靶向治療下乳腺癌干細胞發生發展動力學分析

宗如月　羅新鵬　李雅倩　趙同軍

摘要 為了研究靶向治療下乳腺癌干細胞的生長情況，本文在Gompertzian生長模型基礎上建立不同狀態乳腺癌干細胞理論模型?？紤]乳腺癌干細胞的增殖、死亡及特定腫瘤微環境對不同狀態乳腺癌干細胞發生發展的影響，用非線性Hill函數描述乳腺癌干細胞對其自身生長速率的反饋，采用解析和數值方法研究不同狀態乳腺癌干細胞發生發展。結果表明：在k_a/（d_ad₀）=1處發生音叉分岔，k_a/（d_ad₀）<1時無乳腺癌干細胞，k_a/（d_ad₀）>1時存在乳腺癌干細胞；在乳腺癌干細胞靶向治療期間，乳腺癌干細胞量急劇降低，并維持一段時間的休眠狀態，最后隨著療效減弱，又回到穩定增殖水平；增加活躍狀態乳腺癌干細胞的死亡率，可能延長乳腺癌干細胞處于休眠狀態的時間。在不同狀態的乳腺癌干細胞發生發展過程中，其增殖、死亡及特定腫瘤微環境均起著關鍵作用。還發現靶向治療和腫瘤微環境的改變對抑制乳腺癌復發都有一定作用。

關 鍵 詞 乳腺癌干細胞；靶向治療；休眠狀態；活躍狀態；數學建模

中圖分類號 R737.9? ? ?文獻標志碼 A

Dynamic analysis of breast cancer stem cells growth under targeted therapy

ZONG Ruyue， LUO Xinpeng， LI Yaqian， ZHAO Tongjun

（Institute of Biophysics， School of Science， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China）

Abstract The growth of breast cancer stem cells is studied under targeted therapy. On the basis of the Gompertzian theoretical growth model， a theoretical model of various states of breast cancer stem cells was established. We considered the influence of breast cancer stem cells proliferation， death and specific tumor microenvironment on the occurrence and development of breast cancer stem cells in various states. The nonlinear Hill model was also introduced to depict breast cancer stem cells feedback to its own growth rate. The growth process of breast cancer stem cells in various states was studied by analytical and numerical methods. The results of the study are as follows： a pitchfork bifurcation occurs at（k_a/（d_ad₀）=1）;This system has no breast cancer stem cells（k_a/（d_ad₀）<1）， on the contrary， this system has breast cancer stem cells; during breast cancer stem cells targeted therapy， the levels of breast cancer stem cells drop sharply， and breast cancer stem cells remain dormant for a period of time; the levels of them rise until they have reached the stage of stable proliferation again with diminished efficacy; the dormancy time of breast cancer stem cells may be prolonged by increasing the mortality of active breast cancer stem cells. Theirs proliferation， death and specific tumor microenvironment all play key roles in the growth of the dormant and active state of breast cancer stem cells. Also we have found that targeted therapy and the modification of the tumor microenvironment may have some effect on inhibiting breast cancer recurrence.

Key words breast cancer stem cells; targeted therapy; dormant state; active state; mathematical model

0 引言

乳腺癌是危害女性健康的最常見惡性腫瘤之一[1]。經手術治療后約有50 %的乳腺癌患者被治愈，在治療后一段時間出現復發和轉移會導致治療失敗，且復發和轉移也是導致乳腺癌患者死亡的重要原因[1]。

根據“腫瘤干細胞假說”，腫瘤組織中的癌細胞的生物學特性不盡相同，即腫瘤組織內的細胞本身具有異質性。其中一小部分細胞亞群具有與干細胞相似的自我更新和無限增殖的潛能，維持著腫瘤組織的生命力，促進癌癥進程，對腫瘤的生長、復發與轉移有著重要的作用[2]。研究發現，乳腺癌中也存在著乳腺癌干細胞（breast cancer stem cells，BCSCs）[3]。隨著人們對乳腺癌發生發展機制的研究不斷深化，BCSCs日益受到重視[3]。

BCSCs被認為是腫瘤發生、發展的基礎，與腫瘤復發、轉移和對治療的耐受有關。目前研究認為只有少數BCSCs進入細胞周期，而多數BCSCs處于靜止狀態，故BCSCs對常規的治療并不敏感?，F有的物理、化學治療手段所針對的是大多數的乳腺癌細胞，對乳腺癌中少數的BCSCs無法達到有效的殺傷效果，不能抑制乳腺癌的復發與轉移[4-5]。

