點接觸端直面齒輪嚙合分析的高效計算方法

李 萍, 張寶玉, 李金華

(1.江蘇電子信息職業學院 智能交通學院,江蘇 淮安 223003,E-mail:489479047@qq.com;2.江蘇食品藥品職業技術學院 機電工程學院,江蘇 淮安 223003;3.遼寧工業大學 機械工程與自動化學院,遼寧 錦州 121001)

端直面齒輪傳動[1-3]是在新一代武器裝備對動力傳動系統小體積、輕質量、高承載能力、低噪音、高可靠性及長壽命的性能需求的背景下應運而生的新型先進傳動構型。相對于傳統的螺旋錐齒輪,端直面齒輪傳動具有小體積、輕重量、低噪聲和高互換性的優點,國外已經把端直面齒輪傳動技術作為先進傳動系統發展方向。美國軍方[4-6]己成功應用在阿帕奇武裝直升機上,實現傳動系統體積降低40%,承載能力提高35%的效果。同期,西科爾斯基航空公司與美國軍方將端直面齒輪傳動技術應用在“黑鷹”直升機中,實現直升機功重比提升35%的效果[7-8]。此外,國外還將端直面齒輪傳動應用在高檔機床、雷達、船舶等武器裝備傳動系統中,取得了良好效果。隨著計算機技術的快速發展,越來越多的學者熱衷于端直面齒輪嚙合分析的數值計算研究。

林超等[9]從幾何學的角度提出了線接觸端曲面齒輪副齒面接觸算法,通過小齒輪和面齒輪對滾實驗,驗證了該算法的正確性。葉志剛等[10]采用可視化編程開發了漸開線少齒差行星傳動齒輪嚙合動態演示系統進行無側隙嚙合傳動仿真,大大增強了其真實性,便于觀察干涉和及時修改參數。孫殿柱等[11]論述了點接觸齒面嚙合理論求解接觸點完整過程并推導出了取不同坐標系時求解接觸點的同一計算公式。宋相男等[12]提出了斜齒面齒輪齒面接觸問題的有限元-線性規劃算法,通過與Hertz結果對比驗證了該算法的有效性。楊主希等[13]提出了斜齒面齒輪接觸應力計算方法及其公式,與解析結果對比誤差為5.23%,驗證了該方法與公式的有效性。蘇睿[14]建立了二自由度差動調速周轉輪系系統的時變非線性純扭轉動力學模型,通過仿真表明行星輪與齒圈的嚙合力和相對位移呈現出高頻大幅度振動的現象。周明剛[15]對直齒圓柱齒輪傳動嚙合特性進行有限元接觸仿真分析,為降低齒輪轉動過程產生振動與噪聲和分動箱系統的優化設計提供依據。

綜上所述分析,大多端直面齒輪的研究學者依然采用傳統的嚙合分析計算方法。然而傳統的MATLAB齒面接觸分析計算方法對于計算點接觸面齒輪的傳動誤差不具有通用性,當面齒輪基本參數改變時,需要大量時間反復調整初值,程序通用性差。因此,本文開展基于選擇性迭代的端直面齒輪嚙合分析的計算方法研究十分有價值。

本文分析了端直面齒輪嚙合分析的傳統計算方法,指出了針對高階曲面存在不足;提出了端直面齒輪嚙合分析的高效計算思路,研究了高效計算方法優化原理;基于齒面成型原理,形成了端直面齒輪嚙合分析的高效計算算法流程;通過算例,開展了端直面齒輪嚙合分析優化算法的驗證。

1 端直面齒輪嚙合分析的傳統計算方法

端直面齒輪嚙合分析的傳統核心求解方程是接觸點位矢相等、接觸點法矢相等以及接觸點嚙合條件。其中,位矢方程和法矢方程各自包含X、Y、Z三個方向上的分量方程;空間嚙合條件僅一個方程式,總計七個方程式。涉及到需要賦初值的輸入量有七個,如表1所示。

表1 傳統計算方法的輸入參數

在表1中,θα為齒頂圓對應的漸開線系數,Rmin為端直面齒輪最小內半徑,Rmax為端直面齒輪最大外半徑。

傳統端直面齒輪嚙合分析MATLAB程序計算方法無法通過消參的方式直接將嚙合方程組簡化,需要對互相關聯的七個參數獨自賦值。而初值的選取大小會造成計算程序存在無解、有意義解和無意義解等三種狀態,對結果影響較大。計算不同基本參數的端直面齒輪時,需要根據實際情況調試輸入量的初始數值,計算時間長、收斂性差。因而,減小輸入量賦值的隨機性或減少需賦值的輸入量的個數可有效提升運算程序的計算效率。

