表面積和體積的計算

相輝

我們學習長方體和正方體時，經常會遇到求它們表面積和體積的問題。我們要結合條件，仔細觀察、思考，發揮空間想象力，將空間的位置關系轉化成平面的位置關系，找出解題的路徑。

【例1】一個長方體的正面和上面的面積之和是209平方厘米，除此以外，這個長方體的長、寬和高都是整厘米數且都是質數。這個長方體的表面積和體積分別是多少？

【思路分析】要求長方體的表面積和體積，通常要知道長方體的長、寬和高。根據條件“長方體的正面和上面的面積之和是209平方厘米”和乘法分配律可以知道長×高+長×寬=長×（高+寬） =209。已知“長方體的長、寬和高都是整厘米數且都是質數”，因為11×19=11× （17+2），所以長方體的長是11厘米、高是17厘米、寬是2厘米。

解：由209=11×19=11× （17+2） 可知長方體的長=11厘米、寬=2厘米、高=17厘米。

長方體的表面積：（11×2+11×17+2×17） ×2=486（平方厘米）

長方體的體積：11×2×17=374（立方厘米）

答：這個長方體的表面積和體積分別是486平方厘米和374立方厘米。

【例2】一個長方體，如果長減少3分米，體積就減少60立方分米；如果寬減少2分米，體積就減少48立方分米。已知這個長方體的高是5分米，這個長方體的表面積和體積各是多少？

【思路分析】根據條件“一個長方體，如果長減少3分米，體積就減少60立方分米”，可以求出長方體左面或右面的面積，即寬×高，再結合長方體的高是5分米，就能求出長方體的寬。同樣根據“如果寬減少2分米，體積就減少48立方分米”，可以求出長方體前面或后面的面積，即長×高，再結合長方體的高是5分米，就能求出長方體的長。

解：長方體左面或右面的面積：60÷3=20（平方分米）

長方體的寬：20÷5=4（分米）

長方體前面或后面的面積：48÷2=24（平方分米）

長方體的長：24÷5=4.8（分米）

長方體的表面積：（4.8×4+4.8×5+4×5） ×2=126.4（平方分米）

長方體的體積：4.8×4×5=96（立方分米）

答：這個長方體的表面積是126.4平方分米，體積是96立方分米。

【挑戰自我】一根橫截面為正方形的長方體木料，表面積為114平方厘米，鋸下一個最大的正方體后，剩余部分表面積為50平方厘米。求鋸下的最大正方體的表面積與體積。