隨著研究的不斷深入，有關BCSCs的動力學分析對于理解乳腺癌復發與轉移的內在機制非常重要[6-7]。Liu等[8]提出具有雙負反饋和對稱分裂概率的理論模型研究了乳腺癌中BCSCs的生長。在乳腺癌臨床實驗上，BCSCs的生長曲線還具有Gompertzian形狀的特點[8]，且BCSCs在特定腫瘤微環境下既可從活躍狀態轉化到休眠狀態，也可從休眠狀態轉化到活躍狀態[9-10]。以往的研究大多是圍繞活躍狀態的BCSCs對乳腺癌增殖的影響，然而休眠狀態的BCSCs對乳腺癌復發與轉移的影響也極為關鍵。為此本文在動力學研究中將BCSCs的休眠狀態考慮進去，構建了一個簡化的不同狀態BCSCs系統的數學模型。分析休眠狀態的BCSCs對BCSCs生長過程的影響。結果表明休眠狀態的BCSCs對BCSCs發生發展系統具有重要作用，能夠反映不同狀態的BCSCs發生發展中的耐受性以及乳腺癌復發階段的行為。以此為基礎進一步研究了在BCSCs靶向治療不同時期，隨著療效減弱，BCSCs的動力學行為表現出由活躍狀態變為休眠狀態再到活躍狀態的過程。

根據上述分析，繪制出特定腫瘤微環境下BCSCs休眠狀態和活躍狀態的生長模型示意圖，如圖1所示。

1 數學模型

2 BCSCs發生過程的穩定性分析

3 BCSCs發展過程的動力學模擬

上述理論分析表明，在BCSCs發生過程中活躍狀態BCSCs的增殖率與死亡率的比值在（1，0）處發生音叉分岔。進一步對BCSCs的發展過程進行動力學模擬[14-15]，分析研究在BCSCs靶向治療影響下BCSCs生長的情況。在常規治療結束后大量癌細胞被殺死，少量細胞具有BCSCs的特性且處于休眠狀態潛伏在體內[8]。設初始條件x_q（0）=150，x_a（0）=50。

在乳腺癌BCSCs的生長模型中[8]，Liu等人定性模擬了BCSCs的生長曲線，并與MCF7乳腺癌細胞的實驗數據做了比較，如圖3所示。

從圖3a）中可以看出，將BCSCs生長曲線的模擬數據與體外細胞增殖動力學實驗數據做比較，發現在Ⅰ和Ⅱ雙負反饋模型下與實驗數據符合得很好。在圖3b）中，BCSCs生長曲線的模擬數據與體內細胞增殖動力學實驗數據比較符合，且BCSCs生長曲線符合Gompertzian形狀的特點[11]。Liu等的理論和實驗分析推動了BCSCs研究的進一步深化，但還未討論BCSCs的休眠狀態對BCSCs生長以及對乳腺癌復發的影響。為此，本文在靶向治療下將休眠狀態的BCSCs考慮進來，進一步對休眠狀態-活躍狀態BCSCs生長的動力學行為進行研究。

數值模擬在常規治療結束后BCSCs總細胞數的生長曲線如圖4a）所示?？梢钥闯?，BCSCs在生長早期增殖緩慢，中期急劇增殖，最后趨于穩定增殖狀態，且與乳腺癌的BCSCs生長趨勢基本吻合[8]。在常規治療結束后不同狀態BCSCs之間相互轉化的生長曲線如圖4b）所示?？梢钥闯?，在生長早期x_q在數量上相對于x_a占優勢，說明x_a在早期增殖時向x_q轉化較多，即此階段處于休眠狀態。在中期增殖時x_a呈指數形式上升，而x_q逐漸接近飽和趨于穩定。在后期x_a增殖緩慢最終趨于穩定增殖階段。也就是說，常規治療結束后隨著時間的增加，BCSCs由休眠階段逐漸到穩定增殖階段。

