點，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的值.

分析 當學生看到題目中出現3、4、5的數據時，很容易想到勾股定理，是同一個直角三角形的三條邊，但是在本題中并沒有位于同一個直角三角形內，此時他們可想到應用旋轉思想，把這三條邊集中到同一個直角三角形里面.

解 先讓△APB圍繞點A按照逆時針方向旋轉60°后得到△ADC，連接PD，如圖6所示，則有AD＝PA＝3，DC＝PB＝4，∠PAD＝60°，得到一個等邊三角形PAD，則PD＝PA＝3，∠ADP＝60°，在△PDC中有PD²＋DC²＝PC²，這表明△PDC是一個直角三角形，且∠PDC＝90°，由此得到∠APB＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.

5 利用旋轉思想，解決面積計算問題

在初中數學解題訓練中，求解圖形面積類的試題離不開旋轉思想的輔助與支持，可以把零散的圖形集中起來.處理這類試題的關鍵在于確定好旋轉對象與角度，教師在平常的解題訓練中需加強指導，讓學生準確把握旋轉對象和角度，幫助他們輕松解決面積計算問題^［5］.

例5 如圖7所示，在正方形ABCD中有一點E，AE＝1，BE＝25，DE＝32，把AE延長同CD相交于點F，求四邊形BCFE的面積.

分析 本題可使用旋轉思想，將△AED圍繞點A順時針旋轉90°，然后把兩個三角形拼接起來，根據題意能夠判定出拼接的三角形又由兩個直角三角形構成，結合正方形的性質用勾股定理等即可完成解題.

旋轉思想在初中數學解題中可謂是有著極為廣泛的應用空間，是一種極為重要與常用的數學思想方法，教師應圍繞旋轉思想專門開設習題訓練活動，指導學生學會如何妙用旋轉思想解決數學問題，使其充分感受到旋轉思想在解題中的妙用，繼而提高他們的解題水平^［6］.

參考文獻：

［1］

陳志高.論旋轉思想在初中數學解題中的妙用［J］.試題與研究，2023（06）：19-21.

［2］ 馬雄政.初中數學解題教學中幾何變換法的有效應用［J］.數理天地（初中版），2022（13）：77-78.

［3］ 吳明艷.淺談初中數學解題教學的有效策略［J］.智力，2020（23）：61-62.

［4］ 賀群.初中數學解題能力巧提升：旋轉中的不變性問題［J］.學苑教育，2020（05）：52.

［5］ 宋景華.例談初中數學解題訓練教學［J］.數理化解題研究，2020（02）：14-15.

［6］ 周麗芳.初中數學旋轉思想在解題中的巧妙運用分析［J］.散文百家（新語文活頁），2019（08）：152.

［責任編輯：李 璟］