基于高功率密度磁懸浮高速電機的全參數自適應控制

胡業發, 方康平, 吳華春*,,, 郭新華,3, 王念先

(1.武漢理工大學 機電工程學院,武漢 430070, E-mail: whc@whut.edu.cn;2.武漢理工大學 深圳研究院,廣東 深圳 518057;3.湖北省磁懸浮工程技術研究中心,武漢 430070;4. 武漢科技大學 機械自動化學院,武漢 430081)

高功率密度高速電機由于體積小、質量輕、效率高等特點受到越來越多研究者的重視,運用也越來越廣泛。在電動汽車領域,特斯拉Models所采用的310 kW、采用油冷方式的高功率密度感應電機被認為是目前世界上功率密度最高的感應電機[1]。2007年,美國國家橡樹嶺實驗室研制了33 kW無刷混合勵磁永磁同步電機。哈工大和鄭州華聯電動車輛,分別研制了20 kW和10 kW的永磁同步電機[2]。

而磁懸浮軸承是利用電磁力將轉子懸浮起來的一種高性能的軸承,它具有無磨損、不需要潤滑、壽命長等突出優點[3～6]。將磁懸浮軸承同高速電機相結合,能夠極大地提升電機的功率密度和轉速。隨著磁懸浮技術在軸承和列車領域的廣泛應用[7-9],研究者們對于將磁懸浮技術運用到高速電機中,也做出了很多嘗試。D. J. B. Smith等人采用有限元法分析,提出可以在護套和永磁體間使用潤滑劑來減少剪切應力[10]。J. M. Yon等人提出了一種能夠極大程度減少渦流損耗的疊層綁扎結構[11]。張濤等人通過對面貼式和深埋式永磁轉子的研究,驗證了高速永磁轉子在運轉時能夠有足夠的接卸強度,并建立了鐵芯橋厚度與轉子轉速的關系模型[12]。

但是磁懸浮軸承在運行的過程中,往往會受到各種擾動。并且電磁軸承-轉子系統是一個開環不穩定系統,必須通過適當的反饋控制才能夠穩定運行。所以針對磁懸浮軸承系統的控制算法研究顯得尤為重要,也備受研究者們關注。目前,磁懸浮軸承系統的控制方法大致可以分為傳統的PID控制、魯棒控制、和智能控制。

傳統PID控制器設計不依賴于被控對象的數學模型,在磁軸承的控制應用中較為常見。但是隨著轉子轉速的提高,傳統PID控制器不能很好地解決諸如磁懸浮軸承系統的陀螺力矩耦合、電磁場耦合、非線性特性等問題。研究者們針對這一問題,也進行了一些優化。2005年谷會東等人為有效抑制轉子在一階彎曲臨界轉速時轉子的振動,于是在傳統 PID 控制器的基礎上添加了相位補償器[13]。2008年B. X. S. Alexander等人在PID控制上添加了擴張狀態觀測器,并通過仿真比較論證了改進后的控制效果更優[14]。

對于魯棒控制器,如H∞控制[15]、μ綜合控制,控制器的求解需要事先獲取被控對象精確的數學模型,為了設計一個滿意的控制系統,必須事先掌握描述系統運動規律的數學模型及環境情況。1996年L Scott Stephens將μ綜合與分析控制應用于磁懸浮系統用來抑制高速切削時的顫振[16]。Kenzo Nonami等以五自由度柔性轉子為目標對象,設計了μ綜合與分析控制器[17]。2002年R. L. Fittro等將μ綜合與分析控制應用于多參數攝動的磁懸浮軸承中[18]。然而,通過動力學數學建模方法獲取的精確的磁懸浮軸承系統,其階次太高,使控制器的設計變得困難。

全參數自適應控制最初是由吳宏鑫院士在上世紀八十年代所提出的,其最開始是針對高階線性定常對象,通過后來的研究發現該控制理論對于漫時變系統以及某些非線性系統同樣適用。其在設計的時候并不依賴于精確的建模,可以較好地解決參數強時變、模型不確定性大等問題。能夠有效抑制外來擾動,實現轉子的穩定懸浮和運轉。P Wurmsdobler于1996年研究了剛性轉子的自適應控制[19]。Betschon F在1998年研究了自適應振動控制[20]。2018年南京航空航天大學的周宇研究了基于特征模型的磁懸浮軸承全系數自適應控制,在不需要精確數學模型的前提下完成了自適應控制系統的仿真模型,并進行了干擾仿真。本文建立了基于ACAC的特征模型,通過仿真分析和實驗,驗證了基于特征模型的全參數自適應控制方法能夠有效抑制外來擾動,從而達到穩定懸浮和運轉。