在BCSCs穩定增殖階段施加BCSCs靶向治療，BCSCs總細胞數隨時間的變化曲線如圖5a）所示?？梢钥闯?，BCSCs水平急劇降低，并維持在不等于零的低水平狀態一段時間，即進入休眠狀態。最后隨著治療療效減弱，BCSCs水平上升直到再次達到穩定增殖階段。在BCSCs穩定增殖階段施加BCSCs靶向治療，不同狀態BCSCs之間相互轉化的生長曲線如圖5b）所示?？梢钥闯?，治療早期x_a的細胞數量急劇減少，x_q細胞數量隨后減少且較x_a在時間上出現滯后現象。這說明在x_a數量減少時，x_q會向x_a轉化，對其進行補充。在治療中期，x_q的細胞數量因向x_a轉化而持續減少，x_a的數量趨于零，但不等于零，并維持在一個低水平休眠狀態。在治療后期，x_a增殖迅速。也就是說，在BCSCs靶向治療期間，隨著時間的增加，x_q持續向x_a轉化，對其進行補充。此后x_a一邊增殖，一邊向x_q轉化直至x_q飽和。這可能與休眠狀態BCSCs有關。雖然BCSCs靶向治療的方法對活躍狀態BCSCs增殖的殺傷力很大，但很難完全殺死BCSCs。所以，可以推斷導致乳腺癌復發的根源可能是休眠狀態BCSCs的復蘇。

在不同狀態的BCSCs發展過程中，除了BCSCs靶向治療對活躍狀態BCSCs的增殖、死亡的影響外，還要考慮在BCSCs靶向治療影響下特定的腫瘤微環境。由于特定腫瘤微環境是產生BCSCs的關鍵，改變特定腫瘤微環境會加速x_a的死亡，有可能直接阻止BCSCs的形成，防止腫瘤復發[16-17]。因此增加x_a的死亡率，BCSCs總細胞數及不同狀態BCSCs的細胞數量會隨時間變化，其曲線分別如圖6a）和6b）所示。

從圖6a）和圖6b）可以看出，在BCSCs靶向治療階段，當死亡率d_a增加到2.6×10^-3h^-1時，x_a細胞的數量相比圖5而言，下降幅度變大，而且維持最低水平穩定狀態的時間間隔增加，即處于休眠狀態的時間變長。這說明在BCSCs發展過程中綜合考慮BCSCs靶向治療及特定腫瘤微環境等影響，提高x_a的死亡率，可能起到延長BCSCs處于休眠狀態的時間，從而延遲乳腺癌復發的可能。

4 結論

本文構造了一個簡化的休眠狀態-活躍狀態BCSCs發生發展的理論模型，通過解析分析和數值模擬方法進行了動力學研究。研究發現：1）在BCSCs發生過程中出現0→1的突變，即存在音叉分岔現象，對應于從休眠狀態到活躍狀態的轉變；2）在BCSCs發展過程中，對BCSCs穩定增殖階段施加BCSCs靶向治療，發現BCSCs急劇減少，之后穩定在一定低水平休眠狀態，隨著治療療效減弱，BCSCs水平上升直到再次達到穩定增殖階段；3）在BCSCs靶向治療階段，通過改變特定腫瘤微環境增加x_a的死亡率，增加了BCSCs處于休眠狀態的時間。這說明在BCSCs發展過程中，考慮BCSCs靶向治療及特定腫瘤微環境的改變，提高了x_a的死亡率，可能起到延長BCSCs處于休眠狀態的時間，從而延遲乳腺癌復發的可能。因此在常規乳腺癌治療結束后，可以在BCSCs穩定增殖階段考慮通過BCSCs靶向治療和特定腫瘤微環境等療法，來達到控制BCSCs生長及遏制其逃離休眠狀態的目的，從而延長乳腺癌復發的時間。

本文的主要結論概括為：1）能夠描述系統在常規腫瘤治療結束后休眠狀態-活躍狀態BCSCs在靶向治療下的相互轉化機制，直觀再現了休眠狀態BCSCs的生長變化情況；2）在宏觀上探討改變特定腫瘤微環境，導致活躍狀態BCSCs死亡率的增加，延長了BCSCs向活躍狀態轉化的時間，從而可能抑制乳腺癌的復發與轉移；3）利用該數學模型，可以模擬休眠狀態-活躍狀態BCSCs相互轉化的情況。這些研究結果有助于加深對休眠狀態-活躍狀態的BCSCs生長機制的理解。通過分析和預測BCSCs生長趨勢，為抗乳腺癌生長提供參考。

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