2 端直面齒輪嚙合分析的高效計算方法

通過輸入參數相關性試驗分析,小齒輪實際轉角和小齒輪漸開線系數初值的選擇對結果的影響的權重系數較大,其余五個變量只要在滿足值域的范圍內取值對結果無影響。針對此現象,擬對小齒輪實際轉角和小齒輪漸開線系數進行人為干預的賦值,剩余五個初值的參數由方程求得。

2.1 算法優化

▲圖1 嚙合分析方程解對應的物理意義

拋開純粹的數學運算,將嚙合過程的物理意義融入計算過程中。具體兩齒面的嚙合形態如圖1所示,齒面分離、齒面相切以及齒面干涉三種狀態。將嚙合形態與方程解對應起來,兩齒面分離時,方程組無解;兩齒面相切時,由于端直面齒輪齒面進行了局部點接觸處理,方程組有唯一解;兩齒面干涉時,方程組有無數解。

考慮所用MATLAB最優化算法在程序試驗中呈現的特點:當方程組按照固定方向進行方程解的搜索時,即使有多個符合給定條件的解,算法只給出第一個搜索到的解便停止計算,因為這可以保證迭代次數最少,運算時間最短。因此可以發現,只要設定最優化算法的初值條件對應兩齒面未接觸的狀態,在求解過程中,程序便會按照從無解到有解方向的搜索,對應實際過程中兩齒面從相離到接觸、再到干涉的過程;欲使初值設定滿足兩齒面未接觸的狀態,需要保持小齒輪實際轉角為0°,端直面齒輪轉角稍轉開一個微小的角度即可;例如本文設置虛擬插齒刀轉角為0°,端直面齒輪實際轉角為0.001°。

求解過程給出第一個符合預設條件的解,這個解在物理意義上對應一個齒面點,這個齒面點所對應的實際情況只能是兩齒面恰好接觸或者干涉;由于是搜索方向上率先求得的點,此時兩齒面干涉程度是最小的。

(1)

▲圖2 小齒輪轉角與齒高位置關系

2.2 算法流程

基于端直面齒輪的展成方法及空間嚙合原理,優化后的算法流程如圖3所示。

▲圖3 優化算法流程圖

圖3中最接近實際嚙合點的齒面點坐標在齒面上的位置即是近似的接觸跡位置,傳動誤差即是近似傳動誤差。通過該方法的計算原理分析,增大j值,則所得結果會向真實結果逼近;i值大小對于結果無影響。

2.3 優化算法驗證

本文試驗中面齒輪相關參數如表2所示。

表2 端直面齒輪設計參數表

▲圖4 優化算法初步求解結果

▲圖5 優化算法最終求解結果

將優化算法得到的齒面接觸點圖像(紅色)與標準方法得到的齒面接觸點圖像(藍色)相對比,如圖6所示。

▲圖6 n=10優化算法與傳統算法接觸跡對比

在n=10時優化算法算出的接觸點在整體趨勢上與標準算法算出的接觸點十分接近,但相對齒面的分布位置存在明顯的誤差,誤差在1 mm之內;局部放大圖中黃色部分為優化算法未進行篩選過程之前的齒面點。

▲圖7 優化算法與傳動算法接觸跡對比

當n由10依次增大到20和100時,優化算法和標準算法計算的結果對比情況依次如圖所示,可見,隨著n的細分,接觸跡會越來越接近標準方法所求得的理論接觸跡,相對齒面的分布位置誤差也會越來越小;當n=20時,這種相對位置誤差已經在0.5 mm之內,當n=100時,相對位置誤差已經在0.1 mm之內,n取不同值時齒面接觸跡位置對比圖如圖7所示。

用優化算法算得的傳動誤差隨著n值的增大逼近于0;當n=10、20、100時,傳動誤差峰值分別為1.18×10-4、-2.435×10-5和-1.508×10-6,可見當n值增大,傳動誤差減小且無限趨近于0,傳動誤差及峰值狀況如圖8所示。

▲圖8 優化算法的傳動誤差

通過上述運算結果對比,由于所求得的接觸跡會隨著算法中小齒輪齒高方向分割份數n的增大無限接近于實際接觸跡,通過增大n的取值,可獲得位置更精確的接觸跡以及更精確的傳動誤差。

3 結論

本文分析了傳統算法在點接觸面齒輪齒面應用方面的局限性,提出了算法優化原理,并將優化算法與傳統計算進行了對比,驗證了優化算法的正確性。得到如下結論:

(1) 對計算過程中傳統算法導致的計算時間過長問題進行了優化,并結合聯立的齒面點位置向量以及法向量方程組的物理意義進行了面齒輪齒面接觸分析的計算。

(2) 當面齒輪基本參數改變時,優化算法可直接在已知取值范圍內選取,不需要調試,程序通用性強,計算效率高。

(3) 優化算法通過增大n值,可達獲得位置更精確的接觸跡及更精確的傳動誤差。