1 磁懸浮電機轉子系統及建模

1.1 磁懸浮電機軸承-剛性轉子不平衡建模

如圖1所示為五自由度主動磁懸浮系統的轉子受力簡圖,其中空間直角坐標系Ogxyz建立在轉子的質心位置,x軸、y軸分別與重力反方向成45°夾角。φ為繞x軸轉動角位移,θ為繞y軸的轉動角位移,ωr為轉子的轉動角頻率,Fz1、Fz2為沿著z軸的電磁力,a端為轉子驅動端,b端為非驅動端。Fxa1、Fxa2、Fxb1、Fxb2為沿著x軸的電磁力,Fya1、Fya2、Fyb1、Fyb2為沿著y軸的電磁力,Og(xg,yg,zg)為轉子質心,mg為轉子重力。表1所示為磁懸浮軸承轉子系統主要參數及其解釋。

表1 主動磁懸浮軸承系統主要參數

▲圖1 剛性轉子受力分析

根據圖1受力分析及質點運動定理可以推出轉子的運動微分方程如式(1):

(1)

式中:fx、fy為不平衡離心力在x軸、y軸上的分量,有式(2):

(2)

此外,式(1)中,Ir為轉子直徑轉動慣量,Ia為轉子極轉動慣量,另外Te為電機輸出轉矩,目的是驅動轉子繞z軸轉動。

如圖1中所示,有式3:

(3)

結合式(1)、(2)、(3)等,忽略重力影響,寫出轉子四個徑向自由度的運動微分方程,如式(4):

(4)

為了分析方便,式(4)可表示為:

(5)

其中:

M為質量矩陣,C為阻尼矩陣,K為位移剛度系數矩陣,B為電流剛度系數矩陣,E為不平衡激勵響應系數矩陣。分別如下:

(6)

式(6)是轉子系統的二階系統微分方程,將其轉換成狀態空間的形式。

(7)

令:

從而有:

求得各項系數為:

于是得到最終的狀態空間方程為:

(8)

高功率密度高速電機使用的是電渦流傳感器,具有非接觸測量、頻響寬、抗干擾能力強等優點,在實際使用時可以近似為一個比例環節[21]。令傳感器環節的數學模型為:

本文所采用的功率放大器為兩電平PWM開關功率放大器,本文忽略功率放大器的滯后并將其簡化為:

Kamp=0.5 A/V

1.2 建立控制系統模型

本節將磁懸浮軸承,磁懸浮剛性轉子,功率放大器和傳感器動力學模型連接。如圖2所示,為磁懸浮軸承-轉子控制系統原理圖。其中功率放大器接收控制電壓信號μa輸出控制電流ia,電磁軸承接收控制電流ia輸出電磁力控制轉子位移,位移傳感器檢測轉子位移輸出位移電壓信號。

▲圖2 磁懸浮轉子系統控制原理圖

結合狀態空間方程、傳感器和功放的增益,得到磁懸浮剛性轉子不平衡控制模型:

(9)

2 全參數自適應控制設計

全參數自適應控制主要包括兩個部分:(1)維持/跟蹤控制(2)誤差反饋控制。其中,維持/跟蹤控制包括維持部分和積分部分。誤差反饋控制包括黃金分割自適應控制和微分控制。

2.1 全參數自適應控制理論

全參數自適應控制理論中最重要的結論是全參數之和為1,其具體可以描述為:

若被控對象的動力學模型能夠描述為如下微分方程的形式:

y(n)=an-1y(n-1)+an-2y(n-2)+…+
a1y1+bn-1μ(n-1)+…+b0μ

其離散化后的差分方程可以描述為:

y(k)=a1y(k-1)+a2y(k-2)+…+any(k-n)+
β0μ(k-1)+…+βn-1μ(k-n)

(2)當采樣周期Δt→0,且a0和b0都不為0時:

根據估計參數計算所得控制量μc1,目的是為了讓系統輸出為設定值。積分部分μc2目的是為了消除系統的穩態誤差,為磁懸浮轉子系統提供一定的靜剛度。磁懸浮轉子系統本身是開環不穩定的,在自適應控制最初過渡階段,特征模型參數估計未達到收斂時,系統的閉環穩定性難以得到保證,因此需要加入黃金分割自適應控制μc3來保證系統過渡階段的閉環穩定性。微分控制μc4是為了改善系統的動態性能。即:

uc(k)=uc1(k)+uc2(k)+uc3(k)+uc4(k)

式中:

3 算法仿真分析

基于特征模型的全參數自適應控制的主要思想是通過在線辨識的方法將高階系統的動力學特性以低階特征模型的方式描述并提取出特征參數,然后將其反饋給全參數自適應控制器,不斷的對被控對象進行自適應控制,以獲得理想的控制效果。其控制系統的結構原理如圖3所示。

▲圖3 全參數自適應控制器原理

3.1 轉子階躍響應

利用simulink建立磁懸浮轉子四自由度控制模型[22],編寫simulink S函數實現全參數自適應控制器仿真模型,并設置相應的傳統PID控制器作為比較對象。以系統階躍響應的超調量以及穩定時間為標準,采用試湊法獲取動態性能最優的一組參數作為仿真的初始參數。最終選定初始值為f1(0)=2.102,f2(0)=-1.104,以及g0(0)=g1(0)=0.001,在每個控制通道中,估計特征參數的梯度自適應算法的參數選為δ=3.5與γ=1.5。由圖4、圖5所示的仿真結果可知,系統在基于特征模型的全參數自適應控制與傳統PID控制下均有較快的響應,這說明全參數自適應控制有效。根據圖中的數據還可以看出系統在基于特征模型的全參數自適應控制下,僅需要0.04 s即可達到穩態,而系統在PID控制下則需要0.09 s才能達到穩態。這說明前者控制下的磁懸浮軸承系統轉子起浮速度明顯快于后者,且超調較小。

▲圖4 PID階躍響應

通過上述對四自由度磁懸浮軸承-轉子系統的仿真,得到了自適應控制器的系統特征參量真值,其收斂值為f1=2.101,f2=-1.105,g0=-0.002及g1=-0.000 953。f1+f2+g0+g1=0.993 047≈1,與全參數自適應理論中特征參量和為1相符合。

3.2 轉子不平衡響應仿真

在轉子實際的運行過程中,轉子振動主要形式是不平衡振動,其是與轉速同頻的正余弦波動。當轉子起浮穩定在平衡位置后,對轉子施加等效不平衡電流,分別得到PID以及全參數自適應控制下的不平衡響應即軸心軌跡如圖6和圖7。

▲圖6 PID不平衡響應

▲圖7 ACAC不平衡響應

由圖6和圖7可知,在PID控制下,轉子的軸心軌跡較大,即轉子產生了較大的不平衡振動,驅動端和非驅動端的轉子穩定振幅大小分別為41 μm與55 μm。在基于特征模型的全參數自適應控制下,轉子的軸心軌跡相對PID而言較小,驅動端和非驅動端的轉子穩定振幅大小分別為35 μm與37 μm。由此可見,基于特征模型的全參數自適應控制算法在對轉子不平衡振動抑制方面比傳統PID更好。

4 實驗驗證

為了驗證全參數自適應控制算法對于磁懸浮軸承轉子實際的控制效果,搭建了如圖8所示的實驗平臺,該平臺由電機、磁懸浮軸承、轉子、功率放大器、快速控制原型機等設備構成。其中電機功率為1.2 kW,功率放大器的直流總線電壓為50 V,開關頻率為20 kHz。實驗平臺的轉子由兩端兩個徑向磁懸浮軸承支承,實現四自由度穩定懸浮。中間是用于對轉子施加不同激勵的磁懸浮軸承,但是在本文的實驗驗證部分并未得到使用。除卻圖中所示的設備外,還安裝了四個電渦流傳感器,用以測量轉子在x與y方向的位移。

實驗過程中,主要調節積分系數Ki、微分系數Kd以及參數λ,ACAC的積分系數Ki和微分系數Kd與傳統PID控制理論中的相似。Kd通過抑制系統偏差的變化,達到改善系統動態特性的目的。而Ki可以消除系統的穩態誤差,其值越大系統穩態誤差消除越快。調節時需要注意λ對于系統存在一個穩定域,在這個穩定域內參數過大會引起系統的震蕩,參數過小會造成系統的大超調量,但是λ對于系統的穩定時間的影響并不大[23]。圖9中的(a)、(b)兩圖分別為實驗得到的前后端靜態懸浮曲線,可以看出懸浮精度在±5 μm以內。

▲圖9 懸浮曲線

從上述實驗結果中可以看出全參數自適應控制算法能夠對轉子四自由度的起浮起到良好的控制效果,驗證了本文提出的基于特征模型的ACAC實際應用的可能性。

4 結束語

本文以高功率密度磁懸浮高速電機為對象,描述了全參數自適應控制方法,建立了模型,并進行了仿真和實驗。具體結論如下:

(1) 本文針對目標對象建立了磁懸浮電機軸承-剛性轉子不平衡模型、控制系統模型,并設計了針對特征模型的全參數自適應控制器。從設計過程中可以看出全參數自適應控制的模型構建不依賴于精確的數學模型,能夠有效的解決參數時變強、模型不確定性大等問題。

(2) 利用simulink搭建仿真平臺,將自適應控制同傳統的PID控制進行比較[24]。在基于特征模型的全參數自適應控制下,磁懸浮軸承系統轉子起浮速度明顯快于傳統PID控制,并且超調較小。仿真對比實驗的結果顯現了全參數自適應控制的性能要優于傳統PID控制。從不平衡響應仿真中可以看出基于特征模型的全參數自適應控制算法對轉子不平衡振動抑制之后的轉子振幅要小于傳統PID控制之后的振幅。

(3) 利用實驗室現有器材搭建了磁軸承轉子懸浮實驗平臺,驗證基于特征模型的全參數自適應控制對于轉子靜態懸浮的效果。從測試結果中可以看出,全參數自適應控制能夠滿足磁軸承轉子的穩定懸